Blat sencer

De la Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure.
Saltar a la navegació Saltar a la cerca
Nota de desambiguació.svg Desambiguació - Si busca altres significats, vegi Integració .
integral de .
Àrea subtendida pel gràfic per la funció de al domini .
L'àrea se suposa que té un valor negatiu quan és negatiu.

En anàlisi matemàtica , la integral és un operador que, en el cas d'una funció d'una sola variable amb valors reals no negatius, associats a la funció de la zona subtendida per la seva gràfica dins d'un interval donat en el domini. Si la funció també assumeix valors negatius, llavors la integral pot interpretar geomètricament com l'àrea orientada subtendido per la gràfica de la funció.

És una funció contínua d'una variable i tots dos valors reals- un element en el domini de a continuació, a partir de l'teorema fonamental de el càlcul integral es dedueix que la integral de a des de és una primitiva de .

Antecedents

La idea bàsica del concepte d'integral era conegut per Arquimedes de Siracusa , que va viure entre 287 i 212 abans de Crist , i estava contingut en el mètode que utilitza per al càlcul de l' àrea de l' cercle o de la zona abastada pel segment de una sucursal d'una paràbola , anomenat el mètode d'esgotament , ja proposat per Eudoxio de Cnido .

Al segle XVII, alguns matemàtics van trobar altres mètodes per calcular la zona abastada per la gràfica de funcions simples, entre ells es troben, per exemple, Luca Valerio , Bonaventura Cavalieri , (qui va descobrir el mètode d'indivisibles en la dècada de 1640 ), Pierre de Fermat ( 1636 ), Evangelista Torricelli ( 1658 ) i Nicolaus Mercator ( 1668 ). En aquests mateixos anys Pietro Mengoli ( 1659 ) va donar una primera definició d'integral.

Als segles XVII i XVIII Isaac Newton , Gottfried Leibniz , Johann Bernoulli va demostrar de forma independent el teorema fonamental de el càlcul integral , que va portar a aquest problema tornar a la recerca de la primitiva d'una funció.

Quina és la integral (animació)

La definició d'integral per a funcions contínues en un interval es va formular inicialment per Augustin-Louis Cauchy , que, a partir de l'obra de Mengoli, va descriure la integral utilitzant la definició de límit. Bernhard Riemann més tard va proposar la seva definició, per tal d'incloure les classes més prolongats de funcions. En 1875 , Gaston Darboux va reformular la definició ja identificat per Cauchy a fi d'evitar l'ús de límits i mostrant que era totalment equivalent a la definició donada per Riemann. Per aquesta raó, sovint parlem de la integral de Riemann-Darboux. Per tal d'entendre una classe molt més gran de funcions, Henri Lebesgue va produir una definició més complexa de la integral, a través de la introducció de la teoria de la mesura . Més tard, Thomas Stieltjes va ser capaç de generalitzar la integral de Riemann, introduint el concepte de la integració de la funció i, amb un procediment completament anàloga, Johann Radon generalitza la integral de Lebesgue. Una definició integral alternativa a la Lebesgue-Radon va ser proporcionat per Percy J. Daniell , que deriva a partir de la integral de Riemann-Stieltjes.

Notació

El símbol de la integral en anglès, alemany i literatura russa (des de l'esquerra)

El símbol que representa la integral de la notació matemàtica va ser introduït per Leibniz a la fi de segle 17. El símbol es basa en el caràcter s ( esse llarga ), una carta que Leibniz fa servir com la inicial de la paraula summa (Summa), en Amèrica suma, ja que considerava que la integral com una suma infinita dels sumands infinitesimals.

La variable d'integració, que és la variable de la funció integrant, és una variable muda, és a dir té el mateix significat que i de . La forma diferencial és el diferencial de la variable d'integració.

Hi ha lleugeres diferències en la notació de la integral en les literatures de llengües diferents: el Anglès símbol està inclinada cap a la dreta, el alemany és recte, mentre que la russa variant s'inclina cap a l'esquerra.

introducció heurística

Penseu en una funció real de variable real limitada i definida en un interval en l'eix d'abscisses. Quan es procedeix a calcular la integral de encès , tan s'anomena la funció integrant i l'interval es diu l'interval d'integració i els extrems I s'anomenen extrems d'integració. La figura que limita amb el gràfic de , L'eix d'abscisses i els segments verticals dut a terme a partir dels extrems de l'interval d'integració als extrems de la gràfica de la funció es diu trapezoide. El valor de la integral de la funció calculada en l'interval d'integració és igual a l'àrea (amb signe) de l'trapezi, és a dir, el nombre real expressar aquesta àrea orientada s'anomena la integral (definida) de la funció estès a l'interval d'integració. El terme "integral" o "integral operador " també indica l'operació en si que associa el valor de la zona orientada a la funció.

Diverses maneres s'han ideat per definir rigorosament la integral; depenent de l'procediment adoptat, el conjunt de funcions que es pot mesurar amb una integral també canvia. Un mètode és "aproximada" la gràfica de la funció amb una línia que consta d'un o més segments, de manera que la figura es pot descompondre en una o més trapezoides l'àrea del qual és fàcil de calcular: la suma algebraica de les àrees de tots els trapezoides és llavors la integral buscava. Tal enfocament s'utilitza per definir la integral de Riemann , en què el càlcul de la superfície es porta a terme dividint la figura en tires verticals fines obtenint així rectangles. Específicament, dividint un interval d'integració dins rangs de el tipus , per I amb I , Per a cada interval d'un punt es pot considerar la imatge és . Es construeix llavors El rectangle basat en l'interval i per l'altura . La figura feta de tots els rectangles construïts d'aquesta manera es diu multi-rectangle i la zona de la multi-rectangle s'anomena la suma integral de Cauchy o la suma integral de Riemann-Darboux:

Si com l'amplada dels intervals disminueix els valors obtinguts d'aquesta manera es concentren en un barri que és cada vegada més petit que un nombre , la funció es pot integrar en l'interval I és el valor de la seva integral.

Si el integrable funció és positiu, llavors la integral adquireix el significat de àrea de la regió:

Si la funció de canviar Registra't llavors la integral representa una suma de àrees amb diferent signe.

Definició

La primera definició rigorosa d'haver estat formulat de la integral d'una funció en un interval és la integral de Riemann , formulat per Bernhard Riemann, encara per definir-preferim utilitzar la formulació proposada per Gaston Darboux.

La integral de Lebesgue permet integrar una classe més àmplia de funcions que la integral de Riemann. Per mostrar la relació entre les dues integrals cal utilitzar la classe de funcions contínues amb suport compacte , per al qual hi ha sempre la integral de Riemann. Deixeu-los estar I dues funcions contínues amb suport compacte activat . La seva distància es pot definir com segueix: [1]

Equipat amb la funció de distància, l’espai de funcions contínues amb suport compacte és un espai mètric . La finalització d’aquest espai mètric és el conjunt de funcions integrables segons Lebesgue. [2] [3]

En la literatura hi ha diversos altres operadors d'integració, però gaudeixen d'una menor difusió que els de Riemann i Lebesgue.

Integral de Riemann-Darboux

Icona de la lupa mgx2.svg El mateix tema en detall: integral de Riemann i la integral de Darboux .

És el conjunt de acotades i per trams continus funcions en l'interval , I tal com per a ser continu des de la dreta:

La norma de tals funcions pot ser definit com:

És una partició de I la funció que indica el i-èsim interval de la partició .

El conjunt de les possibles particions de l'interval constitueix una normat vector de espai, la norma donada per:

El conjunt és dens en . El delimitada transformació lineal es defineix com segueix: [4]

Es mostra que un operador lineal acotat que mapeja 1 espai vectorial normat en un complet espai normat sempre es pot estendre d'una manera única a un operador lineal acotat que mapeja la realització de l'espai de partida en el mateix espai d'arribada. Com que els nombres reals constitueixen un conjunt complet, la per tant, es pot estendre a un operador que els mapes de finalització des de dins .

L'operador es defineix com la integral de Riemann-Darboux , i s'indica amb: [5]

Integral de Lebesgue

Icona de la lupa mgx2.svg El mateix tema en detall: integral de Lebesgue .

És una mesura sobre un sigma-àlgebra de subconjunts d’un conjunt . Per exemple, pot ser un espai n euclidià o alguna Lebesgue-mesurable subconjunt dels mateixos, la sigma-àlgebra de tots els subconjunts de Lebesgue-mesurables de I la mesura de Lebesgue.

En la teoria de Lebesgue, integrals estan limitats a una classe de funcions, anomenat funcions mesurables . Una funció és mesurable si la imatge Comptador de cada conjunt està obert de la gamma és a , és a dir si és un conjunt mesurable de per a cada obert . [6] El conjunt de funcions mesurables es tanca pel que fa a les operacions algebraiques, i en particular la classe està tancat pel que fa a diversos tipus de límits puntuals de seqüències.

Una funció senzilla és una combinació lineal finita de funcions indicadores de conjunts mesurables . [7] Tant si són reals o complexos nombres els valors assumits per la funció simple i tots dos:

Llavors: [7]

on és és la funció indicadora relativa al conjunt per cadascú

La integral de Lebesgue d'una funció simple es defineix de la següent manera:

És una funció mesurable no negativa activada als valors de la línia real estesa . La integral de Lebesgue en conjunt respecte a la mesura es defineix com segueix: [8]

on s’avalua el límit superior tenint en compte totes les funcions simples de tal manera que . El valor de la integral és un número de l'interval .

El conjunt de funcions tals que:

es diu el conjunt de funcions integrables de segons Lebesgue respecte a la mesura , o també un conjunt de funcions sumables, i es denota amb .

La integral de Lebesgue també és un funcional lineal , i tenint en compte una funció definida en un interval El teorema de Riesz ens permet afirmar que per a qualsevol funcional lineal encès s'associa una mesura Borel finita encès tal que: [9]

D'aquesta manera, el valor del funcional depèn contínuament de la durada de l'interval d'integració.

Integral en diverses variables

Icona de la lupa mgx2.svg Mateix tema en detall: integral múltiple .

És un vector en el camp real. Un conjunt com:

i va dir cèl·lules beta. És definit a una funció contínua amb els valors reals, i definir:

Aquesta funció es defineix en i és al seu torn contínua, a causa de la continuïtat de . Per iterar el procediment, s'obté una classe de funcions continuar que són el resultat de la integral de respecte a la variable en l'interval . Després vegades s'obté el nombre:

Aquesta és la integral de encès en comparació amb I que no depèn de l'ordre en el qual el addicions.

En concret, tampoc . Llavors tenim:

A més, tant si es tracta 1 funció de suport compacte i se suposa que conté suport per a . Llavors és possible escriure:

Dins de la teoria integral de Lebesgue és possible ampliar aquesta definició per a grans conjunts de funcions.

Una propietat molt important de la integral d'una funció de múltiples variables és la següent. Són:

  • una funció injectiva classe definit en un obert i tal que el seu matriu jacobiana és diferent de 0 en qualsevol part .
  • una contínua funció de suport compacte defineix en i tal que conté suport per a .

Llavors tenim:

la integració té un suport compacte gràcies a la reversibilitat de , A causa de la hipòtesi per cadascú el que garanteix la continuïtat de dins pel teorema de la funció inversa .

integral curvilínia

Icona de la lupa mgx2.svg El mateix tema en detall: Línia integral i integral de superfície .

Donat un camp escalar , Definim la integral de línia ( de la primera classe ) en un revolt , parametritzat per , amb , Com ara: [10]

on el terme indica que la integral es realitza en una abscissa curvilínia . Si el domini de la funció I , la integral curvilínia es redueix a la integral de Riemann comuna avaluada en l'interval . Les integrals el·líptiques del primer i segon tipus també pertanyen a la família de les integrals de línia, aquesta última també s'utilitza en el camp estadístic per al càlcul de la longitud de la corba de Lorenz .

De la mateixa manera, per a un camp vectorial , La integral de línia ( de la segona classe ) al llarg d'una corba , parametritzat per amb , Es defineix per: [11]

La continuïtat i la integrabilitat

Icona de la lupa mgx2.svg Mateix tema en detall: funció integrable .

Una condició suficient per integrabilitat és que una funció definida en un interval tancat i fitat és contínua: un funció contínua definida en un compacte , i per tant uniformement contínua pel teorema de Heine-Cantor , és integrable.

Demostració

Divideixi el rang dins subintervals d'igual amplada:

Triar un punt en cada interval a interns i la suma integral es defineix:

Col·locant I el màxim i el mínim de en cada interval a continuació, les sumes es construeixen:

Com el , ho tenim disminueix correu creix. Atès que les dues seqüències són llavors monòtona , admeten un límit, que és finit. Que sigui ara:

Tenim això:

Pel teorema d'existència de el límit de seqüències monòtones que resulta I , amb . A mesura que la partició de resulta , De fet, és possible fixar una tan petit com t'agrada i una sèrie de subdivisions partició prou gran com per donar lloc a:

ja que per a la continuïtat uniforme de tenim:

És a dir, per a una sèrie de bastant altes subdivisions:

Pel teorema de comparació de seqüències tenim:

o bé:

per tant, donada l'arbitrarietat el factor , Resulta que amb el pas a el límit de la diferència entre la maximització i minimització de sumes integrals tendeix a zero. D’això se’n desprèn que:

Al final, en què:

pel teorema de comparació resulta , De la qual es dedueix que si la funció d'integració és contínua en un compacte llavors l'operació d'integració no depèn de l'elecció dels punts dins dels intervals , És a dir, la funció és integrable.

integrabilitat absoluta

Una funció es diu que és absolutament integrable en un interval obert de l'tipus Si en aquest interval es pot integrar . No totes les funcions integrables són absolutament integrable: un exemple d'una funció d'aquest tipus és . Per contra, el teorema de l'existència d'integrals impròpies en l'infinit garanteix que una funció assolutamente integrabile sia integrabile su un intervallo del tipo .

Dimostrazione

Infatti, una condizione necessaria e sufficiente affinché esista finito è che per ogni esista tale che per ogni si abbia:

Sostituendo in quest'ultima espressione con la condizione di esistenza diventa:

da cui si ha:

e quindi si può scrivere:

Si ricava così che è integrabile.

Teorema di Vitali-Lebesgue

Il teorema di Vitali-Lebesgue è un teorema che consente di individuare le funzioni definite su uno spazio che siano integrabili secondo Riemann . Fu dimostrato nel 1907 dal matematico italiano Giuseppe Vitali contemporaneamente e indipendentemente con il matematico francese Henri Lebesgue .

Data una funzione su che sia limitata e nulla al di fuori di un sottoinsieme limitato di , essa è integrabile secondo Riemann se e solo se è trascurabile l'insieme dei suoi punti di discontinuità . Se si verifica questo, la funzione è anche integrabile secondo Lebesgue ei due integrali coincidono. Nel caso in cui l'enunciato assume la seguente forma: una funzione limitata in un intervallo è ivi integrabile secondo Riemann se e solo se l'insieme dei suoi punti di discontinuità è di misura nulla rispetto alla misura di Lebesgue . [12]

Calcolo differenziale e calcolo integrale

Magnifying glass icon mgx2.svg Lo stesso argomento in dettaglio: Derivata .

Il teorema fondamentale del calcolo integrale , grazie agli studi e alle intuizioni di Leibniz , Newton , Torricelli e Barrow , stabilisce la relazione esistente tra calcolo differenziale e calcolo integrale. Esso è generalizzato dal fondamentale teorema di Stokes .

Funzioni primitive

Magnifying glass icon mgx2.svg Lo stesso argomento in dettaglio: Primitiva (matematica) .

Il problema inverso a quello della derivazione consiste nella ricerca di tutte le funzioni la cui derivata sia uguale a una funzione assegnata. Questo problema è noto come ricerca delle primitive di una funzione. Nel caso in cui sia una primitiva di (cioè se ) allora, poiché la derivata di una funzione costante è nulla, anche una qualunque funzione del tipo:

che differisca da per una costante arbitraria , risulta essere primitiva di . Infatti:

Quindi, se una funzione ammette primitiva allora esiste un'intera classe di primitive del tipo:

Viceversa, tutte le primitive di sono della forma .

Integrale indefinito

La totalità delle primitive di una funzione si chiama integrale indefinito di tale funzione. Il simbolo:

denota l'integrale indefinito della funzione rispetto a . La funzione è detta anche in questo caso funzione integranda . In un certo senso (non formale), si può vedere l'integrale indefinito come "l'operazione inversa della derivata". Tuttavia, da un punto di vista formale, la derivazione non è iniettiva e quindi non è invertibile e l'operatore integrale restituisce l'insieme delle primitive che o è vuoto oppure contiene infiniti elementi.

Ogni funzione continua in un intervallo ammette sempre integrale indefinito, ma non è detto che sia derivabile in ogni suo punto. Se è una funzione definita in un intervallo nel quale ammette una primitiva allora l'integrale indefinito di è:

dove è una generica costante reale.

Funzione integrale

Sia una funzione definita su un intervallo . Se la funzione è integrabile su ogni intervallo chiuso e limitato contenuto in , al variare dell'intervallo varia il valore dell'integrale. Si ponga , dove è fissato e l'altro estremo è variabile: l'integrale di su diventa allora una funzione di . Tale funzione si dice funzione integrale di o integrale di Torricelli , e si indica con:

La variabile di integrazione è detta variabile muta , e varia tra e .

Teorema fondamentale del calcolo integrale

Magnifying glass icon mgx2.svg Lo stesso argomento in dettaglio: Teorema fondamentale del calcolo integrale .

La prima parte del teorema è detta primo teorema fondamentale del calcolo , afferma che la funzione integrale (come sopra definita)

è una primitiva della funzione di partenza. Cioè

La seconda parte del teorema è detta secondo teorema fondamentale del calcolo , e consente di calcolare l'integrale definito di una funzione attraverso una delle sue primitive.

e tale relazione è detta formula fondamentale del calcolo integrale .

Lemma di derivazione degli integrali

Sia un intervallo, funzione di classe in e curve di classe . Sia la funzione integrale di classe definita come:

Proprietà degli integrali

Di seguito si riportano le proprietà principali dell'operatore integrale.

Linearità

Siano e due funzioni continue definite in un intervallo e siano . Allora:

Dimostrazione

Infatti, dalla definizione si ha che:

da cui:

Dalla proprietà distributiva e dal fatto che il limite della somma coincide con la somma dei limiti si ha:

da cui discende la proprietà di linearità.

Additività

Sia continua e definita in un intervallo e sia . Allora:

Dimostrazione

Infatti, dalla definizione si ha che:

da cui se si ha esistono un valore e un valore la cui somma è tali che per un affinamento sufficiente della partizione risulti:

Distribuendo la misura dell'intervallo:

in cui . Considerando l'intervallo , l'indice può essere riscritto come in quanto è il valore superiore del primo intervallo della partizione di . Ricordando che:

risulta allora:

da cui discende la proprietà di additività.

Monotonia (o teorema del confronto)

Siano e due funzioni continue definite in un intervallo e tali che in . Allora:

Dimostrazione

Infatti, se si verifica che nel compatto , effettuando una partizione di tale intervallo la disuguaglianza permane e moltiplicando da ambo i lati per il fattore si ottiene:

per ogni . A questo punto se la relazione è valida per qualsiasi intervallo in cui è suddiviso il compatto vale la seguente:

Come conseguenza del corollario del teorema della permanenza del segno dei limiti , applicando il limite alle somme integrali di Riemann (ottenendo quindi l'integrale) la disuguaglianza resta immutata:

Da ciò deriva la proprietà di monotonia degli integrali.

Valore assoluto

Tale teorema si potrebbe considerare come un corollario del teorema del confronto. Se è integrabile in un intervallo si ha:

Dimostrazione

Infatti, essendo valida la relazione per ogni s, è possibile sommare membro a membro le varie componenti della relazione, ottenendo:

Moltiplicando ogni membro per il fattore e applicando il limite in modo da affinare gli intervalli della partizione si ottengono gli integrali:

ove quest'ultima disuguaglianza può essere espressa in termini di valore assoluto come:

la quale è la proprietà del valore assoluto degli integrali.

Teorema della media

Magnifying glass icon mgx2.svg Lo stesso argomento in dettaglio: Teorema della media integrale e Teorema della media pesata .

Se è continua allora esiste tale che:

Integrale improprio

Magnifying glass icon mgx2.svg Lo stesso argomento in dettaglio: Integrale improprio .

Un integrale improprio è un limite della forma:

oppure:

Un integrale è improprio anche nel caso in cui la funzione integranda non è definita in uno o più punti interni del dominio di integrazione.

Metodi di integrazione

Magnifying glass icon mgx2.svg Lo stesso argomento in dettaglio: Metodi di integrazione .

L'integrazione di una funzione reale è un calcolo matematico di non semplice risoluzione generale. Il caso più semplice si ha quando si riconosce la funzione integranda essere la derivata di una funzione nota . In casi più complessi esistono numerosi metodi per trovare la funzione primitiva. In particolare, tra le tecniche più diffuse per la ricerca della primitiva dell'integranda sono queste due:

  • se l'integranda è il prodotto di due funzioni, l' integrazione per parti riduce l'integrale alla somma di una funzione e un altro integrale che può ricondursi al caso più semplice descritto sopra in cui l'integranda è la derivata di una funzione nota;
  • se l'integranda è trasformazione di una derivata nota attraverso una qualche funzione derivabile, l' integrazione per sostituzione riporta il calcolo all'integrale di quella derivata nota, modificato per un fattore di differenziabilità che dipende dalla trasformazione in gioco.

Stima di somme tramite integrale

Un metodo che consente di ottenere la stima asintotica di una somma è l'approssimazione di una serie tramite il suo integrale. Sia una funzione monotona non decrescente. Allora per ogni e ogni intero si ha:

Infatti, se la proprietà è banale, mentre se si osserva che la funzione è integrabile in ogni intervallo chiuso e limitato di , e che per ogni vale la relazione:

Sommando per si ottiene dalla prima disuguaglianza:

mentre dalla seconda segue che:

Aggiungendo ora e alle due somme precedenti si verifica la relazione.

Altri operatori di integrazione

Accanto agli integrali di Riemann e Lebesgue sono stati introdotti diversi altri operatori integrali. L' integrale di Riemann-Stieltjes è una generalizzazione dell'integrale di Riemann, ed è a sua volta generalizzato dall' integrale di Lebesgue-Stieltjes , che è anche un'estensione dell'integrale di Lebesgue.

Integrali di Denjoy, Perron, Henstock e altri

Magnifying glass icon mgx2.svg Lo stesso argomento in dettaglio: Integrale di Denjoy , Integrale di Perron e Integrale di Henstock-Kurzweil .

Sono state sviluppate altre definizioni di integrale, alcune delle quali sono dovute a Denjoy , Perron , Henstock e altri. I tre nominati condividono la validità del teorema fondamentale del calcolo integrale in una forma più generale rispetto alla trattazione di Riemann e Lebesgue.

Il primo in ordine cronologico a essere introdotto è stato l' integrale di Denjoy , definito per mezzo di una classe di funzioni che generalizza le funzioni assolutamente continue . Successivamente, solo due anni dopo, Perron ha dato la sua definizione con un metodo che ricorda le funzioni maggioranti e minoranti di Darboux. In ultimo, Ralph Henstock e (indipendentemente) Jaroslaw Kurzweil forniscono una terza definizione equivalente, detta anche integrale di gauge : essa sfrutta una leggera generalizzazione della definizione di Riemann, la cui semplicità rispetto alle altre due è probabilmente il motivo per cui questo integrale è più noto con il nome del matematico inglese che con quelli di Denjoy e Perron.

Integrale di Itō

Magnifying glass icon mgx2.svg Lo stesso argomento in dettaglio: Lemma di Itō .

L'integrale di Itō fa parte dell'analisi di Itō per i processi stocastici . In letteratura è introdotto utilizzando varie notazioni, una delle quali è la seguente:

dove è il processo di Wiener . L'integrale non è definito come un integrale ordinario, in quanto il processo di Wiener ha variazione totale infinita. In particolare, gli strumenti canonici di integrazione di funzioni continue non sono sufficienti. L'utilizzo principale di tale strumento matematico è nel calcolo differenziale di equazioni in cui sono coinvolti integrali stocastici , che inseriti in equazioni volte a modellizzare un particolare fenomeno (come il moto aleatorio delle particelle o il prezzo delle azioni nei mercati finanziari) rappresentano il contributo aleatorio sommabile (rumore) dell'evoluzione del fenomeno stesso.

Esempi di calcolo di un integrale

  • In base alle informazioni fornite dal primo teorema fondamentale del calcolo integrale si può effettuare il calcolo di un integrale cercando una funzione la cui derivata coincide con la funzione da integrare. A questo scopo possono essere d'aiuto le tavole d'integrazione . Così per effettuare il calcolo dell'integrale della funzione vista in precedenza attraverso la ricerca di una primitiva si ricorre alla formula:
la cui derivata coincide proprio con . Prendendo in considerazione la (già esaminata precedentemente) funzione e integrandola si ottiene:
Mentre per quanto concerne l'integrale definito nel compatto si ha, in forza del secondo teorema fondamentale del calcolo integrale
esattamente lo stesso risultato ottenuto in precedenza.
  • Si supponga di fissare un sistema di riferimento cartesiano attraverso le rette ortogonali e orientate delle ascisse e delle ordinate. Si supponga ora che su tale sistema di assi sia definita una retta la cui equazione esplicita è . Si vuole calcolare l'integrale di tale retta definita sul compatto situato sull'asse delle ascisse. Si supponga per semplicità che i punti e si trovino sul semiasse positivo delle ascisse e siano entrambi positivi. Allora l'area sottesa alla retta considerata nel compatto è uguale all'area di un trapezio che "poggiato" in orizzontale sull'asse delle ascisse è caratterizzato da un'altezza uguale a , base maggiore e base minore . L'area di tale figura è data, come noto dalla geometria elementare, dalla formula , ovvero .
Nell'ottica del calcolo dell'integrale di questa retta definita nel compatto si effettua una partizione di tale intervallo, dividendolo in parti uguali:
Nel generico intervallo si sceglie come punto arbitrario il punto più esterno (ma andrebbe bene qualsiasi punto dell'intervallo), considerando la funzione nel generico punto interno all'intervallo . Si avrà quindi , e la somma integrale di Riemann diventa:
nella quale la progressione aritmetica restituisce un'espressione delle somme di Riemann uguale a:
Per passare dalle somme integrali di Riemann all'integrale vero e proprio è ora necessario, in conformità con la definizione di integrale, il passaggio al limite di suddette somme. Ovvero:
Calcolando il limite per , dato che , si ottiene:
dalla quale, eseguendo la somma si ricava:
la quale è esattamente l'area del trapezio costruito dalla retta sul piano insieme all'asse delle ascisse.

Note

  1. ^ W. Rudin , Pag. 68 .
  2. ^ Si pone in tale contesto che due funzioni uguali quasi ovunque siano coincidenti.
  3. ^ W. Rudin , Pag. 69 .
  4. ^ Reed, Simon , Pag. 10 .
  5. ^ Reed, Simon , Pag. 11 .
  6. ^ W. Rudin , Pag. 8 .
  7. ^ a b W. Rudin , Pag. 15 .
  8. ^ W. Rudin , Pag. 19 .
  9. ^ W. Rudin , Pag. 34 .
  10. ^ LD Kudryavtsev, Encyclopedia of Mathematics - Curvilinear integral , su encyclopediaofmath.org , 2012.
  11. ^ Eric Weisstein, MathWorld - Line Integral , su mathworld.wolfram.com , 2012.
  12. ^ Gianluca Gorni - Il teorema di Vitali-Lebesgue ( PDF ), su sole.dimi.uniud.it . URL consultato il 9 agosto 2014 (archiviato dall' url originale il 10 agosto 2014) .

Bibliografia

Voci correlate

Tavole di integrali

Integrali indefiniti

Altri progetti

Collegamenti esterni

Controllo di autorità Thesaurus BNCF 32858 · LCCN ( EN ) sh85067099 · BNF ( FR ) cb119395946 (data)
Matematica Portale Matematica : accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica