Notació posicional
Aquesta entrada o secció sobre matemàtiques no cita les fonts necessàries o els presents són insuficients . |
La notació posicional és un mètode per escriure nombres , en què cada posició està lligada a la seva posició veïna per un multiplicador, anomenat base del sistema de numeració . Cada posició es pot representar mitjançant un símbol o una quantitat limitada de símbols. El valor d’un dígit és igual al mateix dígit multiplicat per la base elevada a la posició de dígit anterior. El nombre de símbols necessaris és almenys igual a la base o a la base auxiliar més gran utilitzada. El sistema decimal habitual utilitza deu símbols, més símbols per als números marcats i les comes, mentre que el sistema sexagesimal babiloni utilitza un sistema auxiliar per a cada posició.
Sistemes de notació
Diverses notacions posicionals, algunes de les quals són híbrides (posicionals i additives), permeten representar nombres. Aquí hi ha diverses maneres d’escriure el número 9.018 en alguns d’aquests sistemes.
Notacions híbrides
Les notacions híbrides utilitzen símbols que representen les potències de la base, com en els números xinesos i japonesos . Per tant, 十 = , 百 = 10 2 , 千 = 10 3 , 万 = 10 4 al sistema japonès. Aquests números utilitzen, pel que fa a les potències de la base, símbols que representen els subpoders de la mateixa base. Per tant, 割 = 10 −1 , 分 = 10 −2 , 厘 = 10 −3 , 毛 = 10 −4 al sistema japonès.
- Exemple
9.018 s’escriu 九千 十八 amb el sistema utilitzat per a la numeració japonesa (decimal), és a dir, 9 × 1.000 + [1 ×] 10 + 8.
Notacions posicionals i additives
Per a la numeració babilònica, de caràcter sexagesimal, els nombres es van formar addicionalment fins a 60, combinant-se els valors així obtinguts segons el principi posicional.
- Exemple
S’escriu el 9.018 
és a dir, els dígits 2,30,18 (la coma separa els dígits) que en el sistema sexagesimal babilònic significa 2 × 60 2 + 30 × 60 1 + 18 × 60 0 = 9 018 .
Notacions exclusivament posicionals
- Amb figures formades per la correcta posició dels elements
S’escriu el 9.018
 |
 |
 |
 |
amb el sistema utilitzat per a la numeració maia (vigesimal, però irregular), és a dir, 1 [× 7,200] + 5 [× 360] + 0 [× 20] + 18, o 1,05,00,18 amb la coma com a separador d'ubicacions.
- Amb base auxiliar
9.018 s’escriu 2,30,38 amb el sistema (sexagesimal) utilitzat per a la traducció de textos mesopotàmics, és a dir, 2 [× 3,600] + 30 [× 60] + 38.
- Sense base auxiliar, sense zero
9.018 s’escriu 8X18 al sistema de posició experimental sense zero (decimal), és a dir, 8 [× 1.000] + 10 [× 100] + 1 [× 10] + 8, o bé 8,10,1,8, amb la coma com un separador d'ubicacions.
- Sense base auxiliar, amb zero
9.018 s’escriu ๙๐๑๘ amb el sistema utilitzat per a la numeració tailandesa (decimal), és a dir, 9 [× 1.000] + 0 [× 100] + 1 [× 10] + 8, o 9.018, de la mateixa manera que els nostres números àrab-indis .
Símbols posicionals
De la mateixa manera que en el nostre sistema, en els sistemes de numeració babilònic , maia i tailandès , no s’utilitza cap símbol per separar cada posició. No obstant això, en absència de zero posicional, en el sistema babilònic, 
podria significar, per exemple, fins a un seixanta. No obstant això, en altres scripts, aquests marcadors de posició resulten ser sistemàtics, com la coma utilitzada per a la traducció de textos mesopotàmics.
Només els enters tenien representació en el sistema de numeració maia . En la numeració babilònica , contràriament a la puntuació que situem entre el dígit de les unitats i el de les dècimes, cap marcador de posició no separava la part sencera de la part fraccionària del nombre. Com això, en el sistema babilònic, per exemple, no només podria significar un seixanta, sinó també un seixantè. Pel que fa a la numeració tailandesa , utilitza, com al nostre sistema, un marcador de posició per separar les potències de mil.
Història
Antiguitat
La creació de sistemes aritmètics de posició, en particular el sistema decimal , va ser iniciada pels xinesos en la seva numeració al segle II aC, i després es va completar cap a l'any 500 de l'era cristiana a l' Índia .
A l’antiguitat, s’utilitzaven exclusivament nombrosos sistemes no posicionals, l’exemple més conegut del qual és la numeració romana , on, per exemple, el número trenta-vuit s’escriu amb l’ajut de no menys de set dígits (XXXVIII), mentre que el número cinquanta, només queda satisfet amb un (L). És evident que, en aquest sistema de notació, una operació senzilla com una multiplicació resulta pràcticament impossible de dur a terme sense eines de càlcul ( àbac , tauletes de càlcul operades per token o altres).
Edat mitjana
És gràcies a la intermediació d' Al-Khuwarizmi (del nom del qual deriva la paraula algorisme ) que els europeus van prendre consciència de l'existència de la numeració posicional índia . Cap a l' any mil , després d'haver passat més de cinc segles interessats en l'existència d'aquest nou sistema, el van rebutjar durant gairebé cinc segles més. I, tanmateix, un clergue obert com el francès Gerbert d'Aurillac , el futur papa de Roma Silvestre II , que va descriure per primera vegada el sistema utilitzat pels àrabs d' Espanya , no va dir res en aquest sentit. Va descriure el nou sistema amb interès i benevolència.
Per tant, l’ Europa medieval va continuar fent petites comptabilitats amb àbac i fitxes, escrivint els resultats en textos llatins i, per descomptat, utilitzant números romans no posicionals. Es pot dir que el sistema aritmètic posicional, així com els anomenats números àrabs , no es va utilitzar a l’Europa medieval, excepte per usuaris aïllats i sospitosos als ulls d’altres persones, com el matemàtic italià Leonardo Fibonacci i posteriors, de per descomptat, el matemàtic francès Nicolas Chuquet .
Només al Renaixement , amb el despertar de les ciències, Europa va entendre finalment que ja no podia obstruir aquest nou sistema, mil anys (!) Després de la seva invenció a l’Índia. Al final, tot el món occidental admet que això és molt més senzill que això. La lluita entre els abachistes i els algoritmes, que havia durat gairebé tres segles, va portar finalment a la victòria al camp d’aquests últims.
La notació posicional va fer possible una representació senzilla de tots els nombres . Va ser un dels majors descobriments de la història de les matemàtiques . Va permetre el desenvolupament de les matemàtiques aritmètiques i modernes.
Curiositat
- El sistema mesopotàmic basat en 60 ha sobreviscut en la nostra manera de dividir hores i graus, tant en minuts com en segons . En determinades circumstàncies, s’utilitza un còlon com a separador de posicions sexagesimals. Així, 13 h 20 min 15 s també s’escriu a les 13:20:15.