Geometria diferencial
En matemàtiques , la geometria diferencial és l'estudi d'objectes geomètrics com ara corbes , superfícies i varietats més generalment diferenciables , mitjançant l'anàlisi matemàtica . Per tant, mitjançant el càlcul infinitesimal i la noció de derivada , és possible introduir i estudiar nocions fonamentalment importants, com ara les de camp vectorial , forma diferencial , geodèsica , curvatura . L'aplicació més notable de la geometria diferencial és la formulació de la relativitat general , a la qual proporciona les eines per modelar l' espai-temps .
Les varietats diferenciables
Subconjunt de l'espai euclidià
La geometria diferencial subjacent és la noció de col·lector diferenciable . Aquesta noció generalitza la de corba i superfície , modelant un "espai corbat" de qualsevol mida. Les corbes i les superfícies són, doncs, varietats de dimensió 1 i 2.
Fins a mitjan segle XIX , es definia una varietat diferenciable com un objecte contingut en l'espai euclidià , que localment tenia l'aparença d'un "subespai corbat" de certa mida. Per tant, parlem, per exemple, de corbes al pla o a l’espai i de superfícies a l’espai. Aquests objectes es defineixen generalment (com a mínim localment) com un lloc de zeros o una imatge d'una funció diferenciable .
Objecte intrínsec
Les obres de Bernhard Riemann van introduir una definició més intrínseca de la varietat. Una varietat es pot definir avui com un objecte intrínsec, no necessàriament contingut en un espai euclidià: aquest resultat és el resultat d’un camí d’abstracció que va implicar moltes entitats geomètriques al segle XX , com ara varietats algebraiques i espais topològics .
La representació "intrínseca" descriu les propietats geomètriques del col·lector "des de l'interior": no cal "sortir" del col·lector per parlar de geodèsica , distància , curvatura . Aquesta abstracció és molt útil per exemple en la relativitat general , perquè ens permet descriure l'univers des de l'interior, sense la creació artificial d'un "contenidor més gran".
La representació intrínseca descriu les propietats de la varietat que no depenen de l’entorn on es representa. Les varietats més complexes es defineixen com l' ampolla de Klein (una superfície, que és una varietat de dimensió 2) sense l'ajut d'un espai que les conté.
Corbes i superfícies a l’espai
L’estudi de corbes i superfícies en l’espai tridimensional va tenir una posició predominant en geometria diferencial fins a tot el segle XIX . El comportament d'una corba a l'espai (i més generalment a un espai euclidià amb qualsevol nombre de dimensions) és descrit pel sistema Frenet : un marc de referència que es mou al llarg de la trajectòria. Les quantitats que caracteritzen la manera com la corba canvia de trajectòria són les curvatures : en 3 dimensions hi ha dues curvatures, anomenades simplement curvatura i torsió .
Tensors i curvatura
La curvatura d'un col·lector diferencial està codificada per un objecte matemàtic molt complex, el tensor . Un tensor és un objecte que generalitza la matriu de 2 a més dimensions, molt útil per definir una estructura en un col·lector. El tensor que defineix la curvatura del col·lector és el tensor de Riemann . Una versió simplificada d’això és el tensor de curvatura de Ricci . El càlcul tensorial proporciona nombroses eines per manipular tensors.
Bibliografia
- M. Abate, F. Tovena, Geometria diferencial , Springer, 2011, ISBN 978-88-470-1919-5 .
- G. Gentili, F. Podestà, E. Vesentini, Lliçons de geometria diferencial , Torí, Bollati Boringhieri, 1995, ISBN 978-88-339-5556-8 .
- Edoardo Sernesi, Geometry 2 , Torí, Bollati Boringhieri, 1994, ISBN 978-88-339-5548-3 .
- Luigi Bianchi Lliçons de geometria diferencial (3 vol.) [ Enllaç trencat ] (Pisa: E. Spoerri, 1922)
- Arrigo Amadori (2009): El viatge perfecte: com convertir-se en un explorador de superfícies, [1]
- (EN) George Salmon Un tractat sobre la geometria analítica de tres dimensions [ enllaç trencat ] (Dublín: Hodges-Smith, 1862)
- (EN) Pfahler Luther Eisenhart Un tractat sobre la geometria diferencial de corbes i superfícies (Boston: Ginn & co., 1909)
- ( EN ) Barrett O'Neill (1997): Geometria diferencial elemental , 2a edició, Academic Press, ISBN 0-12-526745-2
- ( EN ) Peter Petersen (1997): Riemannian Geometry , Springer, ISBN 0-387-98212-4
- (EN) Richard W. Sharpe (1997): Geometria diferencial. Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program , Springer, ISBN 0-387-94732-9
- ( EN ) Jürgen Jost (1998): Riemannian Geometry and Geometric Analysis , 2a edició, Springer, ISBN 3-540-63654-4
- ( FR ) Gaston Darboux Cours de Géometrie [ enllaç trencat ] (París: Gauthier-Villars, 1894-1917)
- ( FR ) Gaston Darboux Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal (4 vols.) [ Enllaç trencat ] (París: Gauthier-Villars, 1887-1896)
Articles relacionats
- Varietat (geometria)
- Varietat diferenciable
- Topologia diferencial
- Geometria algebraica
- Geometria complexa
- Luigi Bianchi
- Tullio Levi-Civita
- Gregorio Ricci Curbastro
Altres projectes
-
Wikimedia Commons conté imatges o altres fitxers sobre geometria diferencial
Enllaços externs
- ( EN ) Geometria diferencial , a Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.
| Control de l'autoritat | Thesaurus BNCF 21328 · LCCN (EN) sh85054146 · GND (DE) 4012248-7 · BNF (FR) cb133188233 (data) · NDL (EN, JA) 00.560.656 |
|---|
