Paral·lelepipèdic

Paral·lelepipèdic

Paio	Prisma
Forma de cares	Paral·lelogrames
Nº de cares	6
Nombre d'arestes	12
Nombre de vèrtexs	8
Valences a la part superior	3
Manual

En geometria sòlida , el paral·lelepipèdic (etimològicament: a plans, en grec epipedòn , paral·lels) és un poliedre les cares del qual són 6 paral·lelograms . L’amplitud dels angles formats per les seves cares pot variar; quan els angles són rectes (formant un rectangle per a cada cara) parlem d’un paral·lelepíped rectangular .

Definició

Un paral·lelepíped es pot definir alternativament d'una de les maneres següents:

un prisma la base del qual és un paral·lelogram ;
un hexàedre les cares del qual són tots paral·lelograms ;
un hexàedre amb tres parells de cares paral·leles .

En geometria analítica , mitjançant vectors , és possible definir el quadre com el conjunt

\{l\mathbf {a} +m\mathbf {b} +n\mathbf {c} \ |\ 0\leq l,m,n\leq 1\}

{\ displaystyle \ {l \ mathbf {a} + m \ mathbf {b} + n \ mathbf {c} \ | \ 0 \ leq l, m, n \ leq 1 \}}

{\ displaystyle \ {l \ mathbf {a} + m \ mathbf {b} + n \ mathbf {c} \ | \ 0 \ leq l, m, n \ leq 1 \}}

determinat per tres vectors $\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c}$ ${\ displaystyle \ mathbf {a}, \ mathbf {b}, \ mathbf {c}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {a}, \ mathbf {b}, \ mathbf {c}}$ linealment independent en un espai euclidià tridimensional, denotat per $\mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ $\ R ^ 3$ . Aquests vectors coincideixen amb tres vores del paral·lelepíped.

Tres transportistes

\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c}

{\ displaystyle \ mathbf {a}, \ mathbf {b}, \ mathbf {c}}

{\ displaystyle \ mathbf {a}, \ mathbf {b}, \ mathbf {c}}

definiu un paral·lelepíped. El volum ve donat pel determinant d’aquests tres vectors. O pel producte de l'àrea del paral·lelogram base i l'alçada

h

{\ displaystyle h}

h

.

Volum

El volum d’un paral·lelepíped és el producte de l’àrea de qualsevol de les seves 6 cares multiplicades per la distància $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ entre el pla que conté aquesta cara i el pla que conté la cara oposada.

En geometria analítica, si el paral·lelepíped està determinat per tres vectors:

{\begin{aligned}{\vec {a}}&=(a_{1},a_{2},a_{3})\\{\vec {b}}&=(b_{1},b_{2},b_{3})\\{\vec {c}}&=(c_{1},c_{2},c_{3})\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ vec {a}} & = (a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}) \\ {\ vec {b}} & = (b_ {1} , b_ {2}, b_ {3}) \\ {\ vec {c}} & = (c_ {1}, c_ {2}, c_ {3}) \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ vec {a}} & = (a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}) \\ {\ vec {b}} & = (b_ {1} , b_ {2}, b_ {3}) \\ {\ vec {c}} & = (c_ {1}, c_ {2}, c_ {3}) \ end {align}}}

el volum és el triple producte

{\vec {a}}\cdot ({\vec {b}}\times {\vec {c}})

{\ displaystyle {\ vec {a}} \ cdot ({\ vec {b}} \ times {\ vec {c}})}

{\ displaystyle {\ vec {a}} \ cdot ({\ vec {b}} \ times {\ vec {c}})}

o equivalentment, del determinant

\det {\begin{bmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{bmatrix}}.

{\ displaystyle \ det {\ begin {bmatrix} a_ {1} & b_ {1} & c_ {1} \\ a_ {2} & b_ {2} & c_ {2} \\ a_ {3} & b_ { 3} & c_ {3} \ end {bmatrix}}.}

{\ displaystyle \ det {\ begin {bmatrix} a_ {1} & b_ {1} & c_ {1} \\ a_ {2} & b_ {2} & c_ {2} \\ a_ {3} & b_ { 3} & c_ {3} \ end {bmatrix}}.}

En el cas particular d’un paral·lelepíped rectangular, el volum es convertirà, doncs, en el producte aritmètic de les longituds dels tres costats.

Un cuboide

Propietat

El paral·lelepíped és un poliedre en què cada cara és un polígon amb simetria central i, per tant, és un zonoedre . Les cares oposades són paral·lelograms situats en plans paral·lels.

Casos especials

Un paral·lelepípede les cares del qual són paral·lelograms particulars té noms més específics:

un paral·lelepíped de cuboide o rectangle és un paral·lelepípede les cares del qual són totes rectangles ;
un romboedre és un paral·lelepípede les cares del qual són rombes ;
un cub és un paral·lelepíped que té les cares quadrades .

Cadascun d'aquests tipus es pot definir de manera diferent:

un paral·lelepíped rectangular és un paral·lelepíped en què els angles diedres són tots rectes ;
un romboedre és un paral·lelepipèdic les vores del qual tenen la mateixa longitud;
un cub és un paral·lelepíped regular .

Articles relacionats

Cub

Altres projectes

El Viccionari conté el diccionari lema « paral·lelepipèdic ».
Wikimedia Commons conté imatges o altres fitxers en paral·lelepíped

Enllaços externs

( EN ) Paral·lelepipèdic a MathWorld

Portal de matemàtiques : accediu a les entrades de Wikipedia relacionades amb les matemàtiques