Zona

L' àrea és la mesura de l'extensió d'una regió bidimensional d'un espai, és a dir, la mesura de l'extensió d'una superfície . Pel que fa a les altres mesures de naturalesa geomètrica , per ser precisos, s’hauria de distingir entre la regió bidimensional (conjunt de punts) i la seva àrea (valor numèric associat a l’anterior). Sovint, però, en la parla habitual, però també en exposicions científiques, el terme àrea i el terme superfície s’utilitzen indistintament.

Unitat de mesura de la zona

S’han utilitzat i encara s’utilitzen diverses unitats de mesura per a la zona. En el passat, es van triar les unitats en funció de les necessitats locals i, en particular al món rural, també hi havia diferents mesures a les regions veïnes. Posteriorment, a partir de les empentes de la Il·lustració , es van donar definicions racionals i unificadores. Aquí presentem les unitats més importants.

metre quadrat (m², de vegades mal escrit): és la unitat del Sistema Internacional d'unitats (SI)
centímetre quadrat (cm²): 1 cm² = 0,0001 m²: és la unitat del sistema CGS
ara : 1 a = 100 m² (s’utilitza per mesurar l’extensió del terreny)
hectàrea : 1 ha = 100 a = 10.000 m² (s’utilitza per mesurar l’extensió del terreny)
dia : 1 dia = 3810 m² (s'utilitza per mesurar la superfície del terreny)
quilòmetre quadrat : 1 km² = 1.000.000 m² (s'utilitza per mesurar superfícies mitjanes i grans: superfícies municipals, provincials, regionals, nacionals, continentals i planetàries)

Unitats de mesura anglosaxones ( sistema imperial britànic i sistema habitual dels EUA ):

peu quadrat : 1 m² peus = 0,09290304 m²
pati quadrat : 1 m² yd = 9 metres quadrats peus = 0,83612736 m²
milla quadrada : 1 m² mi = 2.589.988.1103 m²
acre : 1 ac = 4.046.8564224 m²

Fórmules per calcular l'àrea

L’àrea entre dos gràfics es pot avaluar calculant la diferència entre les integrals de les dues funcions

Àrees de figures planes

Rectangle : $A=bh$ ${\ displaystyle A = bh}$ ${\ displaystyle A = bh}$ (on és $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ és la mesura de la longitud de la base e $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ la mesura de l’ alçada ).
Paral·lelograma : $A=bh$ ${\ displaystyle A = bh}$ ${\ displaystyle A = bh}$ (on és $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ és la mesura de la longitud de la base e $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ la mesura d’alçada corresponent).
Quadrat : $A=l\cdot l=l^{2}$ ${\ displaystyle A = l \ cdot l = l ^ {2}}$ ${\ displaystyle A = l \ cdot l = l ^ {2}}$ (on és $L$ ${\ displaystyle l}$ $L$ és la mesura del costat).
Rombe : $A={\frac {d_{1}d_{2}}{2}}$ ${\ displaystyle A = {\ frac {d_ {1} d_ {2}} {2}}}$ ${\ displaystyle A = {\ frac {d_ {1} d_ {2}} {2}}}$ (on és $d_{1}$ ${\ displaystyle d_ {1}}$ $d_ {1}$ és la mesura de la longitud de la diagonal més gran e $d_{2}$ ${\ displaystyle d_ {2}}$ $d_ {2}$ la mesura de la diagonal més petita).
Trapezi : $A={\frac {(B+b)h}{2}}$ ${\ displaystyle A = {\ frac {(B + b) h} {2}}}$ ${\ displaystyle A = {\ frac {(B + b) h} {2}}}$ (on és $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ I $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ són les mesures de les longituds de les bases i $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ alçada).
Triangle : $A$ $=$ $b$ $h$ $2$ {\ displaystyle A = {\ frac {bh} {2}}} ${\ displaystyle A = {\ frac {bh} {2}}}$ (on és $b$ {\ displaystyle b} $b$ és la mesura de la longitud de la base e $h$ {\ displaystyle h} $h$ la mesura d’alçada corresponent).
- segons la fórmula de Heron $A={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}$ ${\ displaystyle A = {\ sqrt {p (pa) (pb) (pc)}}}$ ${\ displaystyle A = {\ sqrt {p (p-a) (p-b) (p-c)}}}$ (on és $a$ ${\ displaystyle a}$ $a$ , $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ , $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ són les mesures de les longituds dels costats i $pàg$ ${\ displaystyle p}$ $pàg$ és el mig perímetre ).
Polígon regular : $A=pa$ ${\ displaystyle A = pa}$ ${\ displaystyle A = pa}$ (on és $pàg$ ${\ displaystyle p}$ $pàg$ és la mesura de la longitud del semiperímetre i $a$ ${\ displaystyle a}$ $a$ és la mesura de l' apotema del polígon o la distància entre el centre i un costat).
Cercle : $A=\pi r^{2}$ ${\ displaystyle A = \ pi r ^ {2}}$ ${\ displaystyle A = \ pi r ^ {2}}$ (on és $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ és la mesura del radi del cercle).
El·lipse : $A=\pi ab$ ${\ displaystyle A = \ pi ab}$ ${\ displaystyle A = \ pi ab}$ (on és $a$ ${\ displaystyle a}$ $a$ I $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ són les mesures de les longituds dels eixos de l’eix).
L'àrea subtendida per una funció $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ el no negatiu és igual a la integral definida de la funció mateixa $A=\int _{a}^{b}f(x)dx$ ${\ displaystyle A = \ int _ {a} ^ {b} f (x) dx}$ ${\ displaystyle A = \ int _ {a} ^ {b} f (x) dx}$ .
La fórmula de la passarel·la us permet conèixer l’àrea tancada per un polígon tancat, anotar un cert nombre de costats i angles interns.
La fórmula de l'àrea gaussiana permet conèixer l'àrea de qualsevol figura plana a través de les coordenades cartesianes dels vèrtexs.

Àrees superficials de figures tridimensionals

Cub : $A=6l^{2}$ ${\ displaystyle A = 6l ^ {2}}$ ${\ displaystyle A = 6l ^ {2}}$ , (on és $L$ ${\ displaystyle l}$ $L$ és la mesura de la longitud del costat).
Esfera : $A=4\pi r^{2}$ ${\ displaystyle A = 4 \ pi r ^ {2}}$ ${\ displaystyle A = 4 \ pi r ^ {2}}$ , (on és $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ és la mesura del radi de l’esfera).
Cilindre : $A=2\pi r^{2}+2\pi rh$ ${\ displaystyle A = 2 \ pi r ^ {2} +2 \ pi rh}$ ${\ displaystyle A = 2 \ pi r ^ {2} +2 \ pi rh}$ , (on és $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ és la mesura del radi de la base e $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ és la mesura de l’alçada).
Con : $A=\pi r(r+{\sqrt {r^{2}+h^{2}}})$ ${\ displaystyle A = \ pi r (r + {\ sqrt {r ^ {2} + h ^ {2}}})}$ ${\ displaystyle A = \ pi r (r + {\ sqrt {r ^ {2} + h ^ {2}}})}$ , (on és $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ és la mesura del radi de la base e $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ és la mesura de l’alçada).