Paral·lelisme (geometria)

En geometria euclidiana, dues o més entitats són mútuament paral·leles si tots els punts d’ una tenen la mateixa distància mínima de l’altra o de la seva extensió. A més, cada entitat geomètrica es considera paral·lela a si mateixa. La relació així definida s’anomena paral·lelisme i és una relació d’equivalència .

La relació de paral·lelisme s’observa generalment amb una doble barra vertical o obliqua. Les expressions $a\parallel b$ ${\ displaystyle a \ parallel b}$ ${\ displaystyle a \ parallel b}$ I $a//b$ ${\ displaystyle a // b}$ ${\ displaystyle a // b}$ ells llegeixen " $a$ ${\ displaystyle a}$ $a$ és paral·lel a $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ ".

Paral·lelisme a l' avió

Dues o més línies diferents del mateix pla euclidià són paral·leles si i només si no tenen cap punt en comú, és a dir, si mai no es troben. Dos o més segments són paral·lels si les línies que els contenen són.

Al pla cartesià hi ha dues rectes (diferents o no) d’equacions implícites $ax+by+c=0$ ${\ displaystyle ax + per + c = 0}$ $ax + per + c = 0$ I $a'x+b'y+c'=0$ ${\ displaystyle a'x + b'y + c '= 0}$ ${\ displaystyle a'x + b'y + c '= 0}$ són paral·leles si i només si $ab'=a'b$ ${\ displaystyle ab '= a'b}$ ${\ displaystyle ab '= a'b}$ .

Per tant, són paral·lels si i només si tenen el mateix coeficient angular ( $m=m'$ ${\ displaystyle m = m '}$ ${\ displaystyle m = m '}$ en relació amb les seves equacions explícites $y=mx+q$ ${\ displaystyle y = mx + q}$ ${\ displaystyle y = mx + q}$ I $y=m'x+q'$ ${\ displaystyle y = m'x + q '}$ ${\ displaystyle y = m'x + q '}$ ) o són verticals (i, per tant, tenen equacions $x=a$ ${\ displaystyle x = a}$ $x = a$ I $x=b$ ${\ displaystyle x = b}$ ${\ displaystyle x = b}$ ).

Teorema de la línia paral·lela

El mateix tema en detall: teorema de línies paral·leles .

Donades dues línies tallades per una transversal, si els angles interns alterns són congruents, les dues línies són paral·leles.

Paral·lelisme a l’ espai

En un espai euclidià tridimensional , dos o més plans diferents són paral·lels si i només si no tenen cap punt en comú. El mateix passa amb una línia recta i un pla, que no la conté, és paral·lel. També és cert que dues línies paral·leles diferents no tenen cap punt en comú, però és possible que dues línies diferents de l’espai no es trobin mai sense ser paral·leles. En aquest cas parlem de línies esbiaixades .

Paral·lelisme en geometries no euclidianes

Mateix tema en detall: Paral·lelisme en geometria hiperbòlica .

El postulat paral·lel , més conegut com el cinquè postulat d'Euclides, ho sosté per un punt $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ una i només una recta es poden realitzar paral·leles a una recta determinada $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ sense passar-hi $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ . Ara es demostra que aquest axioma és independent dels altres postulats d’Euclides i la seva negació condueix a geometries no euclidianes, on les propietats del paral·lelisme clàssic no són aplicables.

Exemples

Paral·lelisme entre dues línies

Dues línies paral·leles projectades sobre un pla romanen paral·leles, però també dues línies esbiaixades poden tenir projeccions paral·leles en un pla. En l'espai tridimensional, dues línies són paral·leles si i només si això és cert per a dos plans no paral·lels.

Paral·lelisme entre recta i pla

Un pla és paral·lel a una línia si i només si conté una línia paral·lela a ella. (Si i només si el seu producte puntual és igual a zero).

Paral·lelisme en la projecció de perspectiva

Dues línies o dos plans són paral·lels si i només si tenen el mateix vol ; una línia és paral·lela a un pla si i només si el seu vol està contingut en el del pla.

Articles relacionats

Altres projectes

El Viccionari conté el diccionari lema «paral·lelisme ».

Portal de matemàtiques : accediu a les entrades de Wikipedia relacionades amb les matemàtiques