Ortocentre

Orthocentre ( H )

Codi ETC	4
Conjugat isogonal	circumcentre
Conjugat cicllocevià	centre de gravetat
Complementària	circumcentre
Anticomplementari	punt de Longchamps
Coordenades baricèntriques
λ ₁	tan A
λ ₂	tan B
λ ₃	tan C
Coordenades trilineals
x	cos B cos C
y	cos C cos A
z	cos A cos B
Manual

En geometria , l' ortocentre (símbol H , a ETC X ₄ ) és el punt de trobada de les altures d'un triangle .

Fig.1 - Prova que l' ortocentre H del triangle ABC coincideix amb el circumcentre del triangle A'B'C '.

Per demostrar que les tres altures del triangle es tallen en un punt determinat H, donat el triangle ABC de la figura 1, es dibuixen els paral·lels als costats oposats de cada vèrtex, creant així un triangle més gran A'B'C '.
Dins del nou triangle podem reconèixer els tres paral·lelograms ABA'C - BCB'A - CAC'B.
Tenint en compte que en cada paral·lelogram els costats oposats tenen la mateixa longitud, veiem que els costats del nou triangle són el doble de la longitud dels costats del triangle original i estan dividits per la meitat pels vèrtexs del mateix.
Aleshores veiem que les altures del triangle original corresponen als eixos (línies perpendiculars al punt mig) dels costats del nou triangle. Com que els tres eixos dels costats del nou triangle s’han de tallar en un punt que és el centre del cercle circumscrit (vegeu circumcentre ), això també s’ha d’aplicar a les altures del triangle inicial.
Per tant, el punt de trobada de les altures H (ortocentre) és únic, com hem volgut demostrar.

Propietats notables

El seu conjugat isogonal és el circumcentre i, juntament amb ell, es troba a la línia d’Euler , i són alhora interns al perímetre poligonal si el triangle és agut , al perímetre si és rectangle (exactament al vèrtex en angle recte ), extern si el triangle és obtús .
En els triangles aguts és el punt que minimitza simultàniament tant la distància global dels vèrtexs com dels costats del triangle, ja que les altures expressen la distància mínima d’un vèrtex del costat.
És l’únic punt on coincideixen el triangle de Cèvi i el triangle del pedal , i es troben al triangle de l’ortiga .
El seu cercle cevià correspon al cercle de Feuerbach .

L’ortocentre d’un triangle rectangle coincideix amb el vèrtex de l’angle recte. Per contra, un triangle l’ortocentre del qual coincideix amb un vèrtex (o pertany al seu perímetre) és un rectangle. De nou l’ortocentre del triangle $\Delta (XYZ)$ ${\ displaystyle \ Delta (XYZ)}$ ${\ displaystyle \ Delta (XYZ)}$ coincideix amb el centre del triangle format pels peus de les altures del triangle $\Delta (XYZ)$ ${\ displaystyle \ Delta (XYZ)}$ ${\ displaystyle \ Delta (XYZ)}$ .

Per als triangles aguts, es manté la relació següent:

${\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}={\frac {HX}{\cos \alpha }}={\frac {HY}{\cos \beta }}={\frac {HZ}{\cos \gamma }}=2R$ ${\ displaystyle {\ frac {a} {\ sin \ alpha}} = {\ frac {b} {\ sin \ beta}} = {\ frac {c} {\ sin \ gamma}} = {\ frac {HX } {\ cos \ alpha}} = {\ frac {HY} {\ cos \ beta}} = {\ frac {HZ} {\ cos \ gamma}} = 2R}$ ${\ frac {a} {\ sin \ alpha}} = {\ frac {b} {\ sin \ beta}} = {\ frac {c} {\ sin \ gamma}} = {\ frac {HX} {\ cos \ alpha}} = {\ frac {HY} {\ cos \ beta}} = {\ frac {HZ} {\ cos \ gamma}} = 2R$

mentre que per als triangles obtusos (es requereix el valor absolut ja que a priori no se sap quin angle és obtús) s'aplica el següent:

${\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}={\frac {HX}{\left\vert \cos \alpha \right\vert }}={\frac {HY}{\left\vert \cos \beta \right\vert }}={\frac {HZ}{\left\vert \cos \gamma \right\vert }}=2R$ ${\ displaystyle {\ frac {a} {\ sin \ alpha}} = {\ frac {b} {\ sin \ beta}} = {\ frac {c} {\ sin \ gamma}} = {\ frac {HX } {\ left \ vert \ cos \ alpha \ right \ vert}} = {\ frac {HY} {\ left \ vert \ cos \ beta \ right \ vert}} = {\ frac {HZ} {\ left \ vert \ cos \ gamma \ right \ vert}} = 2R}$ ${\ displaystyle {\ frac {a} {\ sin \ alpha}} = {\ frac {b} {\ sin \ beta}} = {\ frac {c} {\ sin \ gamma}} = {\ frac {HX } {\ left \ vert \ cos \ alpha \ right \ vert}} = {\ frac {HY} {\ left \ vert \ cos \ beta \ right \ vert}} = {\ frac {HZ} {\ left \ vert \ cos \ gamma \ right \ vert}} = 2R}$

on és $\alpha ,\beta ,\gamma$ ${\ displaystyle \ alpha, \ beta, \ gamma}$ $\ alpha, \ beta, \ gamma$ són els angles corresponents als vèrtexs $X, Y, Z$ ${\ displaystyle X, Y, Z}$ ${\ displaystyle X, Y, Z}$ respectivament mentre $a, b, c$ ${\ displaystyle a, b, c}$ $a, b, c$ són les longituds dels costats oposats als vèrtexs $X, Y, Z$ ${\ displaystyle X, Y, Z}$ ${\ displaystyle X, Y, Z}$ respectivament, i $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ el radi de la circumferència circumscrita .

L'ortocentre d'un triangle és extern al triangle si i només si es tracta d'un triangle obtús .

Relació amb el circumcentre

Ortocentre i circumcentre són conjugats isogonals i en la geometria del triangle tenen diferents característiques que els uneixen:

En vermell l'ortocentre i els peus de les altures, en porpra els punts mitjans de les altures, en verd els punts mitjans dels costats, en blau el centre dels nou punts i en negre el circumcentre

Les imatges de l'ortocentre respecte als peus de les altures dels costats i als punts mitjans dels costats, es troben totes sobre la circumferència del triangle que té el centre com a centre ; però si ens fixem profundament en aquesta propietat, és possible notar que els punts mitjans de tals i de les altures, en realitat, són diferents dels punts on el cercle de Feuerbach , o en aquest cas millor dit dels nou punts , talla el triangle i que fins i tot en els punts d'intersecció amb les altures ^[1] sembla, després d'una inspecció més propera, que sempre és la imatge de l'ortocentre respecte a aquests punts la que es troba a la circumferència circumscrita , de fet és possible demostrar que el cercle de Feuerbach i el conjunt dels punts mitjans de les distàncies entre la circumferència i l'ortocentre, per al qual cadascuna de les seves imatges respecte a qualsevol punt de la seva circumferència es projecta directament sobre la circumferència circumscrita.
De l’anterior també es pot veure com el circumcentre, el centre dels nou punts i l’ortocentre es troben sempre i en aquesta seqüència en la mateixa línia, i distribuïts sobre ell equidistantment.

Les tres imatges del circumcentre, respecte als punts mitjans dels costats, són els centres dels tres cercles de Johnson que per a dos dels vèrtexs del triangle i per al teorema homònim , es tallen entre si a l’ortocentre, amb un radi igual a la del circumcercle: el circumradius . A més, en unir els tres punts és possible obtenir un triangle A'B'C ' congruent amb el triangle de referència (que té el centre de rotació al centre dels nou punts ) respecte al qual els dos punts han tombat rols, és a dir, el circumcentre és l'ortocentre del triangle A'B'C 'i viceversa.

En geometria descriptiva

En referència a l’ espai , l’ortocentre d’un triangle obtingut com a secció recta d’un tetraedre K , és el peu de l’ ortogonal al pla alfa d’aquesta secció, conduït pel vèrtex V de K. És a dir: la projecció ortogonal de V sobre alfa .

Nota

^ El cercle de Feuerbach es va anomenar inicialment els nou punts, ja que creuava els punts mitjans dels costats, els peus de les altures i els punts mitjans a l'alçada de la distància entre l'ortocentre i els vèrtexs del triangle,

Altres projectes

El Viccionari conté el diccionari lema « ortocentro ».

Enllaços externs

( EN ) Eric W. Weisstein, Ortocentro , a MathWorld , Wolfram Research.
( EN ) Clark Kimberling, X ₄ , a Encyclopedia of Triangle Centers , Universitat d’Evansville, 22 d’octubre de 2013.

Portal de matemàtiques : accediu a les entrades de Wikipedia relacionades amb les matemàtiques

[1] El cercle de Feuerbach es va anomenar inicialment els nou punts, ja que creuava els punts mitjans dels costats, els peus de les altures i els punts mitjans a l'alçada de la distància entre l'ortocentre i els vèrtexs del triangle,

[1]