Polígon estel·lar

Un pentàgon estrellat

En geometria plana , un polígon estel·lar és un polígon que té forma d’estrella a causa de la intersecció de múltiples costats.

Definició

Un polígon estrellat és una línia trencada tancada que delimita un conjunt estrellat del pla. A diferència dels polígons normals, la línia trencada es pot intersectar: els parells d’arestes diferents es poden tallar en un punt intern.

Polígons estel·lars regulars amb n costats.

Un polígon estel·lar és regular si

Els seus vèrtexs coincideixen amb els d’un polígon regular amb $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ costats.
Les vores connecten el vèrtex $el$ ${\ displaystyle i}$ $el$ -tèsima amb el vèrtex $(i+k)$ ${\ displaystyle (i + k)}$ ${\ displaystyle (i + k)}$ -thth, per a cadascun $el$ ${\ displaystyle i}$ $el$ .

La segona afirmació s’ha d’entendre de la següent manera: els vèrtexs s’ordenen cíclicament al llarg de la circumferència on es troben i el nombre $(i+k)$ ${\ displaystyle (i + k)}$ ${\ displaystyle (i + k)}$ s'ha d'interpretar en el mòdul modular aritmètic $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ : és a dir, si $i+k>n$ ${\ displaystyle i + k> n}$ ${\ displaystyle i + k> n}$ , el nombre $(i+k)$ ${\ displaystyle (i + k)}$ ${\ displaystyle (i + k)}$ s'hauria d'interpretar com $i+k-n$ ${\ displaystyle i + kn}$ ${\ displaystyle i + k-n}$ .

Per a $k=1$ ${\ displaystyle k = 1}$ $k = 1$ obteniu el polígon habitual habitual amb $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ costats.

Incloent el cas de $k=1$ ${\ displaystyle k = 1}$ $k = 1$ , pot assumir un polígon n- estrella ${\mathcal {b}}{\frac {n-1}{2}}{\mathcal {c}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {b}} {\ frac {n-1} {2}} {\ mathcal {c}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {b}} {\ frac {n-1} {2}} {\ mathcal {c}}}$ formes. Per exemple, per si de cas $n=5$ ${\ displaystyle n = 5}$ $n = 5$ , pentàgon regular o pentagrama són possibles, mentre que per a $n=10$ ${\ displaystyle n = 10}$ ${\ displaystyle n = 10}$ hi ha quatre polígons diferents (per a $k=1,2,3,4$ ${\ displaystyle k = 1,2,3,4}$ ${\ displaystyle k = 1,2,3,4}$ ). Tanmateix, en el cas en què n i k no siguin coprimes , és quan ${\frac {n}{k}}={\frac {n_{0}\ p_{1}p_{2}...p_{m}}{k_{0}\ p_{1}p_{2}...p_{m}}},p_{i}\in \mathbb {N}$ ${\ displaystyle {\ frac {n} {k}} = {\ frac {n_ {0} \ p_ {1} p_ {2} ... p_ {m}} {k_ {0} \ p_ {1} p_ {2} ... p_ {m}}}, p_ {i} \ in \ mathbb {N}}$ ${\ displaystyle {\ frac {n} {k}} = {\ frac {n_ {0} \ p_ {1} p_ {2} ... p_ {m}} {k_ {0} \ p_ {1} p_ {2} ... p_ {m}}}, p_ {i} \ in \ mathbb {N}}$ , aquests polígons es componen en realitat de "subestrelles", equivalents a déus $n_{0}$ ${\ displaystyle n_ {0}}$ $n_ {0}$ -polígons estelats la k de la qual és $k_{0}$ ${\ displaystyle k_ {0}}$ ${\ displaystyle k_ {0}}$ ; el nombre d’aquests subpolígons és ${\frac {n}{n_{0}}}=p_{1}p_{2}...p_{m}$ ${\ displaystyle {\ frac {n} {n_ {0}}} = p_ {1} p_ {2} ... p_ {m}}$ ${\ displaystyle {\ frac {n} {n_ {0}}} = p_ {1} p_ {2} ... p_ {m}}$ ; això s’explica recordant que els vèrtexs del polígon es numeren de manera modular i, per tant, si n és equivalent a un múltiple (en un sentit modular) de k , el polígon es tancarà en subpolígons.

Si, per exemple, considerem un 14-gon amb k = 6 , la fracció $n/k$ ${\ displaystyle n / k}$ ${\ displaystyle n / k}$ es pot reduir: ${\frac {14}{6}}={\frac {7\cdot 2}{3\cdot 2}}={\frac {7}{3}}$ ${\ displaystyle {\ frac {14} {6}} = {\ frac {7 \ cdot 2} {3 \ cdot 2}} = {\ frac {7} {3}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {14} {6}} = {\ frac {7 \ cdot 2} {3 \ cdot 2}} = {\ frac {7} {3}}}$ . Això significa que el polígon considerat està format per 2 (és a dir, $14/7$ ${\ displaystyle 14/7}$ ${\ displaystyle 14/7}$ ) Gons de 7 estrelles amb k = 3 , centre comú i girades les unes amb les altres $2\pi /7$ ${\ displaystyle 2 \ pi / 7}$ ${\ displaystyle 2 \ pi / 7}$ . Els polígons estel·lars d’aquest tipus s’anomenen compostos .

Un polígon estel·lar regular té arestes totes iguals de longitud i angles de vèrtex d'igual amplada. En particular, si $\ell$ ${\ displaystyle \ ell}$ $\ ell$ és el costat del polígon regular estrellat e $\ell _{P}$ ${\ displaystyle \ ell _ {P}}$ ${\ displaystyle \ ell _ {P}}$ la distància entre dos vèrtexs adjacents del mateix, té relació:

{\frac {\ell }{\ell _{P}}}={\frac {\sin {\frac {\pi k}{n}}}{\sin {\frac {\pi }{n}}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ ell} {\ ell _ {P}}} = {\ frac {\ sin {\ frac {\ pi k} {n}}} {\ sin {\ frac {\ pi} { n}}}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ ell} {\ ell _ {P}}} = {\ frac {\ sin {\ frac {\ pi k} {n}}} {\ sin {\ frac {\ pi} { n}}}}}

on n és el nombre de vèrtexs del polígon k la distància modular entre dos vèrtexs connectats al costat del polígon estrellat.

Demostració

Inscrivint el polígon estel·lar en un cercle de radi $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ , observem que el segment que uneix dos vèrtexs adjacents és un acord, la longitud del qual és, segons el teorema de l’ acord ,

\ell _{P}=2R\sin \theta

{\ displaystyle \ ell _ {P} = 2R \ sin \ theta}

{\ displaystyle \ ell _ {P} = 2R \ sin \ theta}

,

amb $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ angle a la circumferència, d'amplitud $\pi /n$ ${\ displaystyle \ pi / n}$ ${\ displaystyle \ pi / n}$ . El costat del polígon estel·lar és una altra cadena, llarga

\ell =2R\sin(\theta k)

{\ displaystyle \ ell = 2R \ sin (\ theta k)}

{\ displaystyle \ ell = 2R \ sin (\ theta k)}

,

ja que k expressa la distància modular dels vèrtexs del polígon. En comparar les longituds, obtenim

{\frac {\ell }{\ell _{P}}}={\frac {\sin(\theta k)}{\sin \theta }}={\frac {\sin {\frac {\pi k}{n}}}{\sin {\frac {\pi }{n}}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ ell} {\ ell _ {P}}} = {\ frac {\ sin (\ theta k)} {\ sin \ theta}} = {\ frac {\ sin {\ frac { \ pi k} {n}}} {\ sin {\ frac {\ pi} {n}}}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ ell} {\ ell _ {P}}} = {\ frac {\ sin (\ theta k)} {\ sin \ theta}} = {\ frac {\ sin {\ frac { \ pi k} {n}}} {\ sin {\ frac {\ pi} {n}}}}}

, QED .

Exemples

A continuació es mostren els polígons estel·lars regulars per als primers valors de $\{n/k\}$ ${\ displaystyle \ {n / k \}}$ ${\ displaystyle \ {n / k \}}$ .

{5/2}	{7/2}	{7/3}	{8/3}	{9/2}	{9/4}

Part interior dels polígons estrellats

La part interna d’un polígon estel·lar es pot interpretar de diverses maneres, com es mostra a la figura següent.

Aquestes interpretacions també es reflecteixen en alguns poliedres definits amb cares estelades. Per exemple, el prisma arquimedià estelat es defineix com un prisma , però amb cares estelades regulars a les dues bases.

Bibliografia

( EN ) Cromwell, P.; Poliedres , CUP, Hbk. 1997, ISBN 0-521-66432-2 . Pbk. (1999), ISBN 0-521-66405-5 .
( EN ) Grünbaum, B.; GC Shephard; Tilings and Patterns , Nova York: WH Freeman & Co., (1987), ISBN 0-7167-1193-1 .
( EN ) Grünbaum, B.; Poliedres amb cares buides, Proc de la Conferència OTAN-ASI sobre politops ... etc. (Toronto 1993) , i T. Bisztriczky et al, Kluwer Academic (1994) pp. 43-70.

Articles relacionats

Altres projectes

Wikimedia Commons conté imatges o altres fitxers al polígon estel·lar

Portal de matemàtiques : accediu a les entrades de Wikipedia relacionades amb les matemàtiques

V · D · M Polígons
Polígons per nombre de costats	Triangle (3) · Quadrilateral (4) · Pentàgon (5) · Hexàgon (6) · Heptagonó (7) · Octàgon (8) · Nonàgon (9) · Decàgon (10) · Hendecàgon (11) · Dodecàgon (12) · tridecàgon (13) · tetradecàgon (14) · pentadecàgon (15) · hexadecàgon (16) · heptadecàgon (17) · octadecàgon (18) · enneadecàgon (19) · icosàgon (20) · Endeicosagono (21) · Doicosagono (22) · triacontàgon (30) · Pentacontagono (50) · 257-gon (257) · quiliàgon (1 000) · Miriagono (10 000) · 65537-gon (65 537)
Triangles	Basat en els laterals: Triangle Equilateral · Triangle isòsceles · Triangle escalè · Segons els angles: Triangle rectangle · Triangle nítid · Triangle obús
Quadrilaterals	Quadrat · Rectangle · Paral·lelogram · Rombe · Trapezoide · Milà
Polígons estel·lars	Pentagrama · Hexagrama · Eptagramma · Ottagramma · Eneagrama · Decagramma · Endecagramma · Dodecagramma
Altres	Polígon regular · Polígon equilàter · Polígon equiangle