Polígon

Alguns polígons: els dos primers són convexs , el tercer és còncau , el quart està entrellaçat i estelat i còncau

En geometria, un polígon (del grec πολύς (polys, "molts") i γωνία (gōnia, "angle")) és una figura geomètrica plana delimitada per una línia trencada tancada . Els segments que formen la línia trencada tancada s'anomenen costats. del polígon i dels punts en comú amb dos costats consecutius s’anomenen vèrtexs del polígon.

Definició

La definició d’un polígon és la següent.

Un polígon és la part del pla delimitada per una línia trencada tancada.

Recordem que una línia trencada és el conjunt finit i totalment ordenat de segments, anomenats costats, que són ordenadament consecutius i ordenadament no adjacents. Una línia trencada es tanca quan el segon extrem del darrer segment coincideix amb el primer extrem del primer. Una línia trencada és simple (o no entrellaçada ) si dos costats no successius, segons l’ordenació assignada, no es tallen (a part del primer i l’últim costat que poden tenir en comú el primer i el segon extrem respectivament).

El punt en comú a dos costats consecutius s’anomena vèrtex .

A la part delimitada

El fet que una línia trencada tancada no torçada delimiti realment una porció d’un pla és, tot i que intuïtiu, un resultat no trivial de la geometria del pla : és una conseqüència del teorema de la corba de Jordan .

Una definició constructiva és la següent: un punt $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ del pla pertany al polígon si (amb un nombre limitat d'excepcions com a màxim) de tots els rajos que surten $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ talla la línia trencada en un nombre finit i senar de punts diferents.

Classificació

Nombre de costats

Una primera classificació d'un polígon es refereix al seu nombre de costats (vegeu noms de polígons ).

Convexitat

Un polígon és:

senzill: si els costats del polígon no s’entrecreuen.
complex (o entrellaçat): Un polígon entrellaçat.
si no és fàcil.

Un polígon simple és:

convexa: si cada angle intern és inferior o igual a un angle pla (o, de manera equivalent, si l'extensió imaginària de cada segment que uneix dos dels seus vèrtexs va fora del polígon).
còncau: si fins i tot un angle intern és superior a $180^{\circ }$ ${\ displaystyle 180 ^ {\ circ}}$ $180 ^ {\ circ}$ (o, equivalentment, si l'extensió imaginària d'un o més segments cau dins del polígon).

Simetria amb igualtat

Basat en la simetria, un polígon és:

equilàter: si tots els seus costats són iguals.
equiangular: si tots els seus angles són iguals.
cíclic: si tots els seus vèrtexs es troben en una circumferència única.
regular: si és convexa, equilàter i equiangular (o, equivalentment, si és cíclic i equilàter).
irregular: si no és regular.

Propietat

Racons

Un polígon irregular

La suma dels angles interns d’un polígon és igual a tants angles plans com els seus costats ( $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ ), menys dos

180^{\circ }\times (n-2).

{\ displaystyle 180 ^ {\ circ} \ times (n-2).}

{\ displaystyle 180 ^ {\ circ} \ times (n-2).}

Per exemple, el polígon de la figura té cinc costats i, per tant,:

\alpha +\beta +\gamma +\delta +\varepsilon =(5-2)\times 180^{\circ }=540^{\circ }.

{\ displaystyle \ alpha + \ beta + \ gamma + \ delta + \ varepsilon = (5-2) \ times 180 ^ {\ circ} = 540 ^ {\ circ}.}

\ alpha + \ beta + \ gamma + \ delta + \ varepsilon = (5-2) \ times 180 ^ {\ circ} = 540 ^ {\ circ}.

La prova es pot fer per inducció : en un triangle la suma dels angles és $180^{\circ }$ ${\ displaystyle 180 ^ {\ circ}}$ $180 ^ {\ circ}$ , i prenent qualsevol polígon, una de les seves diagonals el divideix en altres dos polígons amb un nombre menor de costats, de manera que es pot utilitzar la hipòtesi inductiva.

La suma dels angles externs d’un polígon convex amb $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ costats és igual a

(360^{\circ }\times n)-[180^{\circ }\times (n-2)]=180^{\circ }\times (n+2).

{\ displaystyle (360 ^ {\ circ} \ times n) - [180 ^ {\ circ} \ times (n-2)] = 180 ^ {\ circ} \ times (n + 2).}

(360 ^ {\ circ} \ times n) - [180 ^ {\ circ} \ times (n-2)] = 180 ^ {\ circ} \ times (n + 2).

Com que la suma de tots els angles externs i interns és òbviament igual a $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ vegades un angle rodó: restant la suma dels interns del total, tindrem la suma dels externs.

Zona

Amb la fórmula de l'àrea de Gauss és possible calcular l'àrea d'un polígon amb $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ vèrtexs que tenen coordenades cartesianes $(x_{i};y_{i})_{i=1,\ldots ,n}$ ${\ displaystyle (x_ {i}; y_ {i}) _ {i = 1, \ ldots, n}}$ $(x_ {i}; y_ {i}) _ {{i = 1, \ ldots, n}}$ de la següent manera:

A={\frac {1}{2}}\left|\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i+1}-\sum _{i=1}^{n}x_{i+1}y_{i}\right|

{\ displaystyle A = {\ frac {1} {2}} \ left | \ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} y_ {i + 1} - \ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i + 1} y_ {i} \ right |}

A = {\ frac {1} {2}} \ left | \ sum _ {{i = 1}} ^ {{n}} x_ {i} y _ {{i + 1}} - \ sum _ {{ i = 1}} ^ {{n}} x _ {{i + 1}} y_ {i} \ right |

amb l’acord que $(x_{n+1};y_{n+1})=(x_{1};y_{1})$ ${\ displaystyle (x_ {n + 1}; y_ {n + 1}) = (x_ {1}; y_ {1})}$ $(x _ {{n + 1}}; y _ {{n + 1}}) = (x_ {1}; y_ {1})$ .

Amb aquesta fórmula podem obtenir una superfície de qualsevol figura plana a través de les coordenades dels seus vèrtexs. És una fórmula àmpliament utilitzada en topografia i trigonometria.

Noms de polígons

Distinció basada en el nombre de costats i, per tant, d'angles:

N ° costats	Nom
3	Triangle
4	Quadrilàter
5	Pentàgon
6	Hexàgon
7	Heptàgon
8	Octàgon
9	Ennagono
10	Decàgon
11	Endecàgon
12	Dodecàgon
13	Tridecàgon
14	Tetradecàgon
15	Pentadecàgon
16	Hexadecàgon
17	Heptadecàgon
18	Octadecàgon
19	Ennadecàgon
20	Icosàgon
21	Endeicosàgon
22	Doicosagono
23	Triaicosàgon
24	Tetraicosàgon
25	Pentaicosàgon
26	Hexaicosàgon
27	Heptaicosàgon
28	Octaicosagono
29	Ennaicosagono
30	Triacontàgon
36	Hexatriacontagon
40	Tetracontàgon
45	Pentatetracontagon
48	Octatetracontagon
50	Pentacontàgon
60	Hexacontàgon
70	Heptacontàgon
72	Doeptacontagon
80	Octacontàgon
90	Ennacontagono
99	Ennacontacaiennagono
100	Hectogono
257	257-gono
1.000	Chiliagono
10.000	Miriagono
65537	65537-gono

Articles relacionats

Altres projectes

Wikimedia Commons conté imatges o altres fitxers al polígon

Enllaços externs

( EN )Polygon , a Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.
( FR ) polígons, poliedres i politops de Mathcurve , Encyclopédie des formes Mathématiques remarquables
( EN ) LA Sidorov,Polígon , a Enciclopèdia de Matemàtiques , Springer i European Mathematical Society, 2002.

Control de l'autoritat	Thesaurus BNCF 6803 · LCCN (EN) sh85104637 · GND (DE) 4175197-8 · BNF (FR) cb12266998h (data)

Portal de matemàtiques : accediu a les entrades de Wikipedia relacionades amb les matemàtiques

V · D · M Polígons
Polígons per nombre de costats	Triangle (3) · Quadrilateral (4) · Pentàgon (5) · Hexàgon (6) · Heptagonó (7) · Octàgon (8) · Nonàgon (9) · Decàgon (10) · Hendecàgon (11) · Dodecàgon (12) · tridecàgon (13) · tetradecàgon (14) · pentadecàgon (15) · hexadecàgon (16) · heptadecàgon (17) · octadecàgon (18) · enneadecàgon (19) · icosàgon (20) · Endeicosagono (21) · Doicosagono (22) · triacontàgon (30) · Pentacontagono (50) · 257-gon (257) · quiliàgon (1 000) · Miriagono (10 000) · 65537-gon (65 537)
Triangles	Basat en els laterals: Triangle Equilateral · Triangle isòsceles · Triangle escalè · Segons els angles: Triangle rectangle · Triangle nítid · Triangle obús
Quadrilaterals	Quadrat · Rectangle · Paral·lelogram · Rombe · Trapezoide · Milà
Polígons estel·lars	Pentagrama · Hexagrama · Eptagramma · Ottagramma · Eneagrama · Decagramma · Endecagramma · Dodecagramma
Altres	Polígon regular · Polígon equilàter · Polígon equiangle