Sistema de referència cartesià

Representació d’alguns punts del pla cartesià

En matemàtiques , un sistema de referència cartesià és un sistema de referència format per $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ línies ortogonals , ^{[1] que es} tallen totes en un punt anomenat origen , en cadascuna de les quals es fixa una orientació (per tant són línies orientades ) i per a les quals també es fixa una unitat de mesura (és a dir, es fixa una mètrica normalment euclidiana ) que permet identificar qualsevol punt del conjunt mitjançant $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ nombres reals . En aquest cas, es diu que els punts d’aquest conjunt es troben en un espai de dimensió $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ .

Un marc de referència cartesià en dues dimensions s’anomena pla cartesià.

Normalment s’utilitza un sistema de referència cartesià tridimensional per identificar la posició dels punts en l’espai físic . No obstant això, s’utilitzen altres sistemes de referència no necessàriament cartesians i un nombre diferent de dimensions, anomenats graus de llibertat en aquest context, per descriure la posició d’objectes més complicats.

Mitjançant un sistema de referència cartesià, és possible descriure formes geomètriques com corbes o superfícies mitjançant equacions algebraiques: els punts de l’objecte geomètric són els que satisfan l’equació associada. Per exemple, és possible descriure una circumferència en el pla cartesià o un quadric en un espai tridimensional.

Història

L'ús de coordenades geomètriques va ser introduït per primera vegada per Nicola d'Oresme , un matemàtic del segle XIV que treballava a París ^[2] . L’adjectiu cartesià fa referència al matemàtic i filòsof francès René Descartes (llatinitzat a Renatus Cartesius , italianitzat a Renato Descartes ), que, entre altres coses, reprenent els estudis de Nicola d’Oresme, va treballar en la fusió de l’ àlgebra amb la geometria euclidiana . Aquests estudis van influir en el desenvolupament de la geometria analítica , el càlcul i la cartografia .

La idea d'aquest sistema de referència es va desenvolupar el 1637 en dos escrits de Descartes i independentment de Pierre de Fermat , encara que Fermat no va publicar el seu descobriment ^[3] . A la segona part del seu Discurs sobre el mètode , Descartes introdueix la nova idea d’especificar la posició d’un punt o objecte sobre una superfície mitjançant dues línies que es creuen en un punt com a instruments de mesura, una idea que es reprèn a La Geometria ^{[4]. ]} .

Avió cartesià

Un sistema ortogonal de coordenades cartesianes bidimensionals s’anomena simplement pla cartesià i consisteix en:

l'eix d'abscisses constitueix la línia de referència, que Oresme va anomenar longitudo , (generalment caracteritzada per la lletra $x$ ${\ displaystyle x}$ $x$ );
l'eix d'ordenades constitueix la línia recta ortogonal a la línia de referència, que Oresme anomenava latitudo , (generalment caracteritzada per la lletra $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ );
l’origen, el punt on es troben les dues línies.

El pla cartesià, que sovint s’anomena $x y$ ${\ displaystyle xy}$ $xy$ a partir del nom dels eixos, es pot imaginar, pensant que l'avió està submergit horitzontalment en l'espai físic (sòl), i de peu en un punt amb el braç esquerre estirat cap endavant i el braç dret estirat cap al costat per formar amb els dos braços tenen un angle recte: el punt en què es representa l’origen, la direcció del braç dret representa l’eix de les abscisses positives (al costat oposat les abscisses negatives), la direcció del braç esquerre representa l’eix del ordenades positives (darrere dels ordres negatius).

L’equació

x^{2}+y^{2}=4

{\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = 4}

x ^ {2} + y ^ {2} = 4

representat al pla

x y

{\ displaystyle xy}

xy

representa un cercle de radi

2

{\ displaystyle 2}

2

i centrat en l'origen.

El sistema format pel parell dels dos eixos orientats (i implícitament des de l’origen) permet identificar cada punt del pla amb un parell de nombres reals anomenats respectivament abscissa i ordenada del punt, els valors absoluts dels quals representen les distàncies de el punt respectivament des de l’eix $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ (ordenada) i des de l’eix $x$ ${\ displaystyle x}$ $x$ (abscissa). Les coordenades d’un punt genèric del pla o d’un punt que es creu variable solen denotar-se amb $x$ ${\ displaystyle x}$ $x$ I $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ . Els punts de l’eix $x$ ${\ displaystyle x}$ $x$ llavors van ordenar $y=0$ ${\ displaystyle y = 0}$ $y = 0$ , mentre que els punts de l'eix $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ tenir abscissa $x=0$ ${\ displaystyle x = 0}$ $x = 0$ ; en conseqüència l’origen té coordenades $x=0$ ${\ displaystyle x = 0}$ $x = 0$ I $y=0$ ${\ displaystyle y = 0}$ $y = 0$ . De vegades es denota el sistema dels dos eixos $O x y$ ${\ displaystyle Oxy}$ $Oxy$ .

Per tant, un punt genèric es pot expressar per escrit $\left(x;y\right)$ ${\ displaystyle \ left (x; y \ right)}$ $\ left (x; y \ right)$ o bé $\langle x;y\rangle$ ${\ displaystyle \ langle x; y \ rangle}$ $\ langle x; y \ rangle$ . Per exemple, els punts $(2;3)$ ${\ displaystyle (2; 3)}$ ${\ displaystyle (2; 3)}$ I $(2;5)$ ${\ displaystyle (2; 5)}$ ${\ displaystyle (2; 5)}$ tenen la mateixa abscissa (per tant, es troben en una línia paral·lela a l’eix $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ ), mentre que els punts $(2;3)$ ${\ displaystyle (2; 3)}$ ${\ displaystyle (2; 3)}$ I $(-1;3)$ ${\ displaystyle (-1; 3)}$ ${\ displaystyle (-1; 3)}$ tenen la mateixa ordenada (per tant, es troben en una línia paral·lela a l’eix $x$ ${\ displaystyle x}$ $x$ ). En particular: si dos punts tenen la mateixa abscissa però ordenades oposades són simètrics respecte a l'eix $x$ ${\ displaystyle x}$ $x$ ; si dos punts tenen la mateixa ordenada però abscisses oposades, són simètriques respecte a l'eix $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ ; si dos punts tenen coordenades oposades són simètrics respecte a l'origen.

El pla cartesià es divideix en quatre regions anomenades quadrants , indicades per xifres romanes progressives en sentit antihorari:

Quadrant I: inclou punts amb abscissa positiva i ordenada;
II quadrant: inclou punts amb abscissa negativa i ordenada positiva;
Quadrant III: inclou punts amb abscissa negativa i ordenada;
4t quadrant: inclou punts amb abscissa positiva i ordenada negativa.

El pla cartesià permet representar gràficament funcions d’ equacions $y=f(x)$ ${\ displaystyle y = f (x)}$ $y = f (x)$ en quin $x$ ${\ displaystyle x}$ $x$ és la variable independent e $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ la variable dependent. Això us permet visualitzar la "forma" de funcions (o corbes) i resoldre gràficament sistemes d'equacions múltiples com a interseccions entre les corbes corresponents.

El pla cartesià com a espai vectorial

Per definició, hi ha una correspondència un a un entre els punts del pla cartesià i els parells ordenats de nombres reals. El conjunt de tots els parells de nombres reals, $\mathbb {R} ^{2}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ $\ mathbb {R} ^ 2$ és un $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ - espai vectorial . La base canònica de $\mathbb {R} ^{2}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ $\ mathbb {R} ^ 2$ I $E=\left(E_{1},E_{2}\right)$ ${\ displaystyle E = \ left (E_ {1}, E_ {2} \ right)}$ $E = \ left (E_ {1}, E_ {2} \ right)$ on $E_{1}=\left(1,0\right)$ ${\ displaystyle E_ {1} = \ left (1,0 \ right)}$ $E_ {1} = \ left (1,0 \ right)$ i $E_{2}=\left(0,1\right)$ ${\ displaystyle E_ {2} = \ left (0,1 \ right)}$ $E_ {2} = \ left (0,1 \ right)$ . Els elements de $I$ ${\ displaystyle E}$ $I$ tenen un significat geomètric important: són els versors fonamentals del pla, respectivament ${\vec {\imath }}$ ${\ displaystyle {\ vec {\ imath}}}$ ${\ vec {\ imath}}$ I ${\vec {\jmath }}$ ${\ displaystyle {\ vec {\ jmath}}}$ ${\ vec {\ jmath}}$ . Això significa, per la definició molt bàsica d’un espai vectorial, que el pla cartesià és generat pels versors fonamentals i que cada punt del pla es pot expressar, d’una manera única , com una combinació lineal dels versors fonamentals (això justifica l’expressió de punts del pla cartesià). Tingueu en compte també que cada eix cartesià és un subespai vectorial del pla cartesià.

Generalització tridimensional

El primer octant d’un sistema de referència cartesià tridimensional, amb l’eix

x

{\ displaystyle x}

x

assenyalant cap al visor ("surt" de la pantalla). Es ressalten les projeccions del punt de l'eix

z

{\ displaystyle z}

z

, a l'avió

x y

{\ displaystyle xy}

xy

i les projeccions posteriors sobre els dos eixos

x

{\ displaystyle x}

x

I

y

{\ displaystyle y}

y

.

Afegint una tercera dimensió al pla obtenim l’ espai euclidià tridimensional, que és el modelatge més conegut de l’espai físic per a nosaltres i l’utilitzat en mecànica clàssica : per tant, es pot utilitzar un sistema d’eixos cartesians com a sistema de referència per localitzar objectes a l’espai., donant-li coordenades.

En tractar-se d’una generalització directa del pla cartesià, un sistema de referència cartesià tridimensional està format per tres línies orientades entre elles perpendicularment i que incideixen en un punt, anomenat origen dels eixos. Els tres asos (generalment anomenats $x,\;y$ ${\ displaystyle x, \; y}$ ${\ displaystyle x, \; y}$ I $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ ) identifica tres plans a l’espai ( $x y$ ${\ displaystyle xy}$ $xy$ , $x z$ ${\ displaystyle xz}$ ${\ displaystyle xz}$ I $y z$ ${\ displaystyle yz}$ ${\ displaystyle yz}$ ), que divideixen l’espai en vuit octants , semblants als quatre quadrants formats pels eixos cartesians en dues dimensions. Cada punt s’identifica mitjançant 3 coordenades, que representen cadascuna la distància del punt al pla format pels altres dos.

Com en el cas del pla, cada punt de l'espai tridimensional es pot identificar mitjançant un vector en l'espai tridimensional (indicat com $\mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ $\ mathbb {R} ^ {3}$ ) i s’expressa com una combinació lineal de les tres unitats vectorials bàsiques, convencionalment indicada amb ${\hat {\imath }}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ imath}}}$ ${\ hat {\ imath}}$ , ${\hat {\jmath }}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ jmath}}}$ ${\ hat {\ jmath}}$ I ${\hat {k}}$ ${\ displaystyle {\ hat {k}}}$ ${\ hat {k}}$ :

{\vec {v}}=x{\hat {\imath }}+y{\hat {\jmath }}+z{\hat {k}}

{\ displaystyle {\ vec {v}} = x {\ hat {\ imath}} + y {\ hat {\ jmath}} + z {\ hat {k}}}

{\ vec {v}} = x {\ hat {\ imath}} + y {\ hat {\ jmath}} + z {\ hat {k}}

on és $x$ ${\ displaystyle x}$ $x$ , $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ I $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ representen les coordenades en el punt del sistema de referència format per la base $({\hat {\imath }},{\hat {\jmath }},{\hat {k}}\,\!)$ ${\ displaystyle ({\ hat {\ imath}}, {\ hat {\ jmath}}, {\ hat {k}} \, \!)}$ $({\ hat {\ imath}}, {\ hat {\ jmath}}, {\ hat {k}} \, \!)$ .

Geometria analítica

El pla cartesià (i més generalment el sistema de referència cartesià a $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ dimensions) permetien conciliar la geometria i l’ àlgebra en una sola branca de les matemàtiques : la geometria analítica (anomenada així de l’anàlisi matemàtica ). Per exemple, en el pla cartesià una línia recta representa les solucions d’una equació de primer grau en dues variables $x$ ${\ displaystyle x}$ $x$ I $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ del tipus $ax+by+c=0$ ${\ displaystyle ax + per + c = 0}$ $ax + per + c = 0$ ; la intersecció de dues (o més) línies representa un sistema d’equacions lineals.

Forma explícita i forma implícita

Les equacions esmentades anteriorment es poden expressar en dues formes: la forma explícita i la forma implícita.

Per exemple, en el cas d’una línia recta, la primera consisteix en una equació del tipus $y=mx+q$ ${\ displaystyle y = mx + q}$ ${\ displaystyle y = mx + q}$ , mentre que el segon sembla $ax+by+c=0$ ${\ displaystyle ax + per + c = 0}$ $ax + per + c = 0$ . Per passar de la forma implícita a la forma explícita, només cal portar tots els termes exclosos $b y$ ${\ displaystyle per}$ ${\ displaystyle per}$ al segon membre i després divideix per b ( principi d’equivalència d’equacions ). Tingueu en compte que, en la forma explícita, es coneix el terme $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ , anomenada intercepció o ordenada a l'origen, indica l'ordenada del punt d'intersecció de la línia amb l'eix $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ , mentre que el coeficient del desconegut $x$ ${\ displaystyle x}$ $x$ , $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ , s’anomena coeficient angular i indica el "pendent" de la línia recta . Per descomptat, la transició de la forma implícita a la forma explícita només és possible si el coeficient $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ és diferent de zero, és a dir, només si la línia no és paral·lela a l'eix d'ordenades.

L’equació de la recta

El mateix tema en detall: Línia en el pla cartesià .

Donats dos punts diferents $A=(x_{1},y_{1})$ ${\ displaystyle A = (x_ {1}, y_ {1})}$ ${\ displaystyle A = (x_ {1}, y_ {1})}$ I $B=(x_{2},y_{2})$ ${\ displaystyle B = (x_ {2}, y_ {2})}$ ${\ displaystyle B = (x_ {2}, y_ {2})}$ , l'equació de la recta que passa per aquests punts és: ${\frac {x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {x-x_ {1}} {x_ {2} -x_ {1}}} = {\ frac {y-y_ {1}} {y_ {2} -y_ {1}}} }$ ${\ displaystyle {\ frac {x-x_ {1}} {x_ {2} -x_ {1}}} = {\ frac {y-y_ {1}} {y_ {2} -y_ {1}}} }$ també anomenat $y=mx+q$ ${\ displaystyle y = mx + q}$ ${\ displaystyle y = mx + q}$ on és $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ és el coeficient angular donat per ${\frac {\Delta y}{\Delta x}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ Delta y} {\ Delta x}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ Delta y} {\ Delta x}}}$ .

Nota

^ En general, les línies rectes no necessiten ser ortogonals entre si, però els sistemes ortogonals són en general molt més fàcils d'utilitzar.
↑ Ludovico Geymonat, Història del pensament filosòfic i científic , Milà, Aldo Garzanti, 1970-1971.
^ "geometria analítica". Encyclopædia Britannica (Encyclopædia Britannica Online), 2008. Consultat el 08-02-2008.
^ ( FR ) Descartes, René, La Géométrie , pàg. Livre Premier: Des problèmes qu'on peut construire sans y employer that des cercles et des lines droites (Primer llibre: problemes la construcció dels quals només requereix cercles i línies rectes).

Bibliografia

(EN) David A. Brennan, Matthew F. Esplen i Jeremy J. Gray, Geometry, Cambridge, Cambridge University Press, 1998, ISBN 0-521-59787-0 .
( EN ) James R. Smart, Modern Geometries (5th Ed) , Pacific Grove, Brooks / Cole, 1998, ISBN 0-534-35188-3 .
( FR ) Descartes, René , Discurs sobre mètode, òptica, geometria i meteorologia , trans. per Paul J. Oscamp, Revised, Indianapolis, IN, Hackett Publishing, 2001, ISBN 0-87220-567-3 , OCLC 488633510 .
( EN ) Korn GA, Korn TM,Mathematical Handbook for Scientists and Engineers , 1st, Nova York, McGraw-Hill, 1961, pp. 55-79, LCCN 59-14456 , OCLC 19959906 .
( EN ) Margenau H , Murphy GM, The Mathematics of Physics and Chemistry , Nova York, D. van Nostrand, 1956, LCCN 55-10911 .
( EN ) Moon P, Spencer DE, Coordenades rectangulars (x, y, z) , al Manual de teoria del camp, incloent sistemes de coordenades, equacions diferencials i les seves solucions , corregit 2n, 3r imprès, Nova York, Springer-Verlag, 1988, pàg. 9-11 (Taula 1.01), ISBN 978-0-387-18430-2 .
( EN ) Morse PM , Feshbach H , Methods of Theoretical Physics, Part I , Nova York, McGraw-Hill, 1953, ISBN 0-07-043316-X , LCCN 52-11515 .
( EL ) Sauer R, Szabó I, Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs , Nova York, Springer Verlag, 1967, LCCN 67-25285 .

Articles relacionats

Altres projectes

Wikimedia Commons conté imatges o altres fitxers d’ un sistema de referència cartesià

Enllaços externs

( EN ) Construcció d'objectes de geometria analítica , a mygeometryteacher.com . Consultat el 3 de març de 2008 (arxivat de l' original el 15 de setembre de 2017) .

Control de l'autoritat	Thesaurus BNCF 61799 · GND (DE) 4370913-8

Portal de matemàtiques : accediu a les entrades de Wikipedia relacionades amb les matemàtiques

[1] En general, les línies rectes no necessiten ser ortogonals entre si, però els sistemes ortogonals són en general molt més fàcils d'utilitzar.

[2] Ludovico Geymonat, Història del pensament filosòfic i científic , Milà, Aldo Garzanti, 1970-1971.

[3] "geometria analítica". Encyclopædia Britannica (Encyclopædia Britannica Online), 2008. Consultat el 08-02-2008.

[4] ( FR ) Descartes, René, La Géométrie , pàg. Livre Premier: Des problèmes qu'on peut construire sans y employer that des cercles et des lines droites (Primer llibre: problemes la construcció dels quals només requereix cercles i línies rectes).

[1] que es

[2]

[3]

[4]. ]