Bipiràmide triangular

Bipiràmide triangular

Paio	Bipiramida Solid de Johnson J ₁₁ - J ₁₂ - J ₁₃
Forma de cares	Triangles
Nº de cares	6
Nombre d'arestes	9
Nombre de vèrtexs	5
Incidència de gestió superior	V3.4.4
Notació Schläfli	{} + {3}
Diagrama de Coxeter-Dynkin
Grup de simetria	D _3h , [3,2], (* 223) ordre 12
Grup rotatiu	D ₃ , [3,2] ⁺ , (223), ordre 6
Dual	Prisma triangular
Propietat	Convexitat , transitiva per a les cares
Politops relacionats
Poliedre dual
Desenvolupament del pla

Manual

En geometria , la bipiràmide triangular és un hexaedre que també és el primer element d’un conjunt infinit de bipiràmides transitives per a cares.

Característiques

Com el seu nom indica, aquest sòlid de 6 cares, que resulta ser el poliedre dual del prisma triangular , es pot construir unint dos tetraedres per una cara. Tot i que totes les seves cares són congruents i són transitives per cares, la bipiràmide triangular no és un sòlid platònic perquè alguns dels seus vèrtexs són comuns a tres cares i altres a quatre cares.

Si les cares de la bipiràmide són triangles equilàters , es converteix en un dels 92 sòlids de Johnson , en particular el J ₁₂ . Com a sòlid de Johnson, aquest bipiràmide triangular és un poliedre convex i no uniforme i el fet que les seves cares estiguin formades per polígons regulars el converteix en un deltaedre , particularment un dels vuit deltaedres estrictament convexos.

Fórmules

Considerada una bipiràmide triangular amb totes les cares regulars i amb una vora llarga $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ , les fórmules següents us permeten calcular la seva alçada $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ , la superfície $A$ ${\ displaystyle A}$ $A$ i el volum $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ :

H={\frac {2{\sqrt {6}}}{3}}L\approx 1,632993162\cdot L;

{\ displaystyle H = {\ frac {2 {\ sqrt {6}}} {3}} L \ approx 1.632993162 \ cdot L;}

{\ displaystyle H = {\ frac {2 {\ sqrt {6}}} {3}} L \ approx 1.632993162 \ cdot L;}

A={\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}L^{2}\approx 2,598076211\cdot L^{2};

{\ displaystyle A = {\ frac {3 {\ sqrt {3}}} {2}} L ^ {2} \ approx 2,598076211 \ cdot L ^ {2};}

{\ displaystyle A = {\ frac {3 {\ sqrt {3}}} {2}} L ^ {2} \ approx 2,598076211 \ cdot L ^ {2};}

V={\frac {\sqrt {2}}{6}}L^{3}\approx 0,235702260\cdot L^{3}.

{\ displaystyle V = {\ frac {\ sqrt {2}} {6}} L ^ {3} \ approx 0.235702260 \ cdot L ^ {3}.}

{\ displaystyle V = {\ frac {\ sqrt {2}} {6}} L ^ {3} \ approx 0.235702260 \ cdot L ^ {3}.}

Poliedre dual

El poliedre dual de la bipiràmide triangular és, com es va esmentar, el prisma triangular, que és un prisma de cinc cares: dos triangles equilàters paral·lels units per una sèrie de tres rectangles. Tot i que el prisma triangular també té una forma que el converteix en un poliedre uniforme, és a dir, en què les seves cares laterals són quadrades, el poliedre dual de la bipiràmide triangular té cares laterals rectangulars i no és un poliedre uniforme.

Poliedres correlacionats i tessel·lacions de l’espai

Igual que els altres políedres, també la bipiràmide triangular pot ser sotmesa a rectificació (és a dir, a un truncament on les vores es redueixen a la meitat), truncament i suavitzat (també anomenat "estovament"). La figura següent mostra aquestes tres operacions aplicades en seqüència al nostre poliedre.

D'esquerra a dreta una bipiràmide triangular sotmesa en seqüència a trituració, truncament i polit.

La bipiràmide triangular es pot utilitzar per formar una tessel·lació espacial completa juntament amb octaedres o juntament amb tetraedres truncats . ^[1]

Poliedre augmentat

Bipiràmide triangular construïda augmentant dos octaedres apilats.

La bipiràmide triangular es pot construir augmentant sòlids més petits, és a dir, dos octaedres regulars apilats amb tres bipiràmides triangulars (o sis tetraedres) al voltant dels costats i un tetraedre tant per sobre com per sota. El poliedre resultant d’aquest augment, que també es pot crear mitjançant l’augment d’una cèl·lula d’una tessel·lació espacial tetraoctaèdrica girada , té 24 cares en forma de triangle equilàter (4 per cara), no és un sòlid de Johnson, tenir-lo té cares coplanars i és un dels casos infinits de deltaedre no estrictament convex. Es poden generar poliedres triangulars més grans de la mateixa manera, amb 9, 16, 25 i més triangles equilàters per a cadascuna de les 6 cares, vist com una secció d’una tessel·la triangular .

Projecció d’esfera

La projecció sobre una esfera d’una bipiràmide triangular sembla la composició d’un osoedre i un diedre trigonal , i és membre d’una sèrie infinita de projeccions sobre una esfera de compostos de parells de poliedres regulars en doble posició. En associació amb els altres membres de la sèrie, la bipiràmide triangular de vegades es denomina "hexaedre deltoidal" (o "trapezoïdal"), tot i que en ella els "deltoides" són triangles i no estels .

Mutació de simetria * n 42 de tessel·les duals esteses: V3.4. n .4
Simetria * n 32 [n, 3]	Esfèric				Planar	Hiperbòlic compacte		Hiperbòlic paracompacta
Simetria * n 32 [n, 3]	* 232 [2,3]	* 332 [3.3]	* 432 [4.3]	* 532 [5.3]	* 632 [6.3]	* 732 [7.3]	* 832 [8,3] ...	* ∞32 [∞, 3]
Xifres Incidència	V3.4.2.4	V3.4.3.4	V3.4.4.4	V3.4.5.4	V3.4.6.4	V3.4.7.4	V3.4.8.4	V3.4.∞.4

Nota

^ H12 d'abelles , a woodenpolyhedra.web.fc2.com , Polyhedra de fusta. Consultat el 10 de juny de 2021 .

Bipiràmides n -gonals regulars:
Bipiramida	Bipiràmide digonal	Bipiràmide triangular (Vegeu: J ₁₂ )	Bipiràmide quadrada (Vegeu: O )	Bipiràmide pentagonal (Vegeu: J ₁₃ )	Bipiràmide hexagonal	Bipiràmide heptagonal	Bipiràmide octogonal	Bipiràmide ennagonal	Bipiràmide decagonal	...	Bipiràmide apirogonal
Imatge del poliedre										...
Imatge de tesel·lació esfèrica										Imatge de la tessel·lació del terra
Incidència	V2.4.4	V3.4.4	V4.4.4	V5.4.4	V6.4.4	V7.4.4	V8.4.4	V9.4.4	V10.4.4	...	V∞.4.4
Diagrama de Coxeter-Dynkin										...

Portal de matemàtiques : accediu a les entrades de Wikipedia relacionades amb les matemàtiques

[1] H12 d'abelles , a woodenpolyhedra.web.fc2.com , Polyhedra de fusta. Consultat el 10 de juny de 2021 .

[1]