Ceviana

De la Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure.
Saltar a la navegació Saltar a la cerca

En geometria , un cevià és genèricament un segment que connecta un vèrtex del triangle al seu costat oposat o a la seva extensió; mentre que amb línia Ceviana entenem per extensió la línia sobre la qual es troba.

Particularment importants són els cevians competidors en un sol punt , anomenat cevià - les condicions de suficiència del qual estan dictades pel teorema de Ceva - que designen als costats oposats també tres punts que són els vèrtexs del triangle cevià relatiu el circumcercle del qual es denomina cercle cevià .

Llargada

Un triangle amb una ceviana de longitud d

Teorema de Stewart

La longitud d'un cevià es pot calcular amb el teorema de Stewart . A la figura, la longitud de la ceviana ve donada per la fórmula:

Mitjana

La ceviana pot ser una mediana . En aquest cas, la seva longitud ve donada per la fórmula:

o bé

a partir del qual

En aquest cas

Bisectriu

La ceviana pot ser bisectriu . En aquest cas, la seva longitud ve donada per la fórmula:

i [1]

I

on mig perímetre s = ( a + b + c ) / 2.

El costat de longitud a es divideix segons la proporció b : c .

Alçada

La ceviana pot ser una alçada del triangle. En aquest cas, la seva longitud ve donada per la fórmula:

I

on mig perímetre s = ( a + b + c ) / 2.

Competint Ceviane

O bé és el punt cevià i AA ', BB ' i CC 'són els cevians

Tres cevians competidors identifiquen un punt cevià que pot ser intern i extern al perímetre del triangle; en el primer cas, també els tres cevis són interns a la figura, en canvi, quan és externa, només en queda un intern i l’arriba només si es prolonga, mentre que els altres dos creuen directament el punt i tallen les extensions dels costats.

O bé és el punt cevià i AA ', BB ' i CC 'són els cevians

També és possible determinar la longitud dels cevians concurrents que tenen coordenades trilineals (α, β, γ) del punt de simultaneïtat, les longituds dels respectius costats a , b i c dels costats del triangle, mitjançant la següent fórmula:

on l x indica el costat i ω x la coordenada trilineal relativa del punt.

El punt de competició també marca als tres cevians tres relacions r i entre la seva distància del vèrtex I i el punt d'intersecció amb el costat oposat:

; ;

Per a aquestes relacions s'apliquen les sumes i les relacions de producte següents:

els valors dels quals són respectivament ≥6 i ≥8. [2]

Nota

  1. ^ Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry , Dover Publ., 2007 (orig. 1929), pàg. 70.
  2. Honsberger. Episodis de la geometria euclidiana del segle XIX i XX . Washington, matemàtiques. Assoc. Amer. 1995 pp. 138-141

Enllaços externs

Matemàtiques Portal de matemàtiques : accediu a les entrades de Wikipedia relacionades amb les matemàtiques