Cercle

De la Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure.
Saltar a la navegació Saltar a la cerca
Nota de desambiguació.svg Desambiguació : si busqueu altres significats, vegeu Cercle (desambiguació) .
Nota de desambiguació.svg Desambiguació : si esteu cercant un cercle amb una línia circular, vegeu Circumferència .

En geometria plana, el cercle és la part del pla delimitada per una circumferència [1] i està format per un conjunt infinit de punts que no són més que una distància fixa d’un punt determinat, anomenat centre , no més que un fix distància anomenada radi . En un sistema d’eixos, un cercle genèric amb un centre i radi es representa pel conjunt de punts que compleixen la condició següent:

Es pot imaginar com un polígon regular amb un nombre infinit de costats, o més aviat com el límit d’una successió de polígons regulars costats per que tendeix a l’infinit. El cercle és una figura convexa.

Un segment que té els extrems a la circumferència s’anomena corda ; cadascuna de les dues parts en què aquest divideix el cercle s’anomena segment circular . Si la corda en qüestió passa pel centre, s’anomena diàmetre i els dos segments són congruents i s’anomenen semicercles .

Un segment circular també pot ser la part d’un cercle entre dos acords paral·lels.

Elements del cercle - Italian.svg

La intersecció entre un angle al centre, és a dir, un angle que té el centre del cercle com a vèrtex, i el cercle mateix (visualment, una "llesca" d'un cercle) s'anomena sector circular . Si l’angle del centre és dret, el sector circular que identifica s’anomena quadrant ; si és pla, és el semicercle.

Es diu que dos cercles que tenen el mateix centre són concèntrics . L’àrea entre les dues circumferències s’anomena corona circular .

La fórmula de l’àrea del cercle es pot obtenir com a límit del del polígon regular, és a dir, com la longitud de la circumferència pel radi dividit :

La quadratura del cercle es refereix a la tasca impossible de construir un quadrat amb la mateixa àrea mitjançant una regla i una brúixola, a partir d’un cercle.

Alguns sòlids tridimensionals que poden tenir, si es tallen des d’un pla, seccions circulars són l’ esfera , el cilindre i el con .

Es diu que el cercle està inscrit en un polígon quan la seva circumferència és tangent a cada costat d’aquest i es circumscriu quan els vèrtexs d’un polígon es troben a la circumferència.

La zona

Integració amb coordenades polars

El valor de l'àrea del cercle es pot veure com el valor de la doble integral de la funció en un conjunt coincident amb el cercle. En fórmules que tenim . Utilitzant el canvi de coordenades de cartesià a polar , on és I són les variables polars. En lloc de la funció integrand tenim a causa del canvi de base . En aquest punt, la doble integral es pot descompondre en el producte de dues integrals, ja que les variables són separables. S'obté

Integració "ceba"

Un mètode d'integració per calcular l'àrea del cercle

Una primera aproximació, mitjançant integrals , al càlcul de l’àrea del cercle es pot fer pensant que aquesta superfície ve donada per la suma progressiva d’infinits cercles concèntrics que tenen la circumferència com a valor màxim i el centre del cercle com un mínim. A la pràctica és com si suméssim anells infinits, cadascun amb un gruix infinitesimal. A partir d’aquesta representació entenem com el nom de la ceba deriva precisament de l’estratificació del cercle, com el d’una ceba , encara que sigui en dues dimensions. Per tant, podem trucar el radi del cercle al qual correspon cada circumferència individual, la longitud del qual és (observem que aquestes dades són assumides en aquesta prova). Així podem integrar-nos ( integració definitiva ) , és a dir, la funció que ens dóna els diferents cercles (separats pel factor infinitesimal) ), entre el valor mínim i màxim dels seus radis, e .

Integració del semicercle en el pla cartesià

Per procedir al càlcul de l' àrea d'un cercle mitjançant un segon mètode, primer considerem una circumferència amb centre a l'origen dels eixos ; això ens permet simplificar el cas genèric d'una circumferència traduïda respecte a l'origen, ja que la traducció no modifica l'àrea.

L’equació d’una circumferència de radi genèric i el centre en l'origen dels eixos és:

Com sabem per la definició, la fórmula anterior no és una funció , ja que associa més d'un punt a alguns punts. Per resoldre aquest inconvenient i integrar la funció és suficient, després d’haver-ho fet explícit respecte a les ordenades , , feu només imatges no negatives.

Per tant, tindrem l’ equació de la funció que descriu el semicercle amb centre a l’origen del radi genèric I

Per tant, per conèixer l’àrea del cercle complet és suficient calcular l’àrea sota la funció, entre I :

A continuació, realitzem els càlculs utilitzant el teorema fonamental del càlcul integral :

Per arribar a la fórmula final recordem que des del principi estàvem calculant l’àrea entre la gràfica del semicercle i l’eix , de manera que l'àrea del cercle centrada a l'origen serà doble:

que és la fórmula més utilitzada.

Hem de tenir en compte que en aquesta prova prenem com a definida la fórmula de l' arcsino (per trobar una primitiva de la funció) i, per tant, una bona part de la trigonometria ; tanmateix, això també significa inserir en els conceptes necessaris per utilitzar aquest mètode el de pi , que està indissolublement lligat al concepte de cercle i a les relacions entre les seves parts.

El perímetre del cercle

El perímetre del cercle es pot calcular amb la fórmula , és a dir, el doble del pi del radi.

Integració del semicercle en el pla cartesià

El perímetre del cercle, que també es pot definir com la longitud de la circumferència , es pot considerar calculable gràcies a la integració de la funció corresponent al semicercle, que té un centre a l’origen, entre I , és a dir, el radi. Obbviament no podem utilitzar la integral definida, però necessitem la integral que associa la longitud de la corba que descriu a una funció: la fórmula d’aquesta integral, donada una funció i dos punts I I:

Sabem que l’equació d’una circumferència de radi genèric i el centre en l'origen dels eixos és:

Això, com es veu per a l'àrea, s'ha de convertir en una funció, i per fer-ho n'hi ha prou després d'haver-ho fet explícit com a funció de , , feu només imatges no negatives.

L’equació de la funció que descriu el semicercle que necessitem serà

Per calcular la integral, però, necessitem la primera derivada de la mateixa funció, per tant:

Ara podem procedir a calcular la integral de la corba entre I . A continuació, realitzem els càlculs utilitzant el teorema de Torricelli-Barrow com abans:

Però com que calculàvem la longitud d’un semicercle, el perímetre del cercle serà igual al doble del valor trobat, és a dir:

I aquest és exactament el valor que s’utilitza habitualment.

Pel que fa al càlcul de l’àrea, hem de recordar que per a la prova és essencial conèixer la trigonometria, que en realitat implica conèixer el valor de pi i la seva connexió amb els components d’un cercle. Per tant, a la pràctica, el que hem fet més que una demostració és una prova de la fórmula que uneix el radi i la longitud de qualsevol circumferència.

Cercle, literatura i filosofia

La figura del cercle i el cercle es troba al centre de l’ obra de Plató . Leonardo da Vinci va preferir situar la figura de l’espiral al centre de la natura. També ho va fer Ralph Waldo Emerson , introduint en el seu assaig sobre "Cercles" la figura dels cercles en expansió com a símbol de l'avanç de l'esperit humà.

Angles particulars del cercle

L’angle de la circumferència que subtendeix un diàmetre del mateix cercle sempre és correcte

Cantonada al centre

L’angle al centre es defineix com l’angle que té com a vèrtex el centre de la circumferència i dues semirectes que tallen la circumferència dels seus costats. El cercle es divideix en dues parts per cada cantonada del centre. La seva amplitud es calcula amb la proporció següent:

Propietat

L'angle al centre sempre és el doble de l'angle corresponent a la circumferència, quan els vèrtexs de l'angle del centre i l'angle de la circumferència es troben al mateix costat respecte a l'acord identificat pels dos punts d'intersecció dels costats dels dos angles amb la circumferència. D'altra banda, quan el vèrtex de l'angle a la circumferència es troba al costat oposat respecte al centre, l'angle a la circumferència és complementari a la meitat de l'angle del centre, és a dir, la suma de l'angle a la circumferència i la meitat de l'angle del centre és igual en un angle pla. En conseqüència, si un angle respecte a la circumferència és correcte, subtendeix el diàmetre del cercle, és a dir, l’angle corresponent al centre és pla. D’aquí es deriven les següents propietats del triangle rectangle:

  • cada triangle rectangle està inscrit en un semicercle;
  • en cada triangle rectangle, la hipotenusa coincideix amb un diàmetre del cercle circumscrit.

Formulari

Fórmules geomètriques

Donada una circumferència, ho són el radi, la zona, el diàmetre, el perímetre. Llavors tenim:

radi

Perímetre

Zona

Fórmules analítiques

Tenir les coordenades del centre i un punt a la circumferència podeu determinar l'àrea

radi
Zona

En el seu lloc, doneu les coordenades de tres punts , , qualsevol de la circumferència es calcula les coordenades del centre com les del circumcentre del triangle [2]

amb

Nota

  1. De Mauro , a old.demauroparavia.it (arxivat des de l' URL original l'1 de gener de 2008) . Def. 1b
  2. Circumcircle a Mathwold

Articles relacionats

Altres projectes

Enllaços externs

Control de l'autoritat Thesaurus BNCF 11846
Matemàtiques Portal de matemàtiques : accediu a les entrades de Wikipedia relacionades amb les matemàtiques