Geometria diferencial

De la Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure.
Saltar a la navegació Saltar a la cerca
La geometria diferencial defineix i estudia la noció d '"espai corbat". Aquí es mostren els tres tipus de curvatures més importants: el·líptica, hiperbòlica, plana.

En matemàtiques , la geometria diferencial és l'estudi d'objectes geomètrics com ara corbes , superfícies i varietats més generalment diferenciables , mitjançant l'anàlisi matemàtica . Per tant, mitjançant el càlcul infinitesimal i la noció de derivada , és possible introduir i estudiar nocions fonamentalment importants, com ara les de camp vectorial , forma diferencial , geodèsica , curvatura . L'aplicació més notable de la geometria diferencial és la formulació de la relativitat general , a la qual proporciona les eines per modelar l' espai-temps .

Les varietats diferenciables

Una corba al pla. Amb el càlcul infinitesimal definim la seva tangent en un punt.

Subconjunt de l'espai euclidià

La geometria diferencial subjacent és la noció de col·lector diferenciable . Aquesta noció generalitza la de corba i superfície , modelant un "espai corbat" de qualsevol mida. Les corbes i les superfícies són, doncs, varietats de dimensió 1 i 2.

Fins a mitjan segle XIX , es definia una varietat diferenciable com un objecte contingut en l'espai euclidià , que localment tenia l'aparença d'un "subespai corbat" de certa mida. Per tant, parlem, per exemple, de corbes al pla o a l’espai i de superfícies a l’espai. Aquests objectes es defineixen generalment (com a mínim localment) com un lloc de zeros o una imatge d'una funció diferenciable .

Objecte intrínsec

Les obres de Bernhard Riemann van introduir una definició més intrínseca de la varietat. Una varietat es pot definir avui com un objecte intrínsec, no necessàriament contingut en un espai euclidià: aquest resultat és el resultat d’un camí d’abstracció que va implicar moltes entitats geomètriques al segle XX , com ara varietats algebraiques i espais topològics .

La representació "intrínseca" descriu les propietats geomètriques del col·lector "des de l'interior": no cal "sortir" del col·lector per parlar de geodèsica , distància , curvatura . Aquesta abstracció és molt útil per exemple en la relativitat general , perquè ens permet descriure l'univers des de l'interior, sense la creació artificial d'un "contenidor més gran".

La representació intrínseca descriu les propietats de la varietat que no depenen de l’entorn on es representa. Les varietats més complexes es defineixen com l' ampolla de Klein (una superfície, que és una varietat de dimensió 2) sense l'ajut d'un espai que les conté.

Corbes i superfícies a l’espai

Icona de la lupa mgx2.svg El mateix tema en detall: geometria diferencial de corbes .

L’estudi de corbes i superfícies en l’espai tridimensional va tenir una posició predominant en geometria diferencial fins a tot el segle XIX . El comportament d'una corba a l'espai (i més generalment a un espai euclidià amb qualsevol nombre de dimensions) és descrit pel sistema Frenet : un marc de referència que es mou al llarg de la trajectòria. Les quantitats que caracteritzen la manera com la corba canvia de trajectòria són les curvatures : en 3 dimensions hi ha dues curvatures, anomenades simplement curvatura i torsió .

Tensors i curvatura

La curvatura d'un col·lector diferencial està codificada per un objecte matemàtic molt complex, el tensor . Un tensor és un objecte que generalitza la matriu de 2 a més dimensions, molt útil per definir una estructura en un col·lector. El tensor que defineix la curvatura del col·lector és el tensor de Riemann . Una versió simplificada d’això és el tensor de curvatura de Ricci . El càlcul tensorial proporciona nombroses eines per manipular tensors.

Bibliografia

Articles relacionats

Altres projectes

Enllaços externs

Control de l'autoritat Thesaurus BNCF 21328 · LCCN (EN) sh85054146 · GND (DE) 4012248-7 · BNF (FR) cb133188233 (data) · NDL (EN, JA) 00.560.656
Matemàtiques Portal de matemàtiques : accediu a les entrades de Wikipedia relacionades amb les matemàtiques