Funció exponencial

En funció de la variable real x , e ^x sempre és positiva i creixent . El mig eix negatiu de l'eix x és una asímptota horitzontal del gràfic.

En matemàtiques , la funció exponencial és la funció que s’uneix a un valor $x$ ${\ displaystyle x}$ $x$ exponenciació basada en el número d’Euler $I$ ${\ displaystyle e}$ $I$ i exponent $x$ ${\ displaystyle x}$ $x$ . L’elecció de la base $I$ ${\ displaystyle e}$ $I$ el motiva el fet que, d’aquesta manera, la derivada de la funció exponencial és la mateixa funció exponencial. Normalment es representa com $e^{x}$ ${\ displaystyle e ^ {x}}$ $i ^ x$ , o $\exp(x)$ ${\ displaystyle \ exp (x)}$ $\ exp (x)$ quan és difícil escriure la variable com a exponent.

És de gran importància en molts camps de les matemàtiques, com la trigonometria , l'estudi d' equacions diferencials , la teoria de desenvolupaments de Taylor , l'estudi de les transformades integrals . Es pot definir no només en nombres reals , sinó també en nombres complexos o fins i tot en objectes més complicats, com ara matrius quadrades o operadors. També és la funció inversa de la funció de logaritme .

Definicions

El mateix tema en detall: definicions de funcions exponencials .

La funció exponencial (en blau) és la suma dels primers n + 1 termes de la sèrie de potència a través de la qual es defineix (en vermell).

La funció exponencial es pot definir de moltes maneres: una de les més utilitzades, ja que es pot generalitzar a moltes àrees, és la definició a través de les seves sèries de potència .

Es denomina funció exponencial $\exp(x)$ ${\ displaystyle \ exp (x)}$ $\ exp (x)$ la funció contínua definida per la suma de les sèries següents ^[1]

\exp(x)\equiv e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}=1+x+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+\cdots ,

{\ displaystyle \ exp (x) \ equiv e ^ {x} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {x ^ {n} \ over n!} = 1 + x + {x ^ {2 } \ over 2!} + {x ^ {3} \ over 3!} + {x ^ {4} \ over 4!} + \ cdots,}

\ exp (x) \ equiv e ^ x = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} {x ^ n \ over n!} = 1 + x + {x ^ 2 \ over 2!} + {x ^ 3 \ over 3!} + {X ^ 4 \ over 4!} + \ Cdots,

dita sèrie exponencial , on $n!$ ${\ displaystyle n!}$ $n!$ denota el factorial de $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ . La definició està ben plantejada ja que la sèrie de potències convergeix absolutament per a cadascuna $x$ ${\ displaystyle x}$ $x$ (tant reals com complexes). A més, la sèrie convergeix uniformement en tots els subconjunts delimitats del camp complex i, en conseqüència, en la funció $\exp(x)$ ${\ displaystyle \ exp (x)}$ $\ exp (x)$ es pot diferenciar en un sentit complex en tots els punts del pla complex .

D’una manera diferent però completament equivalent, la funció exponencial es pot definir com el límit de la seqüència

e^{x}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n},

{\ displaystyle e ^ {x} = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} \ left (1 + {\ frac {x} {n}} \ right) ^ {n},}

e ^ x = \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ left (1 + \ frac {x} {n} \ right) ^ n,

convergents per a cadascun $x$ ${\ displaystyle x}$ $x$ (real o complexa).

Equivalència de definicions

Les definicions

e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}\qquad e^{x}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}

{\ displaystyle e ^ {x} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {x ^ {n} \ over n!} \ qquad e ^ {x} = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty } \ left (1 + {\ frac {x} {n}} \ right) ^ {n}}

e ^ x = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} {x ^ n \ over n!} \ qquad e ^ x = \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ left (1 + \ frac {x} {n} \ right) ^ n

són coincidents. De fet, gràcies al teorema del binomi tenim:

\ \left(1+{x \over n}\right)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}1^{n-k}{{x^{k}} \over {n^{k}}}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}{{x^{k}} \over {n^{k}}},

{\ displaystyle \ \ left (1+ {x \ over n} \ right) ^ {n} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {n \ choose k} 1 ^ {nk} {{x ^ {k}} \ over {n ^ {k}}} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {n \ trieu k} {{x ^ {k}} \ over {n ^ {k}} },}

\ \ left (1 + {x \ over n} \ right) ^ n = \ sum_ {k = 0} ^ {n} {n \ trieu k} 1 ^ {nk} {{x ^ k} \ over {n ^ k}} = \ sum_ {k = 0} ^ {n} {n \ trieu k} {{x ^ k} \ sobre {n ^ k}},

on és:

\ {n \choose k}=\ {n! \over k!(n-k)!}={\prod _{h=0}^{k-1}{n-h} \over k!}.

{\ displaystyle \ {n \ choose k} = \ {n! \ over k! (nk)!} = {\ prod _ {h = 0} ^ {k-1} {nh} \ over k!}.}

\ {n \ trieu k} = \ {n! \ over k! (n-k)!} = {\ prod_ {h = 0} ^ {k-1} {n-h} \ over k!}.

En conseqüència s’obté

{\begin{aligned}\left(1+{x \over n}\right)^{n}&=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}{{x^{k}} \over {n^{k}}}\\&=\sum _{k=0}^{n}{\prod _{h=0}^{k-1}{n-h} \over {n^{k}}}{{x^{k}} \over {k!}}\\&=\sum _{k=0}^{n}{{x^{k}} \over {k!}}\left[{{n-0} \over {n}}{{n-1} \over {n}}{{n-2} \over {n}}\cdots {{n-(k-1)} \over {n}}\right]\\&=\sum _{k=0}^{n}{{x^{k}} \over {k!}}\left[1\left(1-{{1} \over {n}}\right)\left(1-{{2} \over {n}}\right)\left(1-{{3} \over {n}}\right)\cdots \left(1-{{k-1} \over {n}}\right)\right].\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ left (1+ {x \ over n} \ right) ^ {n} & = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {n \ choose k} {{x ^ {k}} \ over {n ^ {k}}} \\ & = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {\ prod _ {h = 0} ^ {k-1} {nh} \ over {n ^ {k}}} {{x ^ {k}} \ over {k!}} \\ & = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {{x ^ {k}} \ over {k!}} \ left [{{n-0} \ over {n}} {{n-1} \ over {n}} {{n-2} \ over {n}} \ cdots {{n- (k-1)} \ over {n}} \ right] \\ & = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {{x ^ {k}} \ over {k!}} \ left [1 \ left (1 - {{1} \ over {n}} \ right) \ left (1 - {{2} \ over {n}} \ right) \ left (1 - {{3} \ over {n} } \ right) \ cdots \ left (1 - {{k-1} \ over {n}} \ right) \ right]. \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ left (1+ {x \ over n} \ right) ^ {n} & = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {n \ trieu k} {{x ^ {k}} \ over {n ^ {k}}} \\ & = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {\ prod _ {h = 0} ^ {k-1} {nh} \ over {n ^ {k}}} {{x ^ {k}} \ over {k!}} \\ & = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {{x ^ {k}} \ over {k!}} \ left [{{n-0} \ over {n}} {{n-1} \ over {n}} {{n-2} \ over {n}} \ cdots {{n- (k-1)} \ over {n}} \ right] \\ & = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {{x ^ {k}} \ over {k!}} \ left [1 \ left (1 - {{1} \ over {n}} \ right) \ left (1 - {{2} \ over {n}} \ right) \ left (1 - {{3} \ over {n} } \ right) \ cdots \ left (1 - {{k-1} \ over {n}} \ right) \ right]. \ end {align}}}

Tenint en compte el límit per $\ n\to \infty$ ${\ displaystyle \ n \ to \ infty}$ $\ n \ a \ infty$ tenim:

\ \lim _{n\to \infty }\sum _{k=0}^{n}{{x^{k}} \over {k!}}\left[1\left(1-{{1} \over {n}}\right)\left(1-{{2} \over {n}}\right)\left(1-{{3} \over {n}}\right)\cdots \left(1-{{k-1} \over {n}}\right)\right].

{\ displaystyle \ \ lim _ {n \ to \ infty} \ sum _ {k = 0} ^ {n} {{x ^ {k}} \ over {k!}} \ left [1 \ left (1- {{1} \ over {n}} \ right) \ left (1 - {{2} \ over {n}} \ right) \ left (1 - {{3} \ over {n}} \ right) \ cdots \ left (1 - {{k-1} \ over {n}} \ right) \ right].}

{\ displaystyle \ \ lim _ {n \ to \ infty} \ sum _ {k = 0} ^ {n} {{x ^ {k}} \ over {k!}} \ left [1 \ left (1- {{1} \ over {n}} \ right) \ left (1 - {{2} \ over {n}} \ right) \ left (1 - {{3} \ over {n}} \ right) \ cdots \ left (1 - {{k-1} \ over {n}} \ right) \ right].}

Per a cada addenda de la suma, el factor

\ \left[1\left(1-{{1} \over {n}}\right)\left(1-{{2} \over {n}}\right)\left(1-{{3} \over {n}}\right)\cdots \left(1-{{k-1} \over {n}}\right)\right]

{\ displaystyle \ \ left [1 \ left (1 - {{1} \ over {n}} \ right) \ left (1 - {{2} \ over {n}} \ right) \ left (1- { {3} \ over {n}} \ right) \ cdots \ left (1 - {{k-1} \ over {n}} \ right) \ right]}

{\ displaystyle \ \ left [1 \ left (1 - {{1} \ over {n}} \ right) \ left (1 - {{2} \ over {n}} \ right) \ left (1- { {3} \ over {n}} \ right) \ cdots \ left (1 - {{k-1} \ over {n}} \ right) \ right]}

tendeix a 1. A més, el pas al límit transforma el sumatori en una sèrie infinita

\ \lim _{n\to \infty }\sum _{k=0}^{n}{{x^{k}} \over {k!}}=\sum _{k=0}^{\infty }{{x^{k}} \over {k!}},

{\ displaystyle \ \ lim _ {n \ to \ infty} \ sum _ {k = 0} ^ {n} {{x ^ {k}} \ over {k!}} = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {{x ^ {k}} \ over {k!}},}

\ \ lim_ {n \ to \ infty} \ sum_ {k = 0} ^ {n} {{x ^ k} \ over {k!}} = \ sum_ {k = 0} ^ {\ infty} {{x ^ k} \ over {k!}},

de la qual se’n desprèn

\ \lim _{n\to \infty }\left(1+{x \over n}\right)^{n}=\sum _{k=0}^{\infty }{{x^{k}} \over {k!}}.

{\ displaystyle \ \ lim _ {n \ to \ infty} \ left (1+ {x \ over n} \ right) ^ {n} = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {{x ^ {k}} \ over {k!}}.}

\ \ lim_ {n \ to \ infty} \ left (1 + {x \ over n} \ right) ^ n = \ sum_ {k = 0} ^ {\ infty} {{x ^ k} \ over {k! }}.

Propietat

La funció exponencial (en blau) és la suma dels primers n + 1 termes de la sèrie de potència a través de la qual es defineix (en vermell).

La convergència absoluta de la sèrie que defineix la funció exponencial implica que

\sum _{k=0}^{\infty }{a^{k} \over k!}\sum _{m=0}^{\infty }{b^{m} \over m!}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\sum _{k=0}^{n}{n! \over {k!(n-k)!}}a^{k}b^{n-k}=\sum _{n=0}^{\infty }{(a+b)^{n} \over n!},

{\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {a ^ {k} \ over k!} \ sum _ {m = 0} ^ {\ infty} {b ^ {m} \ over m! } = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n!}} \ sum _ {k = 0} ^ {n} {n! \ over {k! (nk)!}} a ^ {k} b ^ {nk} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {(a + b) ^ {n} \ over n!} ,}

\ sum_ {k = 0} ^ {\ infty} {a ^ k \ over k!} \ sum_ {m = 0} ^ {\ infty} {b ^ m \ over m!} = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {1} {n!} \ sum_ {k = 0} ^ {n} {n! \ over {k! (n-k)!}} a ^ k b ^ {n -k} = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} {(a + b) ^ n \ over n!},

que mostra la propietat important ^[1]

\exp(a+b)=\exp(a)\exp(b),

{\ displaystyle \ exp (a + b) = \ exp (a) \ exp (b),}

{\ displaystyle \ exp (a + b) = \ exp (a) \ exp (b),}

vàlid per a qualsevol parell de nombres complexos $a$ ${\ displaystyle a}$ $a$ I $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ .

També es mostra que les propietats següents es mantenen per a qualsevol nombre complex $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ : ^[2]

El nombre $\exp(z)$ ${\ displaystyle \ exp (z)}$ $\ exp (z)$ és diferent de zero.
La funció $f(z)=\exp(z)$ ${\ displaystyle f (z) = \ exp (z)}$ $f (z) = \ exp (z)$ és igual a la seva derivada.
La restricció de la funció $f(z)=\exp(z)$ ${\ displaystyle f (z) = \ exp (z)}$ $f (z) = \ exp (z)$ a l'eix real hi ha una funció monòtona i positiva.
Hi ha un número $π$ {\ displaystyle \ pi} $\ Pi$ de tal manera que
- $\exp \left({i\pi \over 2}\right)=i$ ${\ displaystyle \ exp \ left ({i \ pi \ over 2} \ right) = i}$ $\ exp \ left ({i \ pi \ over 2} \ right) = i$
- $\exp(z)=1\$ ${\ displaystyle \ exp (z) = 1 \}$ $\ exp (z) = 1 \$ si i només si ${z \over 2\pi i}$ ${\ displaystyle {z \ over 2 \ pi i}}$ ${z \ over 2 \ pi i}$ està sencera.
La funció $f(z)=\exp(z)$ ${\ displaystyle f (z) = \ exp (z)}$ $f (z) = \ exp (z)$ és periòdic amb punt $2\pi i$ ${\ displaystyle 2 \ pi i}$ $2 \ pi i$
La funció que s’uneix al nombre real $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ el nombre $\exp(it)$ ${\ displaystyle \ exp (it)}$ $\ exp (it)$ parametritzar el cercle d'unitat.
Per a qualsevol nombre complex $w$ ${\ displaystyle w}$ $w$ existeix un nombre diferent de zero $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ de tal manera que $w=\exp(z)$ ${\ displaystyle w = \ exp (z)}$ $w = \ exp (z)$ .

Importància

La derivada de la funció exponencial és la funció mateixa, de fet:

{d \over dz}\exp(z)={\mathop {\lim _{h\to 0}} {{\exp \left({z+h}\right)-\exp \left(z\right)} \over h}}=\exp(z){\mathop {\lim _{h\to 0}} {{\exp \left({h}\right)-1} \over h}}=\exp(z).

{\ displaystyle {d \ over dz} \ exp (z) = {\ mathop {\ lim _ {h \ to 0}} {{\ exp \ left ({z + h} \ right) - \ exp \ left ( z \ right)} \ over h}} = \ exp (z) {\ mathop {\ lim _ {h \ to 0}} {{\ exp \ left ({h} \ right) -1} \ over h} } = \ exp (z).}

{d \ over dz} \ exp (z) = {\ mathop {\ lim_ {h \ to 0}} {{\ exp \ left ({z + h} \ right) - \ exp \ left (z \ right) } \ over h}} = \ exp (z) {\ mathop {\ lim_ {h \ to 0}} {{\ exp \ left ({h} \ right) - 1} \ over h}} = \ exp ( z).

Utilitzant la definició obtenim, de manera equivalent:

{d \over dz}\exp(z)={d \over dz}\sum _{n=0}^{\infty }{z^{n} \over n!}=\sum _{n=0}^{\infty }{nz^{n-1} \over n!}=\sum _{n=1}^{\infty }{nz^{n-1} \over n!}=\sum _{n=1}^{\infty }{z^{n-1} \over (n-1)!}=\sum _{l=0}^{\infty }{z^{l} \over l!}=\exp(z).

{\ displaystyle {d \ over dz} \ exp (z) = {d \ over dz} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {z ^ {n} \ over n!} = \ sum _ { n = 0} ^ {\ infty} {nz ^ {n-1} \ over n!} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {nz ^ {n-1} \ over n!} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {z ^ {n-1} \ over (n-1)!} = \ sum _ {l = 0} ^ {\ infty} {z ^ {l} \ over l!} = \ exp (z).}

{d \ over dz} \ exp (z) = {d \ over dz} \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} {z ^ n \ over n!} = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} {nz ^ {n-1} \ over n!} = \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} {nz ^ {n-1} \ over n!} = \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} {z ^ {n-1} \ over (n-1)!} = \ sum_ {l = 0} ^ {\ infty} {z ^ l \ over l!} = \ exp (z).

Les funcions de la forma $ce^{x}$ ${\ displaystyle ce ^ {x}}$ $ce ^ x$ , amb $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ constant, són els únics que gaudeixen d'aquesta propietat. Més precisament, per a qualsevol constant real $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ la funció $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$ $f: \ R \ a \ R$ a la variable $x$ ${\ displaystyle x}$ $x$ compleix l’ equació diferencial $f'=kf$ ${\ displaystyle f '= kf}$ $f '= kf$ si i només si $f=ce^{kx}$ ${\ displaystyle f = ce ^ {kx}}$ $f = ce ^ {kx}$ per alguna constant $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ . Equivalentment, es pot dir que el pendent del gràfic és en cada punt igual al valor de la pròpia funció.

Per a funcions exponencials amb diferents bases tenim:

{d \over dx}a^{x}=a^{x}\ln a.

{\ displaystyle {d \ over dx} a ^ {x} = a ^ {x} \ ln a.}

{d \ over dx} a ^ x = a ^ x \ ln a.

Per tant, cada exponencial és un múltiple de la seva derivada.

Per a funcions exponencials amb bases diferents i una constant multiplicativa a l'exponent tenim:

\left(a^{cx}\right)'={a^{cx}\ln a\cdot c}

{\ displaystyle \ left (a ^ {cx} \ right) '= {a ^ {cx} \ ln a \ cdot c}}

\ left (a ^ {cx} \ right) '= {a ^ {cx} \ ln a \ cdot c}

La funció $f(x)=e^{x}$ ${\ displaystyle f (x) = e ^ {x}}$ $f (x) = e ^ x$ i les funcions que compon resolen una classe d’equacions diferencials que expressen en termes matemàtics molts dels problemes físics més importants. En particular, aquest tipus de funció s’utilitza quan el ritme de creixement d’una magnitud física és proporcional a l’entitat de la mateixa quantitat. Moltes equacions diferencials importants donen lloc a funcions exponencials, com l' equació de Schrödinger , l' equació de Laplace o el moviment harmònic simple . Defineix l'anomenat creixement exponencial, típic de molts sistemes, fenòmens físics i demogràfics.

Trigonometria

Interpretació geomètrica de la fórmula d ' Euler en el pla complex .

La fórmula d’Euler permet utilitzar la funció exponencial per representar funcions trigonomètriques . La fórmula indica que per a qualsevol nombre real $x$ ${\ displaystyle x}$ $x$ tenim:

e^{ix}=\cos x+i\sin x,

{\ displaystyle e ^ {ix} = \ cos x + i \ sin x,}

e ^ {{ix}} = \ cos x + i \ sin x,

on és $el$ ${\ displaystyle i}$ $el$ és la unitat imaginària , mentre que $\sin x$ ${\ displaystyle \ sin x}$ $\ sin x$ I $\cos x$ ${\ displaystyle \ cos x}$ $\ cos x$ són respectivament sinus i cosinus .

És una relació que s’utilitza per representar nombres complexos en coordenades polars i permetre la definició del logaritme per a arguments complexos. La representació de la funció $e^{ix}$ ${\ displaystyle e ^ {ix}}$ $i ^ {{ix}}$ en el pla complex és un cercle unitari i $x$ ${\ displaystyle x}$ $x$ és l’ angle format amb l’eix positiu real pel segment que uneix l’origen amb un punt del cercle unitari, mesurat en sentit antihorari i en radians.

Utilitzant les propietats de les exponencials es poden derivar fàcilment moltes identitats trigonomètriques i la fórmula de De Moivre . La fórmula d'Euler també ens permet interpretar les funcions sinus i cosinus com a variants simples de la funció exponencial:

\cos x={e^{ix}+e^{-ix} \over 2},

{\ displaystyle \ cos x = {e ^ {ix} + e ^ {- ix} \ over 2},}

\ cos x = {e ^ {{ix}} + e ^ {{- ix}} \ over 2},

\sin x={e^{ix}-e^{-ix} \over 2i},

{\ displaystyle \ sin x = {e ^ {ix} -e ^ {- ix} \ over 2i},}

\ sin x = {e ^ {ix} - e ^ {- ix} \ over 2i},

e^{z}=e^{x+iy}=e^{x}e^{iy}=e^{x}(\cos y+i\sin y).\

{\ displaystyle e ^ {z} = e ^ {x + iy} = e ^ {x} e ^ {iy} = e ^ {x} (\ cos y + i \ sin y). \}

e ^ z = e ^ {x + iy} = e ^ {x} e ^ {iy} = e ^ x (\ cos y + i \ sin y). \

L’exponencial complex és una funció periòdica i holomorfa amb un període imaginari $2\pi i$ ${\ displaystyle 2 \ pi i}$ $2 \ pi i$ , que mapeja cada línia del pla complex en una espiral logarítmica centrada a l'origen. Això es pot observar observant que les línies paral·leles a l'eix real i imaginari es mapen en una línia i un cercle respectivament .

L’extensió de la definició de logaritme natural a valors complexos condueix a una funció polidrom , el logaritme complex $\ln(z)$ ${\ displaystyle \ ln (z)}$ $\ ln (z)$ , que us permet definir una exponenciació amb una base diferent de $I$ ${\ displaystyle e}$ $I$ :

z^{w}=e^{w\ln z},

{\ displaystyle z ^ {w} = e ^ {w \ ln z},}

z ^ w = e ^ {w \ ln z},

per a tots els nombres complexos $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ I $w$ ${\ displaystyle w}$ $w$ . Aquesta també és una funció polidroma, i les lleis exponencials esmentades segueixen sent vàlides si s’interpreten adequadament com a afirmacions sobre funcions polidròmiques.

Anàlisi harmònic

El mateix tema en detall: sèries de Fourier i transformada de Fourier .

Un polinomi trigonomètric és una funció periòdica del període $2\pi$ ${\ displaystyle 2 \ pi}$ $2 \ pi$ definit al camp real del tipus: ^[3]

f(t)=a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }\left[a_{n}\cos(nt)+b_{n}\sin(nt)\right]=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}e^{int},

{\ displaystyle f (t) = a_ {0} + \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left [a_ {n} \ cos (nt) + b_ {n} \ sin (nt) \ right ] = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} c_ {n} e ^ {int},}

f (t) = a_0 + \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ left [a_n \ cos (nt) + b_n \ sin (nt) \ right] = \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty c_n i ^ {int},

on és $a_{i}$ ${\ displaystyle a_ {i}}$ $fins al}$ I $b_{i}$ ${\ displaystyle b_ {i}}$ $bi}$ són nombres complexos i n és sencer.

És:

u_{n}(t)=e^{int}

{\ displaystyle u_ {n} (t) = e ^ {int}}

u_n (t) = e ^ {int}

i tots dos:

\langle f,\,g\rangle \;{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\;{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(t){\overline {g(t)}}\,dt

{\ displaystyle \ langle f, \, g \ rangle \; {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \; {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} f (t) {\ overline {g (t)}} \, dt}

\ langle f, \, g \ rangle \; {\ stackrel {{\ mathrm {def}}} {=}} \; {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {{- \ pi} } ^ {{\ pi}} f (t) \ overline {g (t)} \, dt

un producte intern a $L^{2}(T)$ ${\ displaystyle L ^ {2} (T)}$ $L ^ {2} (T)$ , on és $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ és la circumferència unitària .

Llavors $\{u_{n}=e^{int},n\in \mathbb {Z} \}$ ${\ displaystyle \ {u_ {n} = e ^ {int}, n \ in \ mathbb {Z} \}}$ $\ {u_ {n} = e ^ {{int}}, n \ in {\ mathbb {Z}} \}$ és una base ortonormal respecte al producte intern així definit, de fet: ^[4]

\langle u_{n},u_{m}\rangle ={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }e^{i(n-m)t}dt=\delta _{n,m}.

{\ displaystyle \ langle u_ {n}, u_ {m} \ rangle = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} e ^ {i (nm) t } dt = \ delta _ {n, m}.}

\ langle u_n, u_m \ rangle = \ frac {1} {2 \ pi} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} e ^ {i (n-m) t} dt = \ delta_ {n, m}.

Aquest sistema ortonormal a $L^{2}(T)$ ${\ displaystyle L ^ {2} (T)}$ $L ^ {2} (T)$ s’anomena sistema ortonormal trigonomètric i és un sistema complet.

Es denomina sèrie de Fourier d’una funció $f\in L^{2}(T)$ ${\ displaystyle f \ a L ^ {2} (T)}$ $f \ a L ^ {2} (T)$ un quadrat sumable és la representació de la funció mitjançant una combinació lineal dels vectors de base $u_{n}$ ${\ displaystyle u_ {n}}$ $a}$ del sistema ortonormal trigonomètric: ^[5]

\sum _{n=-\infty }^{\infty }f(n)u_{n}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }f(n)e^{int}.

{\ displaystyle \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} f (n) u_ {n} = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} f (n) e ^ {int }.}

\ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty f (n) u_n = \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty f (n) e ^ {int}.

Els coeficients de la combinació són, per tant, la projecció de la funció sobre els mateixos vectors de base:

f(n):={\frac {\langle f,u_{n}\rangle }{\|u_{n}\|^{2}}}=\langle f,u_{n}\rangle ={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\,f(t)\,e^{-int}dt

{\ displaystyle f (n): = {\ frac {\ langle f, u_ {n} \ rangle} {\ | u_ {n} \ | ^ {2}}} = \ langle f, u_ {n} \ rangle = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} \, f (t) \, e ^ {- int} dt}

f (n): = \ frac {\ langle f, u_n \ rangle} {\ | u_n \ | ^ 2} = \ langle f, u_n \ rangle = \ frac {1} {2 \ pi} \ int _ {- \ pi} ^ \ pi \, f (t) \, e ^ {- int} dt

i s’anomenen coeficients de Fourier .

Suposem que amplieu $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ a un interval prou gran perquè el suport d'una funció periòdica $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ amb punt $T=2\pi$ ${\ displaystyle T = 2 \ pi}$ $T = 2 \ pi$ es troba a $[-T/2,T/2]$ ${\ displaystyle [-T / 2, T / 2]}$ $[-T / 2, T / 2]$ . A continuació, el n- èsim coeficient $f(n)$ ${\ displaystyle f (n)}$ $f (n)$ ve donat per:

f(n)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-T/2}^{T/2}f(x)\,e^{-i(2\pi {\frac {n}{T}})x}dx.

{\ displaystyle f (n) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} f (x) \, e ^ {- i (2 \ pi {\ frac {n} {T}}) x} dx.}

f (n) = \ frac {1} {2 \ pi} \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} f (x) \, e ^ {- i (2 \ pi \ frac n T) x} dx.

De manera informal es pot dir que a mesura que augmenta l’amplada de l’interval $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ sobre la qual es calcula la sèrie de Fourier d'una funció $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ els coeficients de la sèrie aproximen el valor de la transformada de Fourier ${\hat {f}}(t)$ ${\ displaystyle {\ hat {f}} (t)}$ $\ hat f (t)$ de la funció en si, i la suma de la sèrie s’aproxima al valor de la transformada inversa. Més exactament, per si de cas $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ és idèntic a zero fora de l'interval d'integració $[-T/2,T/2]$ ${\ displaystyle [-T / 2, T / 2]}$ $[-T / 2, T / 2]$ , el valor de l’enèsim coeficient de Fourier és igual a ${\mathcal {F}}\{f\}({n \over T})$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} \ {f \} ({n \ over T})}$ $\ mathcal {F} \ {f \} ({n \ over T})$ . S'estén $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ la transformada de Fourier s'obté d'aquesta manera a tot l'eix real.

Definim la transformada de Fourier d'una funció $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ pertanyent a l'espai Schwartz la integral: ^[6]

{\mathcal {F}}\{f\}(t)={\hat {f}}(t):={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{\mathbb {R} }f(x)e^{-ixt}\,dx\qquad \forall t\in \mathbb {R} .

{\ displaystyle {\ mathcal {F}} \ {f \} (t) = {\ hat {f}} (t): = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \ int _ {\ mathbb {R}} f (x) e ^ {- ixt} \, dx \ qquad \ forall t \ in \ mathbb {R}.}

\ mathcal {F} \ {f \} (t) = \ hat {f} (t): = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {\ R} f (x) e ^ {-ixt} \, dx \ qquad \ forall t \ in \ R.

Des de $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ pertany a $L^{1}(\mathbb {R} )$ ${\ displaystyle L ^ {1} (\ mathbb {R})}$ $L ^ {1} (\ mathbb {R})$ , la integral està ben definida per a qualsevol nombre real. Com a conseqüència del teorema de Plancherel , la transformada es pot ampliar d'una manera única també a l'espai de Hilbert $L^{2}$ ${\ displaystyle L ^ {2}}$ $L ^ {2}$ , però, com a funció puntual, es defineix gairebé a tot arreu en aquest conjunt. ^[7]

Àlgebra de Banach

El mateix tema en detall: funció de matriu i matriu exponencial .

L’associació d’una sèrie de Taylor a l’ exponencial ens permet estendre el concepte a qualsevol àlgebra de Banach .

En particular, és útil aplicar-lo a matrius quadrades :

e^{A}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {A^{k}}{k!}}=I+A+{\frac {A^{2}}{2}}+{\frac {A^{3}}{6}}+\cdots ,

{\ displaystyle e ^ {A} = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {A ^ {k}} {k!}} = I + A + {\ frac {A ^ {2 }} {2}} + {\ frac {A ^ {3}} {6}} + \ cdots,}

e ^ A = \ sum_ {k = 0} ^ \ infty \ frac {A ^ k} {k!} = I + A + \ frac {A ^ 2} {2} + \ frac {A ^ 3} {6 } + \ cdots,

on és $EL$ ${\ displaystyle I}$ $EL$ és la matriu de rang idèntica $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ I $A^{n}$ ${\ displaystyle A ^ {n}}$ $A ^ n$ és l' elevació del poder de la matriu . La matriu exponencial té les mateixes propietats que l'exponencial escalar, com la d'invertibilitat i unitaritat de l'elevació a la matriu nul·la, i les de potències, excepte les següents:

e^{X+Y}=e^{X}e^{Y}

{\ displaystyle e ^ {X + Y} = e ^ {X} e ^ {Y}}

e ^ {X + Y} = e ^ X e ^ Y

que només és vàlid si el producte és commutatiu $xy=yx$ ${\ displaystyle xy = yx}$ $xy = yx$ , en general no és cert per a tots els parells de matrius (en el cas no commutatiu es requereix la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff ).

Això també ho tenim $e^{X}$ ${\ displaystyle e ^ {X}}$ $i ^ {X}$ és invertible i la seva inversa és igual a $e^{-X}$ ${\ displaystyle e ^ {- X}}$ $i ^ {- X}$ , mentre que la derivada en el punt $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ és el mapa lineal que envia $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ dins $u\cdot e^{X}$ ${\ displaystyle u \ cdot e ^ {X}}$ $u \ cdot e ^ {X}$ .

El teorema de Hamilton-Cayley permet reduir el procediment des del càlcul de les potències de la matriu des de l’infinit donat per la definició fins a la de les potències n-2 (la identitat i la matriu en si no es calculen trivialment), tot complicant els coeficients:

\mathrm {e} ^{A}=\sum _{k=0}^{n-1}\alpha _{k}A^{k},

{\ displaystyle \ mathrm {e} ^ {A} = \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} \ alpha _ {k} A ^ {k},}

\ mathrm e ^ A = \ sum_ {k = 0} ^ {n-1} \ alpha_k A ^ k,

aquests coeficients n-1 s’obtenen de fet a partir de la solució d’un sistema lineal que sempre és únic ja que la matriu del sistema és un quadrat de tipus Vandermonde amb n-1 files i n-1 columnes als valors propis de la matriu inicial , cadascun amb multiplicitat $n_{i}$ ${\ displaystyle n_ {i}}$ $n_i$ , després amb $\sum _{j=1}^{h}n_{j}=n$ ${\ displaystyle \ sum _ {j = 1} ^ {h} n_ {j} = n}$ $\ sum_ {j = 1} ^ h n_j = n$ :

(\alpha _{k})=([(\lambda _{j}^{k})^{(i)}]^{T})^{-1}\,(e^{i\lambda _{j}})\qquad 0\leq k\leq n-1,\,1\leq j\leq h,\,0\leq i\leq n_{j}-1.

{\ displaystyle (\ alpha _ {k}) = ([(\ lambda _ {j} ^ {k}) ^ {(i)}] ^ {T}) ^ {- 1} \, (e ^ {i \ lambda _ {j}}) \ qquad 0 \ leq k \ leq n-1, \, 1 \ leq j \ leq h, \, 0 \ leq i \ leq n_ {j} -1.}

(\ alpha_k) = ([(\ lambda_j ^ k) ^ {(i)}] ^ T) ^ {- 1} \, (e ^ {i \ lambda_j}) \ qquad 0 \ le k \ le n-1 , \, 1 \ le j \ le h, \, 0 \ le i \ le n_j-1.

En el context d’àlgebres de Banach no commutatives, com ara àlgebres matricials o operadors a l’ espai de Banach o a l’ espai de Hilbert , la funció exponencial es considera sovint com una funció d’argument real:

f(t)=\mathrm {e} ^{tA},\

{\ displaystyle f (t) = \ mathrm {e} ^ {tA}, \}

f (t) = \ mathrm e ^ {t A}, \

on és $A$ ${\ displaystyle A}$ $A$ és un element d 'àlgebra fixa i $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ és qualsevol nombre real. Aquesta funció té algunes propietats importants:

f(s+t)=f(s)f(t)\qquad f(0)=1\qquad f'(t)=Af(t).

{\ displaystyle f (s + t) = f (s) f (t) \ qquad f (0) = 1 \ qquad f '(t) = Af (t).}

f (s + t) = f (s) f (t) \ qquad f (0) = 1 \ qquad f '(t) = A f (t).

Exemple de càlcul

Calculem l'exponent

$\exp {{\begin{bmatrix}-1&2&0\\0&-2&0\\1&2&-2\end{bmatrix}}t}=\exp {\begin{bmatrix}-t&2t&0\\0&-2t&0\\t&2t&-2t\end{bmatrix}}$ ${\ displaystyle \ exp {{\ begin {bmatrix} -1 & 2 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 1 & 2 & -2 \ end {bmatrix}} t} = \ exp {\ begin {bmatrix } -t & 2t & 0 \\ 0 & -2t & 0 \\ t & 2t & -2t \ end {bmatrix}}}$ ${\ displaystyle \ exp {{\ begin {bmatrix} -1 & 2 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 1 & 2 & -2 \ end {bmatrix}} t} = \ exp {\ begin {bmatrix } -t & 2t & 0 \\ 0 & -2t & 0 \\ t & 2t & -2t \ end {bmatrix}}}$

els valors propis són λ ₁ = -1 amb multiplicitat n ₁ = 1 i λ ₂ = -2 amb multiplicitat n ₂ = 2 per tant els coeficients són:

${\begin{bmatrix}\alpha _{0}(t)\\\alpha _{1}(t)\\\alpha _{2}(t)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&-1&1\\1&-2&4\\0&1&-4\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}\mathrm {e} ^{-t}\\\mathrm {e} ^{-2t}\\t\mathrm {e} ^{-2t}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}4\mathrm {e} ^{-t}-3\mathrm {e} ^{-2t}-2t\mathrm {e} ^{-2t}\\4\mathrm {e} ^{-t}-4\mathrm {e} ^{-2t}-3t\mathrm {e} ^{-2t}\\\mathrm {e} ^{-t}-\mathrm {e} ^{-2t}-t\mathrm {e} ^{-2t}\end{bmatrix}}$ ${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} \ alpha _ {0} (t) \\\ alpha _ {1} (t) \\\ alpha _ {2} (t) \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & -2 & 4 \\ 0 & 1 & -4 \ end {bmatrix}} ^ {- 1} {\ begin {bmatrix} \ mathrm {e} ^ {- t} \\\ mathrm {e} ^ {- 2t} \\ t \ mathrm {e} ^ {- 2t} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 4 \ mathrm {e} ^ {- t } -3 \ mathrm {e} ^ {-2t} -2t \ mathrm {e} ^ {- 2t} \\ 4 \ mathrm {e} ^ {- t} -4 \ mathrm {e} ^ {- 2t} -3t \ mathrm {e} ^ {-2t} \\\ mathrm {e} ^ {- t} - \ mathrm {e} ^ {- 2t} -t \ mathrm {e} ^ {- 2t} \ end { bmatrix}}}$ $\ begin {bmatrix} \ alpha_0 (t) \\ \ alpha_1 (t) \\ \ alpha_2 (t) \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & -2 & 4 \ \ 0 & 1 & -4 \ end {bmatrix} ^ {- 1} \ begin {bmatrix} \ mathrm e ^ {- t} \\ \ mathrm e ^ {- 2t} \\ t \ mathrm e ^ {- 2t } \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} 4 \ mathrm e ^ {- t} -3 \ mathrm e ^ {- 2t} - 2t \ mathrm e ^ {- 2t} \\ 4 \ mathrm e ^ {- t} -4 \ mathrm e ^ {- 2t} - 3t \ mathrm e ^ {- 2t} \\ \ mathrm e ^ {- t} - \ mathrm e ^ {- 2t} - t \ mathrm e ^ {- 2t } \ end {bmatrix}$

per tant resulta que:

${\begin{aligned}\exp {\begin{bmatrix}-t&2t&0\\0&-2t&0\\t&2t&-2t\end{bmatrix}}&=(4\mathrm {e} ^{-t}-3e^{-2t}-2te^{-2t}){\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}+(4e^{-t}-4e^{-2t}-3te^{-2t}){\begin{bmatrix}-1&2&0\\0&-2&0\\1&2&-2\end{bmatrix}}\\&\qquad +(e^{-t}-e^{-2t}-te^{-2t}){\begin{bmatrix}1&-6&0\\0&4&0\\-3&-6&4\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}e^{-t}&2e^{-t}-2e^{-2t}&0\\0&e^{-2t}&0\\e^{-t}-e^{-2t}&2e^{-t}-2e^{-2t}&e^{-2t}\end{bmatrix}}\end{aligned}}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} \ exp {\ begin {bmatrix} -t & 2t & 0 \\ 0 & -2t & 0 \\ t & 2t & -2t \ end {bmatrix}} & = (4 \ mathrm {e} ^ {- t} - 3e ^ {- 2t} -2te ^ {- 2t}) {\ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix}} + (4e ^ {- t} -4e ^ {- 2t} -3te ^ {- 2t}) {\ begin {bmatrix} -1 & 2 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 1 i 2 i -2 \ end {bmatrix}} \\ & \ qquad + (e ^ {- t} -e ^ {- 2t} -te ^ {- 2t}) {\ begin {bmatrix} 1 i -6 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ - 3 & -6 & 4 \ end {bmatrix}} \\ & = {\ begin {bmatrix} e ^ {- t} & 2e ^ {-t} -2e ^ {- 2t} & 0 \\ 0 & e ^ {- 2t} & 0 \\ e ^ {- t} -e ^ {- 2t} & 2e ^ {- t} -2e ^ {- 2t} & e ^ {- 2t} \ end {bmatrix}} \ end {align}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} \ exp {\ begin {bmatrix} -t & 2t & 0 \\ 0 & -2t & 0 \\ t & 2t & -2t \ end {bmatrix}} & = (4 \ mathrm {e} ^ {- t} - 3e ^ {- 2t} -2te ^ {- 2t}) {\ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix}} + (4e ^ {- t} -4e ^ {- 2t} -3te ^ {- 2t}) {\ begin {bmatrix} -1 & 2 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 1 i 2 i -2 \ end {bmatrix}} \\ & \ qquad + (e ^ {- t} -e ^ {- 2t} -te ^ {- 2t}) {\ begin {bmatrix} 1 i -6 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ - 3 & -6 & 4 \ end {bmatrix}} \\ & = {\ begin {bmatrix} e ^ {- t} & 2e ^ {-t} -2e ^ {- 2t} & 0 \\ 0 & e ^ {- 2t} & 0 \\ e ^ {- t} -e ^ {- 2t} & 2e ^ {- t} -2e ^ {- 2t} & e ^ {- 2t} \ end {bmatrix}} \ end {align}}}$

Es pot observar que el mode no apareix a la matriu exponencial $te^{-2t}$ ${\ displaystyle you ^ {- 2t}}$ $tu ^ {- 2t}$ que en canvi està present en els coeficients inicials.

Àlgebra de mentida

El mapa exponencial que envia una àlgebra de Lie al grup de Lie que en dóna lloc posseeix les propietats esmentades anteriorment, i això justifica la terminologia. De fet, des de llavors $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ és l'àlgebra de Lie del grup de Lie de tots els nombres reals positius amb la suma, la funció exponencial ordinària dels arguments reals és un cas especial de la situació de l'àlgebra de Lie. De la mateixa manera, ja que l'àlgebra de Lie $M(n,\mathbb {R} )$ ${\ displaystyle M (n, \ mathbb {R})}$ $M (n, R)$ de totes les matrius quadrades pertany al grup de Lie de totes les matrius quadrades invertibles, la funció exponencial de les matrius quadrades és un cas especial del mapa exponencial de l' àlgebra de Lie.

Doble funció exponencial

El terme doble funció exponencial pot tenir dos significats:

Una funció amb dos termes exponencials, amb exponents diferents.
Una funció $f(x)=a^{a^{x}}$ ${\ displaystyle f (x) = a ^ {a ^ {x}}}$ $f (x) = a ^ {a ^ x}$ , que creix més ràpid que una funció exponencial. Per exemple, si $a=10$ ${\ displaystyle a = 10}$ $a = 10$ : $f(-1)={\sqrt[{10}]{10}}\approx 1,26$ ${\ displaystyle f (-1) = {\ sqrt [{10}] {10}} \ aprox 1.26}$ ${\ displaystyle f (-1) = {\ sqrt [{10}] {10}} \ aprox 1.26}$ , $f(0)=10$ ${\ displaystyle f (0) = 10}$ ${\ displaystyle f (0) = 10}$ , $f(1)=10^{10}$ ${\ displaystyle f (1) = 10 ^ {10}}$ ${\ displaystyle f (1) = 10 ^ {10}}$ , $f(2)=10^{100}=$ ${\ displaystyle f (2) = 10 ^ {100} =}$ ${\ displaystyle f (2) = 10 ^ {100} =}$ googol , $\ldots$ ${\ displaystyle \ ldots}$ $\ ldots$ , $f(100)=$ ${\ displaystyle f (100) =}$ ${\ displaystyle f (100) =}$ googolplex .

Representació per fracció contínua

Aplicant la fórmula de la fracció continuada d'Euler és possible representar la funció exponencial mitjançant una fracció contínua :

e^{z}={\cfrac {1}{1-{\cfrac {z}{1+z-{\cfrac {z}{2+z-{\cfrac {2z}{3+z-{\cfrac {3z}{4+z-{\cfrac {4z}{5+z-\ddots }}}}}}}}}}}}

{\ displaystyle e ^ {z} = {\ cfrac {1} {1 - {\ cfrac {z} {1 + z - {\ cfrac {z} {2 + z - {\ cfrac {2z} {3 + z - {\ cfrac {3z} {4 + z - {\ cfrac {4z} {5 + z- \ ddots}}}}}}}}}}}}}

{\ displaystyle e ^ {z} = {\ cfrac {1} {1 - {\ cfrac {z} {1 + z - {\ cfrac {z} {2 + z - {\ cfrac {2z} {3 + z - {\ cfrac {3z} {4 + z - {\ cfrac {4z} {5 + z- \ ddots}}}}}}}}}}}}}

que convergeix uniformement en tots els dominis limitats del pla complex.

Una altra representació és la següent: ^[8] ^[9]

e^{z}={\cfrac {1}{1-{\cfrac {z}{1+{\cfrac {z}{2-{\cfrac {z}{3+{\cfrac {z}{2-{\cfrac {z}{5+{\cfrac {z}{2-\ddots }}}}}}}}}}}}}}

{\ displaystyle e ^ {z} = {\ cfrac {1} {1 - {\ cfrac {z} {1 + {\ cfrac {z} {2 - {\ cfrac {z} {3 + {\ cfrac {z } {2 - {\ cfrac {z} {5 + {\ cfrac {z} {2- \ ddots}}}}}}}}}}}}}}}

{\ displaystyle e ^ {z} = {\ cfrac {1} {1 - {\ cfrac {z} {1 + {\ cfrac {z} {2 - {\ cfrac {z} {3 + {\ cfrac {z } {2 - {\ cfrac {z} {5 + {\ cfrac {z} {2- \ ddots}}}}}}}}}}}}}}}

Exemples

Exemple físic de funció exponencial

Un exemple senzill és el d’un objecte llançat a una velocitat $v_{0}$ ${\ displaystyle v_ {0}}$ $v_0$ en un mitjà viscós. Si suposem que la resistència del vehicle a l'avanç de l'objecte és proporcional a la velocitat $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ d'aquest últim:

F=-kv\,

{\ displaystyle F = -kv \,}

F = -kv \,

hi ha una relació entre la velocitat i la seva variació en el temps (acceleració a):

ma=-kv,

{\ displaystyle ma = -kv,}

ma = -k v,

això es per dir:

m{\frac {dv}{dt}}=-kv.

{\ displaystyle m {\ frac {dv} {dt}} = - kv.}

m \ frac {dv} {dt} = -k v.

Es pot demostrar que la solució d’aquesta equació és:

v(t)=v_{0}e^{-t/\tau }=v_{0}e^{-t/{\frac {m}{k}}}.

{\ displaystyle v (t) = v_ {0} e ^ {- t / \ tau} = v_ {0} e ^ {- t / {\ frac {m} {k}}}.}

v (t) = v_0 i ^ {- t / \ tau} = v_0 i ^ {- t / \ frac {m} {k}}.

En el cas d'una bala disparada a l'aire, seria més correcte suposar que la resistència és proporcional al quadrat de la velocitat, tot i que la tendència de la velocitat al llarg del temps es descriu mitjançant una funció formada a partir de la constant matemàtica $I$ ${\ displaystyle e}$ $I$ .

Càlcul numèric

Per obtenir una aproximació numèrica de la funció exponencial, les sèries infinites es poden escriure de la següent manera:

e^{x}={\frac {1}{0!}}+x\left({\frac {1}{1!}}+x\left({\frac {1}{2!}}+x\left({\frac {1}{3!}}+x\left({\frac {1}{4!}}+x\left({\frac {1}{5!}}+\cdots \right)\right)\right)\right)\right).

e^{x}={\frac {1}{0!}}+x\left({\frac {1}{1!}}+x\left({\frac {1}{2!}}+x\left({\frac {1}{3!}}+x\left({\frac {1}{4!}}+x\left({\frac {1}{5!}}+\cdots \right)\right)\right)\right)\right).

e^x=\frac{1}{0!}+x\left(\frac{1}{1!}+x\left(\frac{1}{2!}+x\left(\frac{1}{3!}+x\left(\frac{1}{4!}+x\left(\frac{1}{5!}+\cdots \right)\right)\right)\right)\right).

Questa espressione converge rapidamente se $x$ ${\displaystyle x}$ $x$ è minore di 1.

In caso contrario, è possibile utilizzare la seguente identità:

e^{x}=e^{z+f}=e^{z}\cdot \left[{\frac {1}{0!}}+f\left({\frac {1}{1!}}+f\left({\frac {1}{2!}}+f\left({\frac {1}{3!}}+f\left({\frac {1}{4!}}+f\left({\frac {1}{5!}}+\cdots \right)\right)\right)\right)\right)\right],

e^{x}=e^{z+f}=e^{z}\cdot \left[{\frac {1}{0!}}+f\left({\frac {1}{1!}}+f\left({\frac {1}{2!}}+f\left({\frac {1}{3!}}+f\left({\frac {1}{4!}}+f\left({\frac {1}{5!}}+\cdots \right)\right)\right)\right)\right)\right],

e^x = e^{z+f} = e^z \cdot \left[\frac{1}{0!}+f\left(\frac{1}{1!}+f\left(\frac{1}{2!}+ f\left(\frac{1}{3!}+f\left(\frac{1}{4!}+f\left(\frac{1}{5!}+\cdots \right)\right)\right)\right)\right)\right],

dove $z$ ${\displaystyle z}$ $z$ è la parte intera di $x$ ${\displaystyle x}$ $x$ , $f=x-z$ ${\displaystyle f=xz}$ $f = x - z$ e di conseguenza $z$ ${\displaystyle z}$ $z$ è un numero intero e $f$ ${\displaystyle f}$ $f$ è un numero reale minore di 1.

Note

^ ^a ^b W. Rudin , p. 1 .
^ W. Rudin , p. 2 .
^ W. Rudin , p. 88 .
^ W. Rudin , p. 89 .
^ W. Rudin , p. 91 .
^ W. Rudin , p. 180 .
^ W. Rudin , p. 189 .
^ Wolfram Mathworld - Exponential Function , su mathworld.wolfram.com . URL consultato il 12 aprile 2020 .
^ Mauro Fiorentini - Funzioni espresse tramite frazioni continue , su bitman.name . URL consultato il 10 aprile 2020 .

Bibliografia

Walter Rudin, Real and Complex Analysis , Mladinska Knjiga, McGraw-Hill , 1970, ISBN 0-07-054234-1 .

Voci correlate

Altri progetti

Wikibooks contiene testi o manuali su funzione esponenziale
Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su funzione esponenziale

Collegamenti esterni

( EN ) Yu.V. Sidorov, Exponential function , in Encyclopaedia of Mathematics , Springer e European Mathematical Society, 2002.
( EN ) Eric W. Weisstein, Exponential Function , in MathWorld , Wolfram Research.
( EN ) exponential function , in PlanetMath .
( EN ) complex exponential function , in PlanetMath .

Controllo di autorità	Thesaurus BNCF 67951 · NDL ( EN , JA ) 00571261

Portale Matematica : accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica

[def-1] W. Rudin , p. 1 .

[2] W. Rudin , p. 2 .

[3] W. Rudin , p. 88 .

[4] W. Rudin , p. 89 .

[5] W. Rudin , p. 91 .

[6] W. Rudin , p. 180 .

[7] W. Rudin , p. 189 .

[mathworld-8] Wolfram Mathworld - Exponential Function , su mathworld.wolfram.com . URL consultato il 12 aprile 2020 .

[9] Mauro Fiorentini - Funzioni espresse tramite frazioni continue , su bitman.name . URL consultato il 10 aprile 2020 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]