Piràmide (geometria)

De la Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure.
Saltar a la navegació Saltar a la cerca
Geometria piramidal
S = vèrtex; SO = altura

En geometria , una piràmide [1] es defineix com un poliedre identificat per una cara poligonal anomenada base i per un vèrtex que no es troba al pla de la base i que a vegades s’anomena àpex de la piràmide . Les seves vores són els costats del polígon de la base i els segments delimitats per l’àpex i per cadascun dels vèrtexs de la base. Són cares de la piràmide la seva base i cares triangulars (anomenades cares laterals) que tenen com a vèrtex el seu vèrtex.

Definicions

Una piràmide basada en un polígon de costats ( ) s’anomena piràmide -gonal i té cares, vores ed vèrtexs.

L’ alçada d’una piràmide és el segment que té un extrem a l’àpex i cau ortogonalment al pla que conté la base.

Les piràmides poden ser rectes : es pot inscriure un cercle a la base i el peu de l'alçada resideix al centre d'aquest cercle.

En una piràmide dreta, es diu que cada segment que uneix perpendicularment el seu vèrtex amb el seu costat base, que és la seva longitud comuna, és apotema . L’ apotema base és el radi del cercle inscrit al polígon base.

Una piràmide és convexa si i només si el polígon base és convex. De vegades, una piràmide obliqua s’anomena piràmide l’alçada de la qual cau fora del polígon base (o del seu embolcall convex ).

Les piràmides més considerades són les que tenen com a base un polígon regular i l’alçada de la qual cau al centre d’aquest polígon. Aquesta piràmide de vegades s’anomena piràmide simètrica (o piràmide regular ); en realitat té l’alta simetria del polígon base. Sovint per piràmide entenem, per definició, una piràmide simètrica de base quadrada.

Les úniques piràmides que també són poliedres regulars són els tetraedres que tenen bases triangulars i cares laterals i iguals.

Secando una piràmide amb un pla paral·lel a la base de , i mantenint la part entre el pla de la base i el de la secció, tenim l’anomenada piràmide truncada (o piràmide truncada). D'aquesta manera, entre el pla de la base i la de la secció hi ha un un-a-un correspondència , anomenat homotècia .

Les cares laterals de la piràmide truncada són trapezoides .

Mesures piramidals

Zona

La zona lateral de les piràmides rectes és

on és és el perímetre base e és l'apotema de la piràmide.

La superfície total es calcula com: Àrea base + Àrea lateral.

Volum

El volum d'una piràmide genèrica és igual a un terç del producte de l'àrea base per la mesura d'alçada. Dit el volum, l’àrea base e l'alçada es calcula com:

És a dir, el volum de la piràmide és 1/3 del d’un prisma amb la mateixa alçada i base. Aquesta fórmula va ser el teorema 7 del dotzè llibre dels Elements d’ Euclides i es va demostrar amb el mètode d’esgotament (avui diríem amb el càlcul infinitesimal).

Demostració

Imaginant per disseccionar els dos sòlids (la piràmide i el prisma amb la mateixa base i la mateixa alçada) amb plans paral·lels a les bases a una distància infinitesimal un de l'altre, el volum s'obté de la suma integral del producte de l'àrea de cada secció multiplicada pel gruix .

Indicant amb la distància del pla de secció de la part superior de la piràmide, és segur dir que l’àrea de la secció de la piràmide és proporcional al quadrat de , això és:

i per tant

mentre que l'àrea de les seccions de prisma sempre és igual a . En calcular les integrals obtenim:

volum del prisma:

volum de la piràmide:

Cub dividit en tres piràmides iguals.
Cub explotat. Volum d'una piràmide igual a un terç del cub.

Podeu veure una demostració gràfica del fet que una piràmide ocupa un terç del volum del prisma que la conté. La cosa és particularment senzilla partint d’un cub i dividint-la en tres piràmides iguals, tal com es veu a la figura del costat.

A partir d’un vèrtex del cub, es dibuixen les quatre diagonals que uneixen el vèrtex a les tres cares oposades.

En el cas de la figura, veiem el vèrtex superior en primer pla que uneix la cara inferior, la cara posterior i la cara lateral. Es formen tres piràmides, cadascuna amb una base (quadrada) que coincideix amb una cara (oculta) del cub, amb dues de les cares laterals (cadascuna coincidint amb la meitat de la cara del cub) formades per triangles rectangles ortogonals a la base , i amb les altres dues cares (dins del cub), limitades per les diagonals de la cara i la diagonal principal del cub.

L'alçada de cada piràmide coincideix amb un costat del cub.

Per tant, veiem que les tres piràmides són exactament les mateixes i juntes constitueixen el cub inicial.

Per tant, tenen un volum igual a 1/3 del cub.

Per estendre el resultat a una piràmide de qualsevol forma, i també al volum del con respecte al cilindre que el conté, podem utilitzar el principi de Cavalieri .

Nota

  1. ^ Piràmide , a youmath.it .

Articles relacionats

Altres projectes

Enllaços externs

Control de l'autoritat Thesaurus BNCF 38301 · LCCN (EN) sh85109294 · BNF (FR) cb13331621k (data)