Cilindre (geometria)

De la Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure.
Saltar a la navegació Saltar a la cerca
Cilindre circular recte

En matemàtiques, un cilindre el·líptic és un quadric (és a dir, una superfície en un espai tridimensional definit per una equació polinòmica de segon grau en , , ), que compleix la següent equació en coordenades cartesianes :

Aquesta és l’equació d’un cilindre el·líptic. Un cilindre també es pot considerar un prisma de base circular, on el nombre de rectangles és, doncs, infinit.

Jo tens la superfície d’un cilindre circular . El cilindre és un quadric degenerat ja que una de les coordenades espacials no apareix a la seva equació (en el cas anterior la coordenada ). Segons algunes terminologies, els cilindres no es consideren casos particulars de quadric.

Cilindre circular pla i truncat

D'ús comú, la paraula cilindre significa el conjunt limitat de punts delimitats per un cilindre circular dret i dos plans ortogonals al seu eix; als seus dos extrems plans té dues superfícies circulars, com a la figura de la dreta. Si aquest cilindre té un radi i alçada , el seu volum ve donat per

i la seva superfície lateral

mentre que la seva superfície total ve donada per la suma de la superfície lateral i el doble de la superfície base.

Superfície base:

Àrea total:

El volum del cilindre es pot calcular mitjançant el càlcul integral com el volum del sòlid obtingut per la rotació d’una línia paral·lela a l’eix d’ordenades (del tipus , amb constant) al voltant de l’eix d’abscisses. Tenim:

Ser només el radi del cilindre.

Per a un volum determinat, té el cilindre amb la superfície més petita . Per a una superfície determinada, el cilindre amb el volum més gran té . Un cilindre d’aquest tipus s’anomena cilindre equilàter .

Si s’ha de calcular el volum d’un cilindre circular truncat, s’ha d’utilitzar la següent fórmula [1] :

on és indica la longitud del costat curt, mentre que indica la longitud del costat llarg.

Si s’ha de calcular la superfície lateral d’un cilindre circular truncat, la fórmula és:

Cilindre el·líptic, hiperbòlic i parabòlic [2]

Cilindre el·líptic

Un cilindre el·líptic és invariant sota les rotacions de al voltant del seu eix de simetria, l'eix de en el cas de l’equació inicial; també és invariant en totes les traduccions directes com a eix. Un cilindre circular també és invariant sota totes les rotacions al voltant del seu eix.

Hi ha altres tipus de cilindres menys habituals. El que es caracteritza per la següent equació s’anomena cilindre el·líptic imaginari :

el cilindre hiperbòlic té l'equació:

mentre que el cilindre parabòlic té l'equació:

Més generalment, donada una corba i una recta, un cilindre és la superfície reglada constituïda per les rectes paral·leles a la recta donada i que incideixen amb la corba.

El volum d’ompliment del cilindre horitzontal

Un problema recurrent és el càlcul del volum de líquid col·locat dins d’un cilindre horitzontalment de longitud i radi , segons l'alçada assolit pel líquid. El problema és fàcil de resoldre: el volum és igual a l’àrea subtesa entre l’ acord d’ alçada i la circumferència, multiplicada per la longitud del cilindre.

Cilindre amb h <r
Cilindre amb h> r

És l'angle del centre (mesurat en radians ) que insisteix en la corda; establim els dos jo mateix I si en canvi ; Sara:

La fórmula vindrà donada per l'àrea de la secció circular identificada per l'angle menys el producte

(que representa l'àrea del triangle els vèrtexs del qual són el centre del cercle i les interseccions entre els costats de l'angle i la circumferència, o el seu contrari, segons el signe de ), tot multiplicat per la longitud del cilindre i, per tant:

De l’aplicació del càlcul integral s’obté la següent fórmula, vàlida per a qualsevol altura de líquid ( ) tant per a un nivell inferior a la meitat del tanc com per a un nivell superior a la meitat, aplicable mesurant directament només l’alçada del líquid h i coneixent la longitud del cilindre i el seu radi. En aquesta fórmula, per a significa l’altura del líquid mesurada amb la vareta graduada des del fons del tanc.

Tot i això, cal tenir en compte que, en general, els tancs no són perfectament cilíndrics. Per tant, es preparen taules d’informació específiques per determinar el volum de líquid contingut en un dipòsit col·locat horitzontalment, en funció del nivell del mateix líquid.

Nota

Articles relacionats

Altres projectes

Enllaços externs

Matemàtiques Portal de matemàtiques : accediu a les entrades de Wikipedia relacionades amb les matemàtiques