Ceviana

En geometria , un cevià és genèricament un segment que connecta un vèrtex del triangle al seu costat oposat o a la seva extensió; mentre que amb línia Ceviana entenem per extensió la línia sobre la qual es troba.

Particularment importants són els cevians competidors en un sol punt , anomenat cevià - les condicions de suficiència del qual estan dictades pel teorema de Ceva - que designen als costats oposats també tres punts que són els vèrtexs del triangle cevià relatiu el circumcercle del qual es denomina cercle cevià .

Llargada

Un triangle amb una ceviana de longitud d

Teorema de Stewart

La longitud d'un cevià es pot calcular amb el teorema de Stewart . A la figura, la longitud de la ceviana $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ ve donada per la fórmula:

\,b^{2}m+c^{2}n=a(d^{2}+mn).

{\ displaystyle \, b ^ {2} m + c ^ {2} n = a (d ^ {2} + mn).}

{\ displaystyle \, b ^ {2} m + c ^ {2} n = a (d ^ {2} + mn).}

Mitjana

La ceviana pot ser una mediana . En aquest cas, la seva longitud ve donada per la fórmula:

\,m(b^{2}+c^{2})=a(d^{2}+m^{2})

{\ displaystyle \, m (b ^ {2} + c ^ {2}) = a (d ^ {2} + m ^ {2})}

{\ displaystyle \, m (b ^ {2} + c ^ {2}) = a (d ^ {2} + m ^ {2})}

o bé

\,2(b^{2}+c^{2})=4d^{2}+a^{2}

{\ displaystyle \, 2 (b ^ {2} + c ^ {2}) = 4d ^ {2} + a ^ {2}}

{\ displaystyle \, 2 (b ^ {2} + c ^ {2}) = 4d ^ {2} + a ^ {2}}

a partir del qual

\,a=2m.

{\ displaystyle \, a = 2m.}

{\ displaystyle \, a = 2m.}

En aquest cas

d={\sqrt {\frac {2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}{4}}}.

{\ displaystyle d = {\ sqrt {\ frac {2b ^ {2} + 2c ^ {2} -a ^ {2}} {4}}}.}

{\ displaystyle d = {\ sqrt {\ frac {2b ^ {2} + 2c ^ {2} -a ^ {2}} {4}}}.}

Bisectriu

La ceviana pot ser bisectriu . En aquest cas, la seva longitud ve donada per la fórmula:

\,(b+c)^{2}=a^{2}\left({\frac {d^{2}}{mn}}+1\right),

{\ displaystyle \, (b + c) ^ {2} = a ^ {2} \ left ({\ frac {d ^ {2}} {mn}} + 1 \ right),}

{\ displaystyle \, (b + c) ^ {2} = a ^ {2} \ left ({\ frac {d ^ {2}} {mn}} + 1 \ right),}

i ^[1]

d^{2}+mn=bc

{\ displaystyle d ^ {2} + mn = bc}

{\ displaystyle d ^ {2} + mn = bc}

I

d={\frac {2{\sqrt {bcs(s-a)}}}{b+c}}

{\ displaystyle d = {\ frac {2 {\ sqrt {bcs (sa)}}} {b + c}}}

{\ displaystyle d = {\ frac {2 {\ sqrt {bcs (s-a)}}} {b + c}}}

on mig perímetre s = ( a + b + c ) / 2.

El costat de longitud a es divideix segons la proporció b : c .

Alçada

La ceviana pot ser una alçada del triangle. En aquest cas, la seva longitud ve donada per la fórmula:

\,d^{2}=b^{2}-n^{2}=c^{2}-m^{2}

{\ displaystyle \, d ^ {2} = b ^ {2} -n ^ {2} = c ^ {2} -m ^ {2}}

{\ displaystyle \, d ^ {2} = b ^ {2} -n ^ {2} = c ^ {2} -m ^ {2}}

I

d={\frac {2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}{a}},

{\ displaystyle d = {\ frac {2 {\ sqrt {s (sa) (sb) (sc)}}} {a}},}

{\ displaystyle d = {\ frac {2 {\ sqrt {s (s-a) (s-b) (s-c)}}} {a}},}

on mig perímetre s = ( a + b + c ) / 2.

Competint Ceviane

O bé és el punt cevià i AA ', BB ' i CC 'són els cevians

Tres cevians competidors identifiquen un punt cevià que pot ser intern i extern al perímetre del triangle; en el primer cas, també els tres cevis són interns a la figura, en canvi, quan és externa, només en queda un intern i l’arriba només si es prolonga, mentre que els altres dos creuen directament el punt i tallen les extensions dels costats.

O bé és el punt cevià i AA ', BB ' i CC 'són els cevians

També és possible determinar la longitud dels cevians concurrents que tenen coordenades trilineals (α, β, γ) del punt de simultaneïtat, les longituds dels respectius costats a , b i c dels costats del triangle, mitjançant la següent fórmula:

o_{i}={\frac {\sqrt {l_{j}l_{k}[l_{j}l_{k}(\omega _{j}^{2}+\omega _{k}^{2})+\omega _{j}\omega _{k}(l_{j}^{2}+l_{k}^{2}-l_{i}^{2})]}}{l_{j}\omega _{j}+l_{k}\omega _{k}}}

{\ displaystyle o_ {i} = {\ frac {\ sqrt {l_ {j} l_ {k} [l_ {j} l_ {k} (\ omega _ {j} ^ {2} + \ omega _ {k} ^ {2}) + \ omega _ {j} \ omega _ {k} (l_ {j} ^ {2} + l_ {k} ^ {2} -l_ {i} ^ {2})]}} { l_ {j} \ omega _ {j} + l_ {k} \ omega _ {k}}}}

{\ displaystyle o_ {i} = {\ frac {\ sqrt {l_ {j} l_ {k} [l_ {j} l_ {k} (\ omega _ {j} ^ {2} + \ omega _ {k} ^ {2}) + \ omega _ {j} \ omega _ {k} (l_ {j} ^ {2} + l_ {k} ^ {2} -l_ {i} ^ {2})]}} { l_ {j} \ omega _ {j} + l_ {k} \ omega _ {k}}}}

on l _x indica el costat i ω _x la coordenada trilineal relativa del punt.

El punt de competició també marca als tres cevians tres relacions r _i entre la seva distància del vèrtex I i el punt d'intersecció amb el costat oposat:

r_{a}={\frac {AO}{OA'}}

{\ displaystyle r_ {a} = {\ frac {AO} {OA '}}}

{\ displaystyle r_ {a} = {\ frac {AO} {OA '}}}

;

r_{b}={\frac {BO}{OB'}}

{\ displaystyle r_ {b} = {\ frac {BO} {OB '}}}

{\ displaystyle r_ {b} = {\ frac {BO} {OB '}}}

;

r_{c}={\frac {CO}{OC'}}

{\ displaystyle r_ {c} = {\ frac {CO} {OC '}}}

{\ displaystyle r_ {c} = {\ frac {CO} {OC '}}}

Per a aquestes relacions s'apliquen les sumes i les relacions de producte següents:

r_{a}+r_{b}+r_{c}={\frac {b\beta +c\gamma }{a\alpha }}+{\frac {a\alpha +c\gamma }{b\beta }}+{\frac {a\alpha +b\beta }{c\gamma }}

{\ displaystyle r_ {a} + r_ {b} + r_ {c} = {\ frac {b \ beta + c \ gamma} {a \ alpha}} + {\ frac {a \ alpha + c \ gamma} { b \ beta}} + {\ frac {a \ alpha + b \ beta} {c \ gamma}}}

{\ displaystyle r_ {a} + r_ {b} + r_ {c} = {\ frac {b \ beta + c \ gamma} {a \ alpha}} + {\ frac {a \ alpha + c \ gamma} { b \ beta}} + {\ frac {a \ alpha + b \ beta} {c \ gamma}}}

r_{a}r_{b}r_{c}={\frac {(a\alpha +b\beta )(b\beta +c\gamma )(a\alpha +c\gamma )}{abc\alpha \beta \gamma }}

{\ displaystyle r_ {a} r_ {b} r_ {c} = {\ frac {(a \ alpha + b \ beta) (b \ beta + c \ gamma) (a \ alpha + c \ gamma)} {abc \ alpha \ beta \ gamma}}}

{\ displaystyle r_ {a} r_ {b} r_ {c} = {\ frac {(a \ alpha + b \ beta) (b \ beta + c \ gamma) (a \ alpha + c \ gamma)} {abc \ alpha \ beta \ gamma}}}

els valors dels quals són respectivament ≥6 i ≥8. ^[2]

Nota

^ Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry , Dover Publ., 2007 (orig. 1929), pàg. 70.
↑ Honsberger. Episodis de la geometria euclidiana del segle XIX i XX . Washington, matemàtiques. Assoc. Amer. 1995 pp. 138-141

Enllaços externs

( EN ) Ross Honsberger, Episodis de la geometria euclidiana del segle XIX i XX , MAA , Cambridge University Press , 1995 ISBN 978-0-88385-639-0 , pàg. 13 i 137.
( EN ) Vladimir Karapetoff, Algunes propietats de les línies de vèrtexs correlatius en un triangle pla , American Mathematical Monthly , 36 (1929), 476-9 jstor .
( EN ) Eric W. Weisstein, Ceviana , a MathWorld , Wolfram Research.

Portal de matemàtiques : accediu a les entrades de Wikipedia relacionades amb les matemàtiques

[Johnson-1] Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry , Dover Publ., 2007 (orig. 1929), pàg. 70.

[2] Honsberger. Episodis de la geometria euclidiana del segle XIX i XX . Washington, matemàtiques. Assoc. Amer. 1995 pp. 138-141

[1]

[2]