Geometria

De la Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure.
Saltar a la navegació Saltar a la cerca
Il·lustració del segle XIV: una dona ensenya geometria

La geometria (del llatí geometrĭa i aquest de l' antic grec " γεωμετρία" , composta del prefix geo que fa referència a la paraula γή = "terra" i μετρία , metria = "mesura", traduïda per tant literalment com a mesura de la terra ) és aquella part de les ciències matemàtiques que tracta de formes en el pla i en l’ espai i les seves relacions mútues.

A la part inferior esquerra de la taula, un dibuix il·lustratiu de l’article de Lodovico Riva titulat Dissertatio meteorologica. Cui accedit Solutio & constructio duorum problematum geometricorum publicat al volum de l' Acta Eruditorum de 1736

Antecedents

El naixement de la geometria es remunta a l’època dels antics egipcis . Heròdot diu que, a causa dels fenòmens d'erosió i deposició a causa de les inundacions del Nil , l'extensió de les possessions de terres egípcies variava cada any i, per tant, es va haver de tornar a calcular a efectes fiscals. Així va néixer la necessitat d'inventar tècniques per mesurar la terra ( geometria en el significat original del terme).

El desenvolupament de la geometria pràctica és molt antic, a causa de les nombroses aplicacions que permet i per a les quals es va desenvolupar, i a l’antiguitat de vegades es reservava a una categoria d’erudits amb atribucions sacerdotals. A l' Antiga Grècia , principalment a causa de la influència del filòsof atenès Plató i, fins i tot abans d’ell, d’ Anaximandre de Milet [ sense font ] , l’ ús del governant i la brúixola es va estendre massivament (tot i que sembla que aquests instruments ja s’havien inventat en altres llocs) i més amunt tot plegat, va néixer la nova idea d’utilitzar tècniques de demostració. La geometria grega va servir de base per al desenvolupament de la geografia , l’ astronomia , l’ òptica , la mecànica i altres ciències, així com diverses tècniques, com les de navegació .

A la civilització grega , a més de la geometria euclidiana que encara s’estudia a l’escola, i la teoria de les còniques, també van néixer la geometria esfèrica i la trigonometria ( plana i esfèrica ).

Geometria euclidiana

Icona de la lupa mgx2.svg El mateix tema en detall: geometria euclidiana .
Euclides en els seus Elements és el primer a formular una descripció axiomàtica de la geometria.

La geometria coincideix fins a principis del segle XIX amb la geometria euclidiana. Això defineix el punt , la línia recta i el pla com a conceptes primitius i assumeix la veracitat d’alguns axiomes , els axiomes d’Euclides . A partir d’aquests axiomes, es dedueixen fins i tot teoremes complexos, com el teorema de Pitàgores i els teoremes de la geometria projectiva .

L’elecció de conceptes i axiomes primitius està motivada pel desig de representar la realitat i, en particular, els objectes de l’espai tridimensional en què vivim. Conceptes primitius com la línia recta i el pla es descriuen informalment com a "fils i fulls de paper sense gruix" i, d'altra banda, molts objectes de la vida real són idealitzats a través d'entitats geomètriques com el triangle o la piràmide . D’aquesta manera, des de l’antiguitat, els teoremes han proporcionat eines útils per a les disciplines que concerneixen l’espai on vivim: mecànica , arquitectura , geografia , navegació , astronomia .

Un hexàgon no convex . La suma dels angles interns en un hexàgon sempre és de 720 °.

Geometria plana

Icona de la lupa mgx2.svg Mateix tema en detall: geometria plana .

La geometria plana tracta de figures geomètriques al pla. A partir del concepte primitiu de recta, es construeixen els segments i, per tant, els polígons com el triangle , el quadrat , el pentàgon , l’ hexàgon , etc.

Les magnituds numèriques importants de la geometria plana són la longitud , l’ angle i l’ àrea . Cada segment té una longitud i dos segments que es troben en un extrem formen un angle. Cada polígon té una àrea. Molts teoremes de geometria plana relacionen les longituds, angles i àrees presents en algunes figures geomètriques. Per exemple, la suma dels angles interiors d’un triangle resulta ser un angle pla i l’àrea d’un rectangle s’expressa com el producte de les longituds dels segments de base i l’ alçada . La trigonometria estudia les relacions entre angles i longituds.

Geometria sòlida

Icona de la lupa mgx2.svg El mateix tema en detall: Geometria sòlida .
El dodecaedre és un dels cinc sòlids platònics . Plató al Timeu creia que el dodecaedre representava la forma de l'univers.

La geometria sòlida (o estereometria) estudia les construccions geomètriques a l’espai. Els poliedres , com el tetraedre , el cub i la piràmide, es construeixen amb segments i polígons.

Els poliedres tenen vèrtexs, arestes i cares. Cada aresta té una longitud i cada cara té una àrea. A més, el poliedre té un volum . També parlem d’ angles diedres per expressar l’angle format per dues cares adjacents en una vora. Molts teoremes relacionen aquestes quantitats: per exemple, el volum de la piràmide es pot expressar a través de l'àrea de la figura base i la longitud de l'alçada.

Les seccions còniques ( circumferència , el·lipse , paràbola , hipèrbola ) s’obtenen com la intersecció d’un con amb un pla.

Figures corbes

Icona de la lupa mgx2.svg El mateix tema en detall: secció cònica .

La geometria euclidiana també considera algunes figures corbes. Les figures "base" són la circumferència al pla i l' esfera a l'espai, definida com el lloc geomètric dels punts equidistants d'un punt fix. A partir d’aquestes figures, d’altres es defineixen com el con . Aquestes figures s’associen a quantitats similars als poliedres: per tant, parlem de la longitud de la circumferència, l’àrea del cercle i el volum de l’esfera.

La intersecció en un espai amb un pla forma una nova figura curvilínia: segons la inclinació del pla, es tracta d’una el·lipse , una paràbola , una hipèrbola o una circumferència . Aquestes seccions còniques són les corbes més senzilles que es poden assolir al pla. En girar una figura al voltant d’una línia recta, s’obtenen altres figures corbes. Per exemple, girant una el·lipse o una paràbola obtenim l’ el·lipsoide i el paraboloide . De nou, el volum de l'objecte es pot relacionar amb altres quantitats. Tot i això, la geometria euclidiana no proporciona eines suficients per donar una definició correcta de longitud i àrea per a moltes figures corbes.

Geometria cartesiana

Icona de la lupa mgx2.svg El mateix tema en detall: geometria analítica .
Un el·lipsoide es pot representar en la geometria analítica com un locus de punts que compleixin una determinada equació, com ara , a les variables associat als tres eixos cartesians.

La geometria cartesiana (o analítica) incorpora les figures i els teoremes de la geometria euclidiana, introduint-ne de nous gràcies a altres dues disciplines importants de les matemàtiques: l’ àlgebra i l’ anàlisi . L’espai (i el pla) es representen amb coordenades cartesianes . D’aquesta manera, cada figura geomètrica es pot descriure mitjançant una o més equacions (o desigualtats ).

Les línies i els plans són objectes resultants d’ equacions de primer grau , mentre que les còniques es defineixen mitjançant equacions de segon grau . Les equacions polinòmiques de grau superior defineixen nous objectes corbats. El càlcul infinitesimal permet estendre amb precisió els conceptes de longitud i àrea a aquestes noves figures. La integral és una eina analítica útil per determinar aquestes quantitats. Per tant, parlem en general de corbes i superfícies al pla i a l’espai.

Un espai vectorial és una col·lecció d'objectes, anomenats "vectors", que es poden afegir i canviar a escala.

Espais vectorials

Icona de la lupa mgx2.svg El mateix tema en detall: Àlgebra lineal i espai vectorial .

La línia (que passa per l’origen), el pla (que conté l’origen) i l’espai són exemples d’ espais vectorials de dimensió 1, 2 i 3 respectivament: de fet cada punt s’expressa respectivament amb 1, 2 o 3 coordenades. La geometria cartesiana es pot ampliar fàcilment a dimensions superiors: d'aquesta manera es defineixen espais de dimensió 4 i més enllà, com a conjunts de punts que tenen 4 o més coordenades.

Gràcies a l’àlgebra lineal , l’estudi de línies i plans en l’espai es pot ampliar a l’estudi dels subespais d’un espai vectorial de mida arbitrària. L’estudi d’aquests objectes està estretament relacionat amb el dels sistemes lineals i les seves solucions. A la dimensió superior, alguns resultats poden contrastar amb la intuïció geomètrica tridimensional amb què estem acostumats. Per exemple, en un espai de dimensió 4, dos plans només es poden tallar en un punt.

Geometria afina

Icona de la lupa mgx2.svg El mateix tema en detall: geometria afí .
Dos plans a l'espai són paral·lels o es tallen en línia recta, tal com es mostra a la figura.

En un espai vectorial l’origen (és a dir, el punt des del qual parteixen els eixos, amb totes les coordenades zero) té un paper fonamental: per poder utilitzar l’àlgebra lineal de manera efectiva, només es consideren els subespais que passen per l’origen. D’aquesta manera obtenim relacions elegants entre subespais, com la fórmula de Grassmann .

En la geometria afina s’abandona el paper predominant de l’origen. Els subespais no estan restringits i, per tant, poden ser paral·lels: això crea una quantitat considerable de casos més. En particular, la fórmula de Grassmann ja no és vàlida. L’espai afí es considera (fins al descobriment de la relativitat especial) com la millor eina per crear models de l’univers, amb 3 dimensions espacials i possiblement 1 dimensió temporal, sense “orígens” ni punts privilegiats.

Geometria algebraica

Icona de la lupa mgx2.svg El mateix tema en detall: geometria algebraica .

A partir del segle XIX , l'àlgebra es va convertir en una eina predominant per a l'estudi de la geometria. En un intent de "embellir" la imatge, i per portar moltes propietats i teoremes de nou a un nombre cada vegada menor de les propietats fonamentals, la geometria analítica s'incorpora progressivament en un concepte més ampli de la geometria: "punts en l'infinit" s'afegeixen (creant així projectiva geometria ), i les coordenades d’un punt varien no només en nombres reals , sinó també en complexos .

La geometria projectiva és la geometria "vista per un ull". En aquesta geometria, sempre es troben dues línies.

Geometria projectiva

Icona de la lupa mgx2.svg El mateix tema en detall: Geometria projectiva .

La geometria projectiva va néixer com una eina vinculada al dibuix en perspectiva i es va formalitzar al segle XIX com a enriquiment de la geometria cartesiana. La geometria projectiva inclou "punts a l'infinit" i, per tant, elimina alguns casos considerats molestos, com la presència de línies paral·leles.

En aquesta geometria es simplifiquen moltes situacions: dos plans diferents es creuen sempre en línia recta i diferents objectes de geometria analítica (com l’el·lipse cònica, la paràbola i la hipèrbola) resulten equivalents en aquest nou context. La geometria projectiva també és un exemple de compactificació : similar al que passa amb la projecció estereogràfica , afegint punts a l'infinit l'espai es torna compacte , és a dir, "limitat", "finit".

Varietats algebraiques definides per alguns polinomis simples al pla: dos cercles , una paràbola , una hipèrbola , un cúbic (definit per una equació de tercer grau).

Varietats algebraiques

Icona de la lupa mgx2.svg Mateix tema en detall: varietat algebraica .

La geometria algebraica se centra essencialment en l’estudi dels polinomis i les seves arrels : els objectes que tracta, anomenats varietats algebraiques , són els conjunts de l’espai projectiu , afí o euclidià definits com a llocs de zeros de polinomis.

Al segle XX, el concepte de varietat algebraica adquireix una importància cada vegada més gran. Les línies, els plans, les còniques, els el·lipsoides, són exemples de varietats algebraiques. L’estudi d’aquests objectes aconsegueix resultats impressionants quan les coordenades de l’espai varien en el camp dels nombres complexos : en aquest cas, gràcies al teorema fonamental de l’àlgebra , un polinomi sempre té arrels.

Aquest fet algebraic de gran importància (que es pot expressar dient que els nombres complexos formen un camp tancat algebraicament ) té com a conseqüència la validesa d’alguns teoremes poderosos de naturalesa molt general. Per exemple, el teorema de Bézout afirma que hi ha dues corbes de grau I en el pla que no té components en comú es creuen sempre punts, efectiu amb una multiplicitat adequada. Aquest resultat requereix que el "pla" sigui projectiu i complex. En particular, és certament fals en el context clàssic de la geometria analítica: dos cercles no necessàriament han de tallar-se en 4 punts, també poden ser disjunts.

L’estudi de la geometria en un espai projectiu complex també ajuda a entendre la geometria analítica clàssica. Les corbes del pla cartesià real es poden veure, per exemple, com a "seccions" d'objectes més grans, contingudes en el complex pla projectiu, i els teoremes generals vàlids en aquest "món més gran i perfecte" es reflecteixen en el pla cartesià, encara que en menor mesura, elegant. De la mateixa manera que l'estudi de la geometria afina fa un ús extensiu de l'àlgebra lineal , el de les varietats algebraiques es basa en àlgebra commutativa .

Geometria diferencial

Icona de la lupa mgx2.svg El mateix tema en detall: geometria diferencial .
Un punt de sella té curvatura negativa

La geometria diferencial és l’estudi d’objectes geomètrics mitjançant l’ anàlisi . Els objectes geomètrics no estan necessàriament definits per polinomis (com en la geometria algebraica), sinó que són per exemple corbes i superfícies , és a dir, objectes que, vistos localment amb una lupa, apareixen gairebé rectes o planes. Objectes "sense gruix", i potser una mica corbats. Com la superfície terrestre, que a l’home li sembla plana, tot i que no ho és.

Aquest concepte d '"espai corbat" s'expressa a través de la noció de varietat diferenciable . La seva definició ni tan sols necessita "viure" en un espai ambiental i, per tant, s'utilitza per exemple en la relativitat general per descriure intrínsecament la forma de l'univers. Un col·lector pot tenir una propietat fonamental, la curvatura , que es mesura mitjançant objectes matemàtics molt complexos, com el tensor de Riemann . En el cas en què l’espai sigui una corba o una superfície, aquests objectes matemàtics són més simples: parlem per exemple de curvatura gaussiana per a superfícies.

En una varietat amb curvatura, anomenada varietat riemanniana , es defineix una distància entre punts i geodèsics : són corbes que modelen camins localment més curts, com ara línies rectes al pla o meridians a la superfície terrestre.

Geometries no euclidianes

Icona de la lupa mgx2.svg El mateix tema en detall: geometria no euclidiana .
Els triangles, quadrilàters i pentàgons formen una tessel·lació del pla en la geometria hiperbòlica representada aquí pel disc de Poincaré . Aquesta geometria no euclidiana està representada en moltes litografies per Maurits Escher .

Amb la geometria diferencial és possible construir un "pla" en què tots els postulats d'Euclides mantenen, excepte el cinquè , el dels paral·lels . Aquest postulat va tenir una importància històrica fonamental, perquè va trigar 2000 anys a demostrar la seva efectiva independència dels anteriors. Afirma que, fixeu-vos una línia recta i un punt no contingut a , només hi ha una línia paral·lel a i de pas .

Una geometria no euclidiana és una geometria en la qual es mantenen tots els axiomes d’Euclides, excepte el dels paral·lels. L' esfera , amb la geodèsia que juga el paper de les línies, proporciona un exemple senzill de geometria no euclidiana: dues geodèsiques sempre es tallen en dos punts antipodals i, per tant, no hi ha línies paral·leles. Un d'aquests exemples de geometria es diu el·líptica . També hi ha exemples oposats, en què hi ha "tantes" línies paral·leles, que hi ha línies paral·lel a i transeünts per són infinits (i no un). Aquest tipus de geometria s’anomena hiperbòlica i és més difícil de descriure concretament.

Topologia

Icona de la lupa mgx2.svg El mateix tema en detall: Topologia .
La franja de Möbius és una superfície no orientable : de fet només té una "cara". Es tracta d’un objecte estudiat en topologia.

La topologia és finalment l’estudi de les formes i de totes aquelles propietats d’entitats geomètriques que no canvien quan es deformen contínuament, sense esquinçar-se. La topologia estudia tots els objectes geomètrics (definits algebraicament, diferencial o el que sigui) mirant només la seva forma. Per exemple, distingeix l’ esfera del tor , perquè aquest té “un forat al mig”. Estudia les propietats de la connexió (espais "fets d'una sola peça") i la compacitat (espais "limitats"), i les funcions contínues entre elles.

Les formes dels objectes es codifiquen mitjançant objectes algebraics, com ara el grup fonamental : un grup que codifica de manera refinada la presència de "forats" en un espai topològic .

Geometria i geometries

Icona de la lupa mgx2.svg El mateix tema en detall: programa Erlangen i geometria de les transformacions .

El 1872 Felix Klein va elaborar un programa de recerca, el Programa Erlanger , capaç de produir una gran síntesi de coneixement geomètric i integrar-lo amb altres àrees de les matemàtiques, com la teoria de grups.

En la perspectiva de Klein, una geometria consisteix en l'estudi de propietats d'un espai que són invariants respecte d'un grup de transformacions ( geometria de transformacions ):

  • La geometria euclidiana tracta de propietats invariants respecte a les isometries , és a dir, transformacions que preserven longituds i angles.
  • La geometria afina tracta de propietats invariants en transformacions afines . En el camp de la geometria afina, el concepte d '"angle" o "longitud" ja no té sentit i tots els triangles són "equivalents".
  • La geometria projectiva estudia propietats que són invariants sota transformacions projectives , és a dir, transformacions que es poden obtenir mitjançant projeccions. En el camp projectiu totes les còniques són equivalents ja que es poden transformar entre elles mitjançant una projecció.
  • La topologia estudia propietats invariants en deformacions contínues . Des del punt de vista topològic, una tassa i un bunyol esdevenen equivalents i es poden deformar els uns en els altres, però es mantenen diferents d'una esfera que no es pot "perforar" sense una transformació discontínua.

Aplicacions

La geometria analítica i l'àlgebra lineal proporcionen importants vincles entre la intuïció geomètrica i el càlcul algebraic que ara s'han convertit en una part constitutiva de totes les matemàtiques modernes i les seves aplicacions en totes les ciències. La geometria diferencial ha trobat aplicacions importants en la construcció de models per a la física i la cosmologia . La geometria plana i espacial també proporciona eines per modelar, dissenyar i construir objectes reals en un espai tridimensional: per tant, té una importància fonamental en arquitectura i enginyeria , així com en dibuixos i gràfics per ordinador .

Geometria descriptiva

Icona de la lupa mgx2.svg El mateix tema en detall: geometria descriptiva .
exemple de connexió tangencial entre dos quadrics de rotació

La geometria descriptiva és una disciplina que permet, mitjançant determinades construccions gràfiques, representar objectes tridimensionals ja existents ( relleu ) i / o construir ( disseny ). L’aplicació informatitzada de geometria descriptiva permet ara la creació de superfícies i sòlids, fins i tot amb una complexitat tridimensional elevada. A més, i sobretot, permet el control inequívoc de totes les seves formes i mides . Els principals camps d’ús de la geometria descriptiva són els de l’ arquitectura , l’ enginyeria i el disseny industrial.

Bibliografia

  • Boris A. Dubrovin, Sergej P. Novikov, Anatolij T. Fomenko, Geometria contemporània: mètodes i aplicacions , dividits en:
  • Nikolai I. Lobachevsky, Pangeometry , traduction et édition: A. Papadopoulos, Heritage of European Mathematics Series, Vol. 4, European Mathematical Society, 2010.
  • Robin Hartshorne Geometry: Euclid and Beyond , Springer 2000, ISBN 0-387-98650-2
  • Federigo Enriques Preguntes relatives a la geometria elemental , Bologna Zanichelli 1900
  • Federigo Enriques , Ugo Amaldi Elements of Geometry for high school , Zanichelli Bologna 1903 (reedicions fins al 1992)
  • Elements i crítiques antigues i modernes de Federigo Enriques Euclides , 4 volums, Roma i Bolonya 1925
  • Federigo Enriques Lliçons de geometria descriptiva , Bolonya 1893
  • Guido Castelnuovo Conferències sobre geometria analítica i projectiva , Roma, Milà, 1905
  • Guido Castelnuovo Elements de geometria analítica i projectiva Roma, 1909

Articles relacionats

Altres projectes

Enllaços externs

Controllo di autorità Thesaurus BNCF 6840 · LCCN ( EN ) sh85054133 · GND ( DE ) 4020236-7 · BNF ( FR ) cb119315301 (data) · NDL ( EN , JA ) 00565738
Matematica Portale Matematica : accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica