Cub

Cub

Paio	Sòlid platònic
Forma de cares	Quadrats
Nº de cares	6
Nombre d'arestes	12
Nombre de vèrtexs	8
Valences a la part superior	3
Grup de simetria	$S_{4}\times \mathbb {Z} _{2}$ ${\ displaystyle S_ {4} \ times \ mathbb {Z} _ {2}}$ ${\ displaystyle S_ {4} \ times \ mathbb {Z} _ {2}}$
Dual	Octaedre
Angles diedres	90 ° ( angle recte )
Propietat	no quiral
Manual

Cub ( Matemateca Ime-Usp )

El cub o hexaedre regular és un dels 5 sòlids platònics , que té 6 cares quadrades, 8 vèrtexs i 12 arestes; a cada vèrtex hi ha tres arestes que són ortogonals de dos en dos; a cada vèrtex també es tallen tres cares que són de dues en dues ortogonals; això concorda amb el fet que el poliedre dual del cub és l’ octaedre , que té 8 cares triangulars, 6 vèrtexs i 12 arestes.

El cub és un paral·lelepíped regular i és un cas particular d’un prisma quadrat i d’un trapezoedre .

Cada cub es caracteritza per la longitud a de les seves vores. Tots els cubs amb vores de la mateixa longitud són congruents . Un cub amb arestes de longitud a sotmès a una homotetia del factor b / a es converteix en congruent amb cada cub amb arestes de longitud b .

El cub en geometria analítica

Moltes propietats del cub s’obtenen fàcilment amb eines de geometria analítica . Considerem cubs que fan referència a un marc de referència cartesià ortogonal, respecte del qual el punt variable de l’espai s’identifica mitjançant el marc $(x_{1},x_{2},x_{3})$ ${\ displaystyle (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3})}$ $(x_1, x_2, x_3)$ .

Un primer cub que pot ser útil considerar és el cub centrat a l’origen que té els vèrtexs en els punts donats pels triples atribuïbles a la forma (± 1, ± 1, ± 1); el conjunt dels seus punts interns es pot expressar com

\{(x_{1},x_{2},x_{3})\;|\;-1<x_{i}<1\ \forall i=1,2,3\}

{\ displaystyle \ {(x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) \; | \; - 1 <x_ {i} <1 \ \ forall i = 1,2,3 \}}

{\ displaystyle \ {(x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) \; | \; - 1 <x_ {i} <1 \ \ forall i = 1,2,3 \}}

Un altre cub que es pot manejar és aquell els vèrtexs dels quals són donats per triples binaris

(b_{1},b_{2},b_{3})\quad {\mbox{con}}\quad b_{i}=0,1\quad {\mbox{per}}\quad i=1,2,3

{\ displaystyle (b_ {1}, b_ {2}, b_ {3}) \ quad {\ mbox {con}} \ quad b_ {i} = 0,1 \ quad {\ mbox {per}} \ quad i = 1,2,3}

{\ displaystyle (b_ {1}, b_ {2}, b_ {3}) \ quad {\ mbox {con}} \ quad b_ {i} = 0,1 \ quad {\ mbox {per}} \ quad i = 1,2,3}

Això té com a centre $(1/2,1/2,1/2)$ ${\ displaystyle (1 / 2,1 / 2,1 / 2)}$ ${\ displaystyle (1 / 2,1 / 2,1 / 2)}$ .

Paràmetres mètrics

Els paràmetres mètrics del cub amb arestes de longitud a són els següents

Longitud de les diagonals de les cares	$\,{\sqrt {2}}\cdot a$ ${\ displaystyle \, {\ sqrt {2}} \ cdot a}$ ${\ displaystyle \, {\ sqrt {2}} \ cdot a}$
Longitud de les diagonals del cub (segments que connecten vèrtexs oposats)	$\,{\sqrt {3}}\cdot a$ ${\ displaystyle \, {\ sqrt {3}} \ cdot a}$ ${\ displaystyle \, {\ sqrt {3}} \ cdot a}$
Distància mínima entre el centre i una cara	$\,a/2$ ${\ displaystyle \, a / 2}$ ${\ displaystyle \, a / 2}$
Superfície total	$\,6a^{2}$ ${\ displaystyle \, 6a ^ {2}}$ ${\ displaystyle \, 6a ^ {2}}$
Volum	$\,a^{3}$ ${\ displaystyle \, a ^ {3}}$ ${\ displaystyle \, a ^ {3}}$

Relació volum / superfície

Desenvolupament del cub

S'observa que la construcció d'un cub de material mitjançant paper, cartró, làmines metàl·liques o altres per a les 6 cares, suposant que no hi ha malbaratament de material, condueix al paral·lelepíped amb la proporció més alta entre volum i superfície total.

La prova d’aquesta propietat d’optimitat requereix un càlcul infinitesimal .

Un objecte material anàleg construït amb cares rectangulars que no són totes quadrades té una proporció inferior entre el volum i la superfície total.

Poliedre dual

El poliedre dual del cub és l’ octaedre regular .

Simetries

Cristall cúbic de pirita

El cub té el mateix tipus de simetries que l’ octaedre, el seu dual. Té 24 simetries de rotació , és a dir, que conserven l' orientació de l'espai, més 24 simetries que no el conserven. Per tant, el grup de simetria del cub està format per un total de 48 elements.

El subgrup donat per les 24 rotacions és isomorf per al grup $S_{4}$ ${\ displaystyle S_ {4}}$ $S_ {4}$ de les permutacions de 4 elements. De fet, hi ha exactament una rotació que realitza totes les permutacions possibles dels 4 parells de vèrtexs oposats.

El grup de simetria total és isomorf per al producte $S_{4}\times \mathbb {Z} /_{2\mathbb {Z} }$ ${\ displaystyle S_ {4} \ times \ mathbb {Z} / _ {2 \ mathbb {Z}}}$ ${\ displaystyle S_ {4} \ times \ mathbb {Z} / _ {2 \ mathbb {Z}}}$ des de $S_{4}$ ${\ displaystyle S_ {4}}$ $S_ {4}$ amb un grup cíclic amb 2 elements.

Relacions amb altres sòlids platònics

Tetraedres en un cub

Tres arestes d’un tetraedre inscrit al cub, costats d’una cara triangular.

Es poden inscriure cinc tetraedres en un cub; al centre, entre els quatre tetraedres de la part superior, hi ha exactament un tetraedre perfectament inscrit; els vèrtexs de cadascun dels quatre tetraedres externs són 4 dels 8 vèrtexs del mateix cub. Els vèrtexs del cub es poden dividir en dos conjunts: a la descripció amb nombres binaris, els vèrtexs amb la suma de les coordenades parells

(0,0,0),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)

{\ displaystyle (0,0,0), (1,1,0), (1,0,1), (0,1,1)}

{\ displaystyle (0,0,0), (1,1,0), (1,0,1), (0,1,1)}

i els vèrtexs amb la suma de les coordenades senars

(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,1).

{\ displaystyle (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1), (1,1,1).}

{\ displaystyle (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1), (1,1,1).}

Cadascun d’aquests quaternaris identifica un tetraedre, que té els vèrtexs en el quaternari, i les 6 arestes del qual són diagonals de les 6 cares quadrades del cub.

Cubs en un dodecaedre

Aplicació de dotze pentàgons a les vores d’un cub

De manera similar es pot veure que es poden inscriure 5 cubs en un dodecaedre , cadascun dels quals té arestes que són diàmetres d’una cara pentagonal del dodecaedre. De fet, s’observa que el dodecaedre té 12 cares i que cada cara té 5 diàmetres per a un total de 60 diàmetres superficials, tots de la mateixa longitud. Aquests diàmetres es poden dividir en 5 classes de 12 diàmetres cadascuna: els cinc diàmetres d’una cara s’assignen a classes diferents i cada classe està formada per diàmetres provinents de les 12 cares diferents.

Cadascuna d’aquestes classes constitueix el conjunt d’arestes d’un cub inscrit al dodecaedre. Si considerem la unió dels cinc cubs que es poden obtenir d’aquesta manera a partir d’un determinat dodecaedre, obtenim un poliedre compost regular, anomenat cinc cubs del dodecaedre .

Tessel·lació espacial

Reprodueix el fitxer multimèdia

Revolució del cub al voltant d’un eix

El cub és l’únic dels sòlids platònics que, amb les seves rèpliques, és capaç d’omplir l’espai amb regularitat, és a dir, de proporcionar una tessel·lació de l’espai . Els dos sòlids semirregulars , de la mateixa família de cubs, el prisma triangular regular i el prisma hexagonal regular , així com el sòlid arquimedià anomenat dodecaedre ròmbic, també gaudeixen de la mateixa propietat.

Els daus de joc són cubs.

Altres

Els daus de joc comuns a sis cares tenen forma cúbica.

En construir un model de material cub que té cada vora consisteix en una resistència d'1 ohm , la resistència entre dos vèrtexs adjacents és de 7/12 Ω, que entre dos vèrtexs oposats de 5/6 Ω.

L’ hipercub o cub $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -dimensional és una generalització del cub en dimensió $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ arbitrària.