Equació

De la Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure.
Saltar a la navegació Saltar a la cerca
Una equació típica

Una equació (del llatí aequatio ) és una igualtat matemàtica entre dues expressions que contenen una o més variables , anomenades incògnites. L’ús del terme es remunta almenys al Liber abbaci de Fibonacci ( 1228 ).

Si una equació té incògnites, després cadascuna -upla (ordenada) d’elements que substitueixen les incògnites corresponents fan que la igualtat sigui certa és una solució de l’ equació. Resoldre una equació significa identificar el conjunt de totes les seves solucions.

Descripció

Domini

El domini (o conjunt de definició ) de les variables desconegudes és el conjunt d’elements per als quals es defineixen les expressions dels dos costats de l’equació, és a dir, aquell conjunt de nombres per als quals existeix l’equació. El conjunt de solucions està condicionat pel domini: per exemple, l’equació

no admet solucions si el domini és el conjunt de nombres racionals , mentre que admet dues solucions en nombres reals , que es poden escriure com . De la mateixa manera, l’equació

no té solucions reals, però es pot resoldre si el domini és el camp dels nombres complexos .

Principis d'equivalència

Es diu que dues equacions són equivalents si els respectius conjunts de solucions coincideixen. Hi ha dos principis que permeten manipular les equacions per trobar el conjunt de solucions; són una conseqüència directa de les propietats de les igualtats:

  • Primer principi d’equivalència : donada una equació, sumar o restar a tots dos membres el mateix nombre o la mateixa expressió que conté la incògnita dóna una equació equivalent, sempre que, en el cas d’afegir una expressió dependent d’una incògnita, les condicions d’existència siguin no restringit.
    Exemple:
  • Segon principi d’equivalència : donada una equació, multiplicant o dividint els dos costats per un nombre diferent de zero, o per una expressió que contingui la incògnita que no anul·la qualsevol que sigui el valor de la mateixa incògnita i que no restringeixi les condicions de existència, s’obté una equació equivalent.
    Exemple:

Notacions

Normalment en una equació apareixen, a més de les incògnites, els coeficients coneguts que multipliquen les incògnites i els termes coneguts que se'ls apliquen per suma algebraica : aquests elements, si no són explícits pel seu valor numèric, s'indiquen generalment amb les lletres , , ... mentre que les darreres lletres de l’alfabet s’atribueixen convencionalment a variables desconegudes ( , , ...).

Les solucions d’una equació s’indiquen generalment fent explícites les incògnites de les expressions que contenen les constants i qualsevol paràmetre arbitrari. Per exemple, la solució de l’equació

on és és un paràmetre no nul i el domini és el conjunt de nombres reals, escrits com

Nomenclatura

Es diu una equació:

  • determinat si admet un nombre finit d’arrels, en aquest cas el conjunt de solucions serà discret, format per un nombre finit d’elements.
  • impossible si no admet cap arrel, en aquest cas el conjunt de solucions serà el conjunt buit.
  • identitat si té tot el domini com a conjunt de solucions, en aquest cas el conjunt de solucions serà igual al domini.
  • indeterminat si el nombre de solucions és infinit però no coincideix amb tot el domini, en aquest cas el conjunt de solucions serà infinit i diferent del conjunt de dominis.

Solvibilitat

Icona de la lupa mgx2.svg El mateix tema en detall: resoldre una equació .

A partir del teorema fonamental de l'àlgebra [1] , es dedueix immediatament que una equació polinòmica (és a dir, formada per un polinomi igual a zero, en una variable) de grau sempre admet solucions en el camp complex, algunes de les quals poden ser múltiples. Concretament una equació de grau admet almenys solució i com a màxim diferents solucions complexes [2] .

Pel teorema d'Abel-Ruffini , no hi ha una fórmula general per expressar les arrels de les equacions de grau polinòmiques o superior mitjançant una fórmula radical. Per contra, les equacions de primer grau , segon grau , tercer grau i quart grau admeten una fórmula de solució genèrica. No obstant això, casos particulars d’equacions superiors al quart grau es poden resoldre mitjançant radicals.

El mètode de les tangents de Newton , sota certs supòsits, proporciona un algorisme per a la solució numèrica d’equacions. Un altre algorisme amb suposicions més generals és el mètode de bisecció . Les solucions trobades mitjançant mètodes numèrics s’anomenen aproximades a les solucions donades per fórmules tancades que s’anomenen exactes . Tanmateix, de vegades l'error comès en aproximar mètodes és menor que el comès en aproximar el nombre de màquines mitjançant la implementació de mètodes exactes. (un exemple és el mètode Mandelbrot per a equacions de cinquè i sisè grau).

Classificació d’equacions

Una primera classificació de les equacions es pot fer d'aquesta manera:

Equacions algebraiques

Les equacions algebraiques es poden dividir en diversos grups en funció de les seves característiques; cal recordar que una equació ha de pertànyer almenys a una de les categories de cada grup.

Segons el grau del polinomi:

També es poden dividir segons la presència d’incògnites en l’arrelament de les arrels:

  • equacions no irracionals;
  • les equacions irracionals , que contenen arrels amb incògnites al radicand, es classifiquen segons l'índex d'arrel:
    • fins i tot índex;
    • índex senar.

Equacions homogènies

Una equació homogènia es defineix com una equació algebraica en diverses variables els termes de les quals tenen el mateix grau. Una equació homogènia sempre admet la solució trivial amb totes les variables iguals i, en un camp tancat algebraicament , sempre admet infinites solucions, de fet de cada solució s’obtenen infinites altres alterant-les per un factor de proporcionalitat. Per exemple:

té solucions, en el camp dels nombres complexos la parella I i la parella I amb I qualsevol nombre complex.

Això no és cert en un camp tancat no algebraicament, de fet l'equació homogènia

admet el parell com a única solució en el camp dels nombres reals I .

Equacions transcendents

Les equacions transcendents impliquen almenys una incògnita com a argument d'una funció no polinòmica. Les categories més freqüents d’equacions transcendents són:

Equacions amb valors absoluts

Les equacions amb valors absoluts contemplen més enllà de les incògnites la presència del valor absolut de les expressions algebraiques o transcendents. Per tant, podem tenir:

  • equacions algebraiques amb un o més valors absoluts;
  • equacions transcendents amb un o més valors absoluts.

Equacions funcionals

Les equacions funcionals tenen almenys una incògnita que és una funció. Les categories d’equacions funcionals més habituals són:

Basat en expressions literals

Basant-se en la presència d'altres expressions literals, totes les equacions es poden dividir en:

Altres categories

  • Les equacions diofantines són equacions en què només es busquen solucions senceres .
  • El sistema d’equacions és un conjunt de diverses equacions per a les quals es busquen solucions simultànies, és a dir, que comproven totes les equacions considerades al mateix temps. Al seu torn, es poden dividir en totes les altres categories esmentades anteriorment.
  • El 1521 Francesco Galigai , florentí, va reunir allò que havia estudiat fins aleshores sobre les equacions de primer i segon grau en la seva Summa de arithmetica impresa a Florència per Bernardo Zucchetta .

Equacions famoses

Nota

  1. ^ El teorema fonamental de l'àlgebra ( PDF ), a www-dimat.unipv.it , Universitat de Pavia. Consultat el 27 d'octubre de 2013 .
  2. ^ Una breu història del teorema fonamental de l' àlgebra (TFA) , a dm.uniba.it , Universitat de Bari. Consultat el 27 d'octubre de 2013 (arxivat de l' original el 29 d'octubre de 2013) .

Articles relacionats

Altres projectes

Enllaços externs

Control de l'autoritat Thesaurus BNCF 2925 · LCCN (EN) sh85044510 · GND (DE) 4021246-4 · BNF (FR) cb119470816 (data) · NDL (EN, JA) 00.563.553
Matemàtiques Portal de matemàtiques : accediu a les entrades de Wikipedia relacionades amb les matemàtiques