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Massa (física)

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Processament gràfic per ordinador de la mostra d’ un quilogram emmagatzemada a Sèvres

La massa (del grec : μᾶζα , máza , pastís d'ordi, massa de massa) és una quantitat física de cossos materials que determina el seu comportament dinàmic quan estan sotmesos a la influència de forces externes.

Al llarg de la història de la física , en particular la física clàssica , la massa s'ha considerat una propietat intrínseca de la matèria, que es pot representar amb un valor escalar i que es conserva al llarg del temps i l'espai, mantenint-se constant en tots els sistemes aïllats . A més, s’ha utilitzat el terme massa per indicar dues quantitats potencialment diferents: la interacció de la matèria amb el camp gravitatori i la relació que uneix la força aplicada a un cos amb l’ acceleració que s’hi indueix. [1] No obstant això, l'equivalència de les dues masses s'ha comprovat en nombrosos experiments (ja realitzats per Galileo Galilei primer). [2]

En el marc més ampli de la relativitat especial, la massa relativista ja no és una propietat intrínseca de la matèria, sinó que també depèn del marc de referència en què s’observa . La massa relativista està relacionat amb la massa en repòs , és a dir, la massa de l'objecte en el sistema de referència en què es troba en repòs, mitjançant el factor Lorentz :

.

Com que la massa relativista depèn de la velocitat, es modifica el concepte clàssic de massa, que ja no coincideix amb la definició newtoniana de la constant de proporcionalitat entre la força F aplicada a un cos i l' acceleració resultant a . En lloc d'això, es converteix en una quantitat dinàmica proporcional a l'energia global del cos, a través de la famosa fórmula E = mc² .

Massa relativista
Missa en repòs
Energia total
Energia en repòs

La conservació de l’energia mecànica inclou ara, a més de l’energia cinètica i l’energia potencial , també una contribució proporcional a la massa restant m 0 , com a forma més d’energia. L' energia relativista total del cos, donada per E = mc ² , inclou tant l' energia cinètica K com la relativa a la massa en repòs, E 0 = m 0 .

A diferència de l' espai i el temps , per als quals es poden donar definicions operatives en termes de fenòmens naturals, per definir el concepte de massa és necessari fer referència explícita a la teoria física que en descriu el significat i les propietats. Els conceptes pre-físics intuïtius de quantitat de matèria (que no s’ha de confondre amb quantitat de substància , mesurats en mols ) són massa vagues per a una definició operativa i fan referència a propietats, inèrcia i pes comuns, que es consideren força diferents. teoria que introdueix la massa en termes quantitatius, la dinàmica newtoniana .

El concepte de massa es fa més complex a nivell de física de partícules on la presència de partícules elementals amb massa ( electrons , quarks , ...) i sense massa ( fotons , gluons ) encara no té una explicació en termes fonamentals. En altres paraules, no està clar per què algunes partícules tenen massa i d'altres no. Les principals teories que intenten donar una interpretació a la massa són: el mecanisme de Higgs , la teoria de cordes i la gravetat quàntica en bucle ; d'aquests, a partir del 4 de juliol de 2012 gràcies a l' accelerador de partícules LHC , només la teoria de Higgs ha tingut els primers resultats experimentals. [3]

Unitat de mesura

En l’ actual Sistema Internacional d’Unitats (SI), s’ha escollit la massa com a magnitud física fonamental , és a dir, no es pot expressar només en termes d’altres magnituds fonamentals. [4] La seva unitat de mesura és el quilogram , indicat amb el símbol kg. [5] [6]

En el sistema CGS la unitat de massa és el gram . Al Regne Unit i als Estats Units s’utilitzen habitualment lliures (uns 454 g) i pedra (literalment " pedra ", 14 lliures). Altres unitats de mesura s’utilitzen habitualment en camps específics de la física.

En física atòmica i física de la matèria , s’utilitzen comunament les unitats de mesura de Hartree , basades en la massa de l’electró o la unitat de massa atòmica , aproximadament equivalent a la massa d’un protó . En química s’utilitza amb freqüència el mol que, tot i que no és una unitat de massa, s’hi relaciona amb un simple factor de proporcionalitat.

A la física nuclear i subnuclear, l’ús de la unitat de massa atòmica és comú. No obstant això, especialment en el camp d'alta energia, és habitual expressar la massa ( en repòs o invariant) per la seva energia equivalent E = mc². Al seu torn, l'energia s'expressa en eV [7] . Per exemple, un electró té una massa aproximada

.

Per tant, l’electró té una massa de repòs equivalent a 0,511 MeV. En experiments de física subnuclear, l’energia cinètica de les partícules estudiades és sovint del mateix ordre de magnitud , cosa que fa que aquesta elecció de la unitat de mesura sigui especialment convenient. [8]

Les unitats de massa, particularment quilos i lliures, també s’utilitzen de vegades per mesurar una força . Aquest ús, encara que tècnicament incorrecte, està molt estès en l’ús comú i es justifica pel fet que l’ acceleració de la gravetat a la terra ( g ) és aproximadament constant. Per tant, una força es pot expressar com una massa equivalent mitjançant la constant de proporcionalitat g . En altres paraules, afirmar que una força té la intensitat d’un quilogram equival a afirmar que un cos que pesa un quilogram, a nivell del mar, estaria subjecte a una força gravitatòria equivalent. No obstant això, aquest ús no compleix el sistema internacional . La massa i la força són dues quantitats conceptualment diferents, amb unitats SI diferents, respectivament el quilogram per a la massa i el newton per a la força; i cal subratllar que el pes d'un objecte és una força, no una propietat física intrínseca de l'objecte (que és la massa).

Mecànica newtoniana

En mecànica clàssica el terme massa pot referir-se a tres magnituds físiques escalars diferents, diferents entre si:

  • la massa inercial és proporcional a la inèrcia d’un cos, que és la resistència al canvi de l’estat de moviment quan s’aplica una força .
  • La massa gravitatòria passiva és proporcional a la força d’interacció d’un cos amb la força de la gravetat .
  • La massa gravitatòria activa és en canvi proporcional a la intensitat del camp gravitatori produït per un cos.

S’ha demostrat que les masses inercials i gravitatòries són equivalents experimentalment, fins i tot si són conceptualment diferents. Els primers experiments destinats a establir aquesta equivalència van ser els de Galileu Galilei .

Massa inercial

Definició de newtonià

La massa inercial m i d'un cos es defineix al Principia com la quantitat de matèria que el relaciona amb el principi de proporcionalitat com una constant de proporcionalitat entre la força aplicada i l’acceleració soferta :

De fet, la massa inercial es pot obtenir operativament mesurant l’acceleració del cos sotmès a una força coneguda, sent l’índex de la resistència d’un cos a accelerar quan està sotmès a una força, és a dir, de la inèrcia del cos. El problema amb l’ús d’aquesta propietat com a definició és que requereix el concepte previ de força ; per evitar el cercle viciós generat per Newton que no va especificar l’instrument per mesurar-lo, sovint es defineix la força lligant-la a l’allargament d’un ressort que segueix la llei de Hooke , una definició clarament insatisfactòria ja que és particular i no general. A més, aquesta definició ha donat lloc a diversos problemes, relacionats en particular amb el sistema de referència en què es duu a terme la mesura: el concepte d'inèrcia, com el de la força, va ser criticat històricament per molts pensadors, inclosos Berkeley , Ernst Mach , Percy Williams Bridgman i Max Jammer .

Definició de machiana

L’obra de Mach va revolucionar el concepte de massa inercial. Va aconseguir eliminar els elements metafísics que persistien en la mecànica clàssica , reformulant la definició de massa d'una manera operacionalment precisa sense cap contradicció lògica. A partir d’aquesta redefinició va començar la relativitat general , fins i tot si el propi Einstein no va poder incloure el principi de Mach dins de la relativitat general. La definició maquiana es basa en el principi d’ acció-reacció , deixant que el principi de proporcionalitat defineixi posteriorment la força. Penseu en un sistema aïllat format per dos cossos (puntuals) que interactuen entre si. Qualsevol que sigui la força que actuï entre els dos cossos, s'observa experimentalment que les acceleracions sofertes pels dos cossos són sempre proporcionals [9] i en relació constant entre ells:

El que és particularment rellevant és que la relació entre les dues acceleracions instantànies no només és constant al llarg del temps, sinó que no depèn de l'estat inicial del sistema: per tant, s'associa a una propietat física intrínseca dels dos cossos examinats. En canviar un dels dos cossos, la constant de proporcionalitat també varia. Suposem, doncs, que s’utilitzen tres cossos i que es duen a terme tres experiments per separat amb els tres possibles parells (sempre s’assumeix l’absència de forces externes). D’aquesta manera podrem mesurar les constants Tingueu en compte que per definició

En comparar els valors de les constants observades, es trobarà invariablement que aquestes satisfan la relació D’aquí el producte no depèn de la naturalesa del cos 1, ja que és igual a la inversa de , això significa , que és independent a causa de la independència de . D’això se’n desprèn que cada coeficient s'ha de poder expressar com el producte de dues constants, cadascuna dependent només d'un dels dos cossos. És ; però ha de ser vàlid de la mateixa manera

tan

en qualsevol moment, per a qualsevol parell de cossos. La quantitat m que es defineix així (excepte un factor constant, que correspon a l'elecció de la unitat de mesura) s'anomena massa inercial del cos: per tant, és possible mesurar la massa d'un cos mesurant les acceleracions degudes a les interaccions entre aquest i un altre cos de massa coneguda, sense la necessitat de saber quines forces actuen entre els dos punts (sempre que el sistema format pels dos cossos es pugui considerar aïllat, és a dir, no sotmès a forces externes). El vincle entre les masses ve donat per:

Massa gravitacional

Icona de la lupa mgx2.svg El mateix tema en detall: Força de la gravetat .
Una bola de caiguda lliure, disparada per un estroboscopi amb una freqüència de 0,05 s. La taxa de caiguda és independent de la massa gravitatòria de la pilota

Si un cos, com una pilota de tennis, es deixa lliure a l’aire, és atret cap avall per una força constant anomenada força de pes . Mitjançant una bàscula panoràmica es pot veure que diferents cossos, en general, són atrets de manera diferent per la força del pes, és a dir, pesen de manera diferent. La balança panoràmica es pot utilitzar per donar una definició operativa de massa gravitatòria: la massa unitària s’assigna a un objecte de mostra i els altres objectes tenen una massa igual al nombre de mostres necessàries per equilibrar les plaques.

La massa gravitatòria passiva és una magnitud física proporcional a la interacció de cada cos amb el camp gravitatori. Dins del mateix camp gravitatori, un cos amb una massa gravitatòria petita experimenta una força menor que la d’un cos amb una massa gravitatòria gran: la massa gravitatòria és proporcional al pes, però, mentre que aquest últim varia segons el camp gravitatori, la massa es manté constant. Per definició, la força de pes P s’expressa com el producte de la massa gravitacional m g vegades un vector g , anomenada acceleració de la gravetat , en funció del lloc on es fa la mesura i les unitats de mesura de la qual depenen de la de la massa gravitatòria . [10] La direcció del vector g s'anomena vertical .

Com s’ha esmentat anteriorment, la massa gravitatòria activa d’un cos és proporcional a la intensitat del camp gravitatori generat per aquest. Com més gran és la massa gravitatòria activa d’un cos, més intens és el camp gravitatori que genera i, per tant, la força que el camp exerceix sobre un altre cos; per posar un exemple, el camp gravitatori generat per la Lluna és més petit (amb la mateixa distància del centre dels dos cossos celestes) que el generat per la Terra perquè la seva massa és menor. Les mesures de masses gravitatòries actives es poden realitzar, per exemple, amb equilibris de torsió com l’utilitzat per Henry Cavendish per determinar la constant gravitatòria universal .

Equivalència entre la massa gravitatòria activa i la passiva

L'equivalència entre la massa gravitatòria activa i la passiva és una conseqüència directa del tercer principi de dinàmica de Newton : sigui F 12 el mòdul de la força que el cos 1 exerceix sobre el cos 2, F 21 el mòdul de força que el cos 2 exerceix sobre el cos 1 i m 1A , m 2A , m 1P i m 2P les masses gravitatòries, actives i passives, dels dos cossos. S'aplica:

a partir del qual:

això és

Donada l’arbitrarietat dels cossos, les lleis de la mecànica clàssica estableixen l’equivalència substancial entre les masses gravitatòries activa i passiva; es van afegir moltes verificacions experimentals al llarg del temps, com per exemple la de DF Bartlett i D. Van Buren del 1986, aconseguida mitjançant l'explotació de les diferents composicions de l' escorça i el mantell lunar, igualtat amb una precisió de la relació de massa gravitatòria actiu / massa gravitacional i passiu igual a 4 × 10 −12 . [11]

A partir d’aquí, les masses gravitatòries actives i passives s’identificaran amb el terme de massa gravitatòria d’un sol terme.

La massa gravitatòria és en realitat la càrrega del camp gravitatori, exactament en el mateix sentit en què la càrrega elèctrica és la càrrega del camp elèctric : simultàniament genera i sofreix els efectes del camp gravitatori. Qualsevol objecte amb massa gravitatori zero (per exemple, fotons ) no patiria els efectes del camp: en realitat, un resultat de la relativitat general és que qualsevol cos segueix una trajectòria a causa del camp gravitatori. Per obtenir més informació, consulteu la secció sobre massa en relativitat general .

Equivalència entre la massa inercial i la gravitatòria

Esquema d’un pla inclinat. L’ús d’un pla inclinat permet, si la fricció és insignificant, observar millor els efectes de l’acceleració gravitatòria

Els experiments han demostrat que la massa gravitatòria i inercial sempre és proporcional amb la mateixa constant de proporcionalitat, dins de la precisió de les mesures realitzades fins ara. [12] Els primers experiments van ser realitzats per Galileu ; es sol dir que Galileu va obtenir els seus resultats deixant caure objectes de la torre de Pisa , però probablement és apòcrif: més probablement va estudiar el moviment dels marbres mitjançant l'ús de plans inclinats. La biografia escrita per Vincenzo Viviani afirma que Galileo va deixar caure esferes del mateix volum però de material diferent, és a dir, de massa diferent, de la torre de Pisa, [13] però probablement va ser un experiment de pensament que mai es va realitzar mai; En canvi, Galileu va utilitzar plans inclinats per frenar la caiguda dels cossos. [14] [15]

Suposem que tenim un objecte de massa inercial i gravitacional m respectivament i i m g. Si la força del pes és l'única força que actua sobre els objectes, la segona llei de Newton ens dóna:

a partir del qual:

Dibuix d'equilibri de torsió de Coulomb. Charles Augustin de Coulomb el va utilitzar per determinar la llei del mateix nom que expressa la força exercida entre dues càrregues elèctriques

Un experiment per verificar l'equivalència entre les dues definicions de massa, un cop fixat el lloc (en cas contrari, podria variar g ), podria consistir, per exemple, a mesurar un per a diferents cossos que busquen possibles variacions; en altres paraules, per verificar si dos cossos, que cauen, s’acceleren de la mateixa manera (universalitat de caiguda lliure o UFF de la universalitat anglesa de caiguda lliure ). Com s’ha esmentat anteriorment, no hi ha violacions de l’equivalència de manera experimental, de manera que, escollint la mateixa unitat de mesura per a les dues masses, la relació és exactament 1: per a cada cos no només la massa gravitatòria i la massa inercial tenen les mateixes unitats de mesura, sinó que també són expressat pel mateix nombre. En conseqüència, g és una acceleració i, de fet, s’anomena acceleració de la gravetat .

Les verificacions experimentals de l’equivalència entre la massa inercial i la gravitatòria i de la UFF es van dur a terme mitjançant l’ús de plans inclinats (Galileu), pèndols ( Newton ), fins a equilibris de torsió ( Loránd Eötvös ). Actualment, la precisió assolida pels experiments és de l'ordre d'una part en 10 12 , precisió obtinguda a partir de la mesura de la distància lunar mitjançant làser . Els llançaments de diversos satèl·lits artificials com STEP ( Satellite Test of the Equivalence Principle ), MICROSCOPE ( Micro-Satellite à traînée Compensée pour l'Observation du Principe d'Equivalence ) i Galileo Galilei , que haurien de provar l'equivalència a menys d'una part en 10 18 . [16]

Apollo 15, experiment de martell de plomes ( fitxer d'informació )
L' astronauta de l' Apollo 15 , David Randolph Scott, deixa caure una ploma i un martell a la Lluna , demostrant la UFF (universalitat de caiguda lliure)

Pèndol

Un pèndol està format per un llarg fil de llum (de massa insignificant), lligat al sostre, a l’extrem inferior del qual s’uneix un cos, per exemple una esfera metàl·lica. Una mesura de període proporciona una mesura de la relació entre la massa gravitatòria i la massa inercial del cos: repetint la mesura amb cossos de diversos materials, densitats i mides, és possible comprovar si aquesta relació es manté constant o no. Com més precisa sigui la mesura, menor serà l’angle d’oscil·lació màxim θ màx . [17]

L'equació de moviment del pèndol ve donada per:

Si θ és prou petit, s'aproxima al pit :

on ω és la pulsació del pèndol. El període d'oscil·lació ve donat per:

a partir del qual:

Experimentalment, s’observa que T és constant per a cada massa utilitzada, per tant, per a cada cos la relació m i / m g ha de ser constant.

Equilibri de torsió

Icona de la lupa mgx2.svg El mateix tema en detall: experiència d'Eötvös .

Loránd Eötvös va dur a terme un experiment molt més precís a partir de 1895 [18] [19] explotant el balanç de torsió la invenció del qual es va acreditar aCharles-Augustin de Coulomb el 1777 (tot i que John Michell també el va construir independentment en el període anterior a 1783) i que posteriorment va ser perfeccionat per Henry Cavendish . Una balança de torsió està formada per un braç amb dues masses iguals als extrems, lligat al sostre per un fil d'un material adequat (per exemple, quars). En aplicar una força a les masses, s’aplica un moment de gir al manillar: gràcies al fet que la força de pes que actua sobre les masses també té un component a causa de la força centrífuga causada per la rotació de la terra sobre el seu eix, és possible correlacionar la massa inercial i gravitatòria, que resulten experimentalment de proporcionalitat directa.

Ambdós manillar es dirigien inicialment cap a la direcció est-oest. Donem un sistema de referència amb l’eix x de sud a nord, l’eix y d’oest a est i l’eix z de baix a dalt; α és la latitud en què té lloc l'experiment. En projectar les forces gravitatòries i centrífugues sobre l’eix z, tenim un equilibri:

que també es pot escriure com:

Si la relació entre les masses gravitatòries i les masses inercials fos diferent, això implicaria la diversitat de les masses inercials dels dos cossos: però això provocaria una rotació al pla xy , a causa del component horitzontal de la força centrífuga. Els moments de les forces, projectats sobre l'eix horitzontal donen:

Si no es verificés aquesta relació, hi hauria un moment de gir que actuaria sobre l’equilibri i, en conseqüència, una rotació de l’aparell experimental; invertint les masses, obviament s’obtindria una rotació en sentit contrari. Eötvös no va notar cap torsió del fil dins dels errors experimentals i, per tant, va establir l’equivalència de les masses gravitatòria i inercial a menys d’un factor de l’ordre de 10 −9 (una part en mil milions) [20].

Llei de conservació de la massa

Icona de la lupa mgx2.svg El mateix tema en detall: Llei de conservació de la massa (física) .

En la mecànica clàssica està vigent la llei fonamental de la conservació de la massa , en diverses formulacions. En general, donat un volum de control fix V , la variació de la massa que conté és igual al flux de sortida de la massa a través del límit , és a dir, a través de la superfície tancada que delimita el volum V , canviat de signe: en termes senzills, la variació de massa d’un sistema és igual a la massa entrant menys la massa sortint; això implica, per exemple, que la massa no es pot crear ni destruir, sinó que només es pot moure d'un lloc a un altre. En química, Antoine Lavoisier va establir al segle XVIII que en una reacció química la massa dels reactius és igual a la massa dels productes.

Il principio di conservazione della massa vale con ottima approssimazione nell'esperienza quotidiana, ma cessa di valere nelle reazioni nucleari e, in generale, nei fenomeni che coinvolgono energie relativistiche: in questo caso esso viene incorporato nel principio di conservazione dell'energia (vedi oltre ).

Massa elettromagnetica

Oggetti carichi possiedono una inerzia maggiore rispetto agli stessi corpi scarichi. Ciò si spiega con una interazione delle cariche elettriche in moto con il campo da esse stesse generato, detta reazione di campo ; l'effetto è interpretabile come un aumento della massa inerziale del corpo ed è ricavabile dalle equazioni di Maxwell . L'interazione delle cariche elettriche con il campo dipende dalla geometria del sistema: l'inerzia di un corpo carico assume un carattere tensoriale , in contraddizione con la meccanica classica, e bisogna perciò distinguere tra una componente parallela al moto e due componenti trasversali. Si dimostra che si può dividere la massa inerziale di un corpo carico in due componenti, la massa elettromagnetica e la massa non-elettromagnetica. Mentre la massa elettromagnetica dipende dalla geometria del sistema, la massa non-elettromagnetica ha le stesse caratteristiche "standard" di invarianza della massa inerziale, ea essa si riconduce la massa inerziale se il corpo è scarico.

Il concetto di massa elettromagnetica esiste anche nella teoria della relatività ristretta e nella teoria quantistica dei campi . [21] La massa elettromagnetica ebbe una grande importanza nella storia della fisica a cavallo tra i secoli XIX e XX a causa del tentativo, portato avanti principalmente da Max Abraham e Wilhelm Wien , inizialmente supportato dai lavori sperimentali di Walter Kaufmann , di ricavare la massa inerziale unicamente dall'inerzia elettromagnetica; questa interpretazione dell'inerzia fu però in seguito abbandonata con l'accettazione della teoria della relatività ; esperimenti più precisi, eseguiti per la prima volta da AH Bucherer nel 1908, mostrarono che le relazioni corrette per la massa longitudinale e la massa trasversa non erano quelle fornite da Abraham, ma quelle di Hendrik Antoon Lorentz ( vedi il paragrafo successivo ).

Relatività ristretta

Massa a riposo, relativistica, longitudinale e trasversa

Magnifying glass icon mgx2.svg Lo stesso argomento in dettaglio: Massa a riposo e Massa relativistica .

Nella relatività ristretta , il termine massa a riposo (o massa propria ) si riferisce solitamente alla massa inerziale di un corpo così come viene misurata nel sistema di riferimento nel quale è in quiete. In questo caso la massa è una proprietà intrinseca di un corpo e l'unità di misura è la stessa, il kilogrammo. Si può ancora determinare la massa di un oggetto come rapporto tra forza e accelerazione, a patto che si faccia in modo che la velocità del corpo sia molto più piccola di quella della luce. Infatti, ad alte velocità, il rapporto tra la forza impressa F e l'accelerazione a del corpo dipende in maniera sostanziale dalla sua velocità nel sistema di riferimento scelto, o meglio dal fattore di Lorentz relativo alla velocità alla quale si trova il corpo: in particolare se la velocità tende a all'infinito, il rapporto diverge.

Il legame tra forza F e accelerazione a per un corpo con massa a riposo non nulla , con velocità v lungo l'asse x in un sistema di riferimento inerziale ( del laboratorio ), si ricava esprimendo le componenti spaziali della quadriaccelerazione A e della quadriforza K nel sistema di riferimento del laboratorio:

Sostituendo , con semplici passaggi si ottengono le seguenti relazioni, dovute a Lorentz :

Se la velocità del corpo è molto minore della velocità della luce c , i fattori di Lorentz γ tendono a 1, perciò la massa a riposo del corpo è proprio equivalente alla massa inerziale.

Storicamente, nell'ambito della relatività ristretta si hanno altre definizioni di massa oltre a quella di massa a riposo . Definendo massa il rapporto tra quantità di moto relativistica e la velocità otteniamo quella che viene indicata con massa relativistica . Utilizzando la massa relativistica , il sistema di equazioni precedente diventa:

Se invece cerchiamo di identificare la massa come rapporto tra forza e accelerazione dobbiamo distinguere tra massa longitudinale e massa trasversa , introdotte dal fisico tedesco Max Abraham . [22] Notiamo che questa distinzione tra le componenti della massa è analoga al caso della massa elettromagnetica. Utilizzando le masse longitudinale e trasversa, i sistemi di equazioni precedenti diventano:

Sia le masse relativistica/propria sia le masse longitudinale/trasversa non sono considerate buone definizioni di massa in quanto dipendono dal sistema di riferimento nel quale la massa è misurata, e sono oggi in disuso. Sono state sostituite dal concetto di massa invariante , descritto nella Sezione successiva.

Corrispondenza massa-energia

Magnifying glass icon mgx2.svg Lo stesso argomento in dettaglio: Principio di conservazione .
Massa invariante
Energia totale
Energia a riposo

La massa relativistica non è più usata nel linguaggio relativistico odierno, in quanto potenziale espressione dell'errore concettuale per cui la massa, piuttosto che la sola inerzia , [23] vari con la velocità. Per questa ragione oggi si indica con m la massa invariante a ogni velocità v < c (che coincide numericamente con la massa a riposo ) in un dato sistema di riferimento inerziale K ed in qualsiasi altro sistema di riferimento inerziale K' in moto a velocità costante v' rispetto a K . Conseguentemente si scrive per un oggetto in moto o se in quiete rispetto a un dato sistema di riferimento. [24] [25]

Diagramma della reazione nucleare di fusione tra un atomo di deuterio e uno di trizio : i prodotti sono un atomo di elio e un neutrone ad alta energia

L' energia E è definita in relatività ristretta come il prodotto tra la velocità della luce c e la componente temporale P 0 del quadrimpulso (o quadrivettore quantità di moto ). In formule:

dove γ è il fattore di Lorentz relativo alla velocità del corpo. Se misuriamo l'energia di un corpo fermo, chiamata energia a riposo E 0 , otteniamo:

Questa equazione stabilisce una corrispondenza tra massa a riposo di un corpo ed energia: in altri termini, ogni corpo con massa a riposo diversa da zero possiede una energia a risposo E 0 dovuta unicamente al fatto di avere massa.

Questa equazione permette inoltre di incorporare il principio di conservazione della massa nelprincipio di conservazione dell'energia : per esempio l'energia del Sole è dovuta a reazioni termonucleari nelle quali la massa a riposo degli atomi che intervengono nella reazione è maggiore della massa dei prodotti, ma si conserva l'energia totale in quanto il difetto di massa viene convertito in energia (cinetica) e liberato successivamente dai prodotti sotto forma di fotoni e neutrini oppure negli urti con altri atomi.

L'equazione implica di fatto che la massa inerziale totale di un sistema isolato, in generale, non si conserva. [26] La conservazione della massa in meccanica classica può essere interpretata come parte della conservazione dell'energia quando non si verificano reazioni nucleari o subnucleari, che implicano variazioni significative della somma delle masse a riposo del sistema; al contrario, data la piccolezza del difetto di massa nei legami chimici, la massa è praticamente conservata nelle reazioni chimiche.

L'equazione energia-quantità di moto

Nella meccanica relativistica abbiamo una relazione notevole che lega massa a riposo di un corpo, la sua energia e la sua quantità di moto . Dalla definizione di energia abbiamo:

dove γ è il fattore di Lorentz . Le componenti spaziali P α del quadrimpulso sono invece:

D'altra parte il vettore è uno scalare m per una quadrivelocità : la norma quadra di un tale quadrivettore vale sempre -m²c² [27] , perciò, chiamando p la norma euclidea del vettore tridimensionale quantità di moto (cioè l'intensità dell'usuale quantità di moto moltiplicata per il fattore γ):

Sostituendo nell'ultima equazione quelle precedenti, otteniamo l'equazione cercata:

Da questa equazione si nota come anche particelle con massa nulla possano avere energia/quantità di moto diverse da zero. Nella meccanica classica invece una forza piccola a piacere produrrebbe un'accelerazione infinita su una ipotetica particella di massa nulla ma la sua energia cinetica e quantità di moto resterebbero pari a zero. Invece all'interno della relatività ristretta quando m = 0 , la relazione si semplifica in:

.

Per esempio, per un fotone si ha , dove ν è la frequenza del fotone: la quantità di moto del fotone è quindi pari a:

.

Relatività generale

Magnifying glass icon mgx2.svg Lo stesso argomento in dettaglio: Principio di equivalenza .

La meccanica classica si limita a prendere atto della proporzionalità tra massa inerziale e massa gravitazionale come fenomeno empirico ma tenendo queste due grandezze ben distinte e separate. Solo con la teoria della relatività generale si ha una unificazione dei due concetti, risultato che, secondo Albert Einstein , dà «alla teoria generale della relatività una tale superiorità rispetto alla meccanica classica che tutte le difficoltà che si incontrano nel suo sviluppo vanno considerate ben poca cosa» [28] .

Uno dei principi sui quali si basa la relatività generale è il principio di equivalenza. Nella sua versione forte , esso afferma che in un campo gravitazionale è sempre possibile scegliere un sistema di riferimento che sia localmente inerziale, cioè che in un intorno sufficientemente piccolo del punto le leggi del moto assumono la stessa forma che avrebbero in assenza di gravità. È facile verificare che questo principio implica il principio di equivalenza debole, che sancisce proprio l'equivalenza tra massa inerziale e gravitazionale: infatti si supponga di avere due corpi sottoposti unicamente alla forza di gravità (e che siano abbastanza vicini da poter trascurare eventuali variazioni del campo gravitazionale).

Esperimento dell'ascensore di Einstein: una palla cade sul pavimento in un razzo accelerato (a sinistra) e sulla Terra (a destra)

Se la massa inerziale e quella gravitazionale dei due corpi fossero diverse, esse subirebbero accelerazioni diverse, ma allora sarebbe impossibile trovare un sistema di riferimento nel quale viaggino entrambe di moto rettilineo uniforme, cioè in condizione di assenza di forze.

Un celebre esperimento mentale che si basa sull'equivalenza tra la massa inerziale e quella gravitazionale è quello dell'ascensore di Einstein. In una delle versioni di questo esperimento, una persona si trova all'interno di una cabina chiusa, senza la possibilità di osservare l'esterno; lasciando cadere una palla, osserva che cade con una accelerazione g = 9,81 m / s ². Schematizzando, ciò può essere dovuto a due motivi:

  1. La cabina si trova nello spazio a bordo di un razzo che la accelera con un'accelerazione pari proprio a g . In questo caso l'accelerazione della palla vista dall'osservatore è una accelerazione di trascinamento, dovuta al fatto che la cabina non è un sistema di riferimento inerziale .
  2. La cabina è immobile sulla superficie terrestre. La palla cade evidentemente a causa della forza di gravità terrestre.

Einstein diede molta importanza al fatto che l'osservatore non possa decidere, dal suo punto di vista, quale delle due situazioni si verifichi realmente: ciò determina una sostanziale equivalenza tra i sistemi di riferimento accelerati e quelli sottoposti alla forza di gravità. Questo esperimento mentale è una delle linee-guida che hanno portato Albert Einstein alla formulazione della teoria della relatività generale, tramite una rivisitazione del principio d'inerzia : infatti i corpi liberi non percorrono sempre delle rette, ma delle geodetiche nello spaziotempo , curvato dalla presenza di masse. Si noti che in uno spazio-tempo piatto, cioè nel quale vige la metrica di Minkowski , in assenza di forze gravitazionali, le geodetiche sono proprio rette e ci si riconduce quindi al principio d'inerzia newtoniano.

Meccanica quantistica relativistica

Magnifying glass icon mgx2.svg Lo stesso argomento in dettaglio: Teoria quantistica dei campi e Rinormalizzazione .
Questo diagramma di Feynman , chiamato di auto-energia dell'elettrone , rappresenta un elettrone (linea continua) che, entrando da un lato, emette e assorbe un fotone virtuale (linea ondulata). Il calcolo di questo diagramma porta a un risultato infinito e deve pertanto essere trattato con la teoria della rinormalizzazione; una volta regolarizzato e rinormalizzato, il suo effetto è modificare il valore della massa dell'elettrone

Sul finire degli anni trenta si è capito che l'unione della meccanica quantistica con la relatività ristretta doveva portare allo sviluppo di teorie fisiche delle interazioni elementari in termini di campi quantizzati. In questa rappresentazione le particelle elementari sono descritte come eccitazioni quantizzate dello stato di vuoto, che può contenere un numero intero di particelle e/o antiparticelle di ogni tipo, create e distrutte nelle interazioni fra i campi. Il formalismo necessario a questo salto concettuale è contenuto nella procedura della seconda quantizzazione . [29]

In prima quantizzazione , l'evoluzione dei campi relativistici è governata da varie equazioni, analoghe dell' equazione di Schrödinger , la cui forma dipende dai gradi di libertà e dal tipo di particelle che sono descritte. Ad esempio un campo scalare soddisfa l' equazione di Klein-Gordon :

e descrive i bosoni di spin nullo; l' equazione di Dirac :

descrive invece i fermioni di spin 1/2. Le soluzioni di queste equazioni soddisfano esattamente la relazione di dispersione fra energia e momento richiesta dalla relatività ristretta: [30]

.

Nonostante questo, la probabilità per una particella di spin nullo di propagarsi al di fuori del cono luce è non nulla, sebbene esponenzialmente decrescente. [31] Per risolvere questa e altre inconsistenze si rese necessario lo sviluppo dellateoria di campo quantistica . [31]

Nell'ambito delle teorie di campo, e quindi della seconda quantizzazione , la situazione è più complicata a causa del fatto che le particelle fisiche sono descritte in termini di campi e interagiscono tra di loro attraverso lo scambio di particelle virtuali . Per esempio, nell' elettrodinamica quantistica , un elettrone ha una probabilità non nulla di emettere e riassorbire un fotone , oppure un fotone può creare una coppia elettrone- positrone che a loro volta, annichilendosi, formano un fotone identico all'originale. Questi processi sono inosservabili direttamente, ma producono effetti sulla misura delle "costanti" delle teorie fisiche che dipendono dalla scala di energie a cui queste stesse costanti vengono misurate. Ad esempio, in una teoria asintoticamente libera , come la cromodinamica quantistica per le interazioni nucleari forti , la massa dei quark tende a decrescere logaritmicamente con l'aumentare dell'energia. [32] [33] Questa dipendenza dalla scala delle masse e delle costanti di accoppiamento è il principale risultato ottenuto dalla teoria della rinormalizzazione .

Bosone di Higgs

Magnifying glass icon mgx2.svg Lo stesso argomento in dettaglio: Bosone di Higgs .

La predizione teorica del bosone di Higgs nasce dal fatto che alcune particelle mediatrici di forza sono massive e per descriverle consistentemente con le procedure della rinormalizzazione, la relativa teoria deve essere invariante rispetto alle simmetrie interne di gauge . È facile mostrare che le lagrangiane contenenti termini espliciti di massa (come quelli con la m nelle equazioni del moto del paragrafo precedente) rompono la simmetria di gauge. Per ovviare a questo problema si introduce un campo, detto campo di Higgs , accoppiato agli altri campi ( fermioni e campi di gauge ) in modo da fornire, sotto determinate ipotesi, un termine di massa che mantenga la simmetria del sistema sotto trasformazioni interne. Il meccanismo di Higgs è il metodo più semplice [34] di dare massa alle particelle in modo completamente covariante, e il bosone di Higgs è stato a lungo considerato il "tassello mancante" del modello standard . Una particella consistente con il bosone di Higgs è stata infine scoperta nel 2012 dagli esperimenti ATLAS e CMS presso l'acceleratore LHC presso il CERN . A rigor di termini, il meccanismo di Higgs è l'accoppiamento necessario a dare massa ai bosoni vettori W e Z , mentre la massa dei leptoni ( elettroni , muoni , tauoni ) e dei quark , ovverosia dei fermioni, è regolata dalla interazione di Yukawa ; si noti che gli accoppiamenti del bosone di Higgs con i fermioni non sono calcolabili da principi primi, ma sono anch'essi numeri introdotti "ad hoc" nelle equazioni.

Note

  1. ^ Vedi più sotto i paragrafi massa inerziale e massa gravitazionale .
  2. ^ Questa equivalenza costituisce il cuore del principio di equivalenza debole, uno dei principali indizi che spinsero Albert Einstein alla costruzione della teoria della relatività generale .
  3. ^ ( IT ) Sito INFN Archiviato il 2 gennaio 2021 in Internet Archive ., Comunicato INFN sul Bosone di Higgs; ( EN ) LHC Milestones Archiviato il 21 aprile 2008 in Internet Archive ., cronologia della costruzione dell'LHC.
  4. ^ ( EN ) IUPAC Gold Book, "mass" Archiviato il 4 marzo 2014 in Internet Archive .
  5. ^ Può sembrare strano che l'unità di misura di una grandezza fondamentale non abbia un suo simbolo proprio ma utilizzi quello di un suo sottomultiplo, il grammo (g). In realtà, proprio l'importanza della massa ha indotto a conservare nell'uso il simbolo della "vecchia" unità di misura (adottata nel "vecchio" sistema CGS ), anche quando si è passati al "nuovo" sistema SI , in cui si considera unitaria non più la massa di un grammo ma quella di un chilogrammo, 1 000 volte più grande della prima.
  6. ^ Bureau International des Poids et Mesures, SI Brochure , su bipm.org . URL consultato il 2 settembre 2017 ( archiviato il 2 gennaio 2021) .
  7. ^ Più comunemente un milione di elettronvolt, ovvero un MeV
  8. ^ Carlo Dionisi e Egidio Longo, Dispense di fisica nucleare e subnucleare ( PDF ), su roma1.infn.it , p. 5 (archiviato dall' url originale il 2 gennaio 2021) .
  9. ^ Due vettori sono proporzionali se hanno la stessa direzione, cioè sono collineari: nel caso in esame, le due accelerazioni sono sempre dirette lungo la retta passante per i due corpi puntiformi.
  10. ^ Nota bene: non abbiamo ancora dimostrato effettivamente che ha le dimensioni di un'accelerazione: è impossibile farlo senza dimostrare l'equivalenza delle masse inerziale e gravitazionale.
  11. ^ ( EN ) DF Bartlett, Dave Van Buren, Equivalence of active and passive gravitational mass using the moon Archiviato il 2 gennaio 2021 in Internet Archive ., Phys. Rev. Lett. 57, 21 - 24 (1986).
  12. ^ C. Mencuccini e V. Silvestrini C. Mencuccini e V. Silvestrini, III.6, , in Fisica I (Meccanica e Termodinamica) , 3ª ed., ISBN 88-207-1493-0 , Liguori Editore, 1996, pp. Pagine 72-74..
  13. ^ Drake, Stillman (1978). Galileo At Work. Chicago: University of Chicago Press. ISBN 0-226-16226-5
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  16. ^ ( EN ) Patrick Barry, The Equivalence Principle , su science.nasa.gov , 18 maggio 2007. URL consultato il 12 gennaio 2011 ( archiviato il 2 gennaio 2021) .
  17. ^ Se l'ampiezza dell'oscillazione non è piccola, è possibile considerare delle correzioni nella formula del periodo dipendenti da θ max . La formula esatta del periodo, valida per qualunque angolo, è:
    dove è l' integrale ellittico completo di prima specie.
  18. ^ ( DE ) L. v. Eötvös, Mathematische und Naturwissenschaftliche Berichte aus Ungarn , 8, 65, 1890.
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  23. ^ Per inerzia si intende la resistenza di un corpo a mutare la propria accelerazione a per effetto di una forza esterna F . Con l'introduzione del concetto di massa invariante , la massa m non dipende più dalla velocità del corpo, come accadeva per la massa relativistica . Invece l'inerzia, definita ora come , risulta essere una funzione della velocità v tramite il fattore di Lorentz .
  24. ^ ( EN ) Lev B. Okun, The concept of mass ( PDF ), in Physics Today , vol. 42, 1989, pp. 31-36. URL consultato il 14 maggio 2020 ( archiviato il 2 gennaio 2021) .
  25. ^ Elio Fabri, Dialogo sulla massa relativistica ( PDF ), in La Fisica nella Scuola , vol. 14, n. 25, 1981. URL consultato il 14 maggio 2020 ( archiviato il 2 gennaio 2021) .
  26. ^ Si conserva, invece, la massa relativistica. Se E è una costante, allora lo è anche m rel = E / c². Questo è uno dei motivi per cui alcuni scienziati preferiscono usare il concetto di massa relativistica. Si veda per esempio questo articolo in inglese di Q. ter Spill.
  27. ^ Qui si usa la convenzione sui segni della metrica (-,+,+,+).
  28. ^ Albert Einstein Albert Einstein, Il significato della Relatività , 3ª ed., ISBN 88-8183-585-1 , Newton & Compton Editori, 2005, pp. Pagina 63..
  29. ^ ( EN ) Steven Weinberg , What is Quantum Field Theory, and What Did We Think It Is? ( abstract ), in ArXiv , febbraio 1997. URL consultato il 21 marzo 2012 ( archiviato il 2 gennaio 2021) .
  30. ^ ( EN ) WN Cottingham, DA Greenwood, An Introduction to the Standard Model of Particle Physics , 2ª ed., Cambridge University Press, 2007, p. 58 , ISBN 978-0-521-85249-4 .
  31. ^ a b ( EN ) Claude Itzykson, Jean Bernard Zuber, Quantum Field Theory , Dover Publications, 2006.
  32. ^ ( EN ) DJ Gross, F. Wilczek, Ultraviolet Behavior of Non-Abelian Gauge Theories ( PDF ) ( abstract ), in Phys. Rev. Lett. , vol. 30, 1973, pp. 1343-1346. URL consultato il 21 marzo 2012 (archiviato dall' url originale il 19 giugno 2010) .
  33. ^ ( EN ) H. David Politzer, Reliable Perturbative Results for Strong Interactions? ( PDF ) ( abstract ), in Phys. Rev. Lett. , vol. 30, 1973, pp. 1346-1349. URL consultato il 21 marzo 2012 (archiviato dall' url originale il 19 giugno 2010) .
  34. ^ Ma non l'unico: esistono tutta una serie di teorie con un numero maggiore di campi di Higgs, oppure modelli "Higgsless", nel quale la massa delle particelle non è causata dall'interazione con un campo di Higgs.

Bibliografia

  • Max Jammer, Storia del concetto di massa nella fisica classica e moderna , Milano, Feltrinelli, 1974.
  • ( EN ) Max Jammer, Concept of Mass in Contemporary Physics and Philosophy , Princeton University Press, 1999, ISBN 0-691-01017-X .
  • ( EN ) Drake, Stillman, Galileo At Work , Chicago, University of Chicago Press, 1978, ISBN 0-226-16226-5 .
  • ( EN ) CM Will, Theory and experiment in gravitational physics , Cambridge, Cambridge University Press, 1993.

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