Oportunitat

Alguns daus a sis cares, sovint s’utilitzen per explicar el càlcul de probabilitats.

El concepte de probabilitat , utilitzat des del segle XVII , s'ha convertit amb el pas del temps en la base de diverses disciplines científiques, tot i que no ha estat unívoc. En particular, es basa una branca de l’ estadística ( estadístiques inferencials ), de la qual fan ús moltes ciències naturals i socials .

Antecedents

Blaise Pascal

Pierre de Fermat

Els primers estudis que posteriorment va donar lloc a conceptes relacionats amb la probabilitat es poden trobar al mitjans de segle 16 al de Cardano Liber de ludo aleae (escrit en 1526 , però publicat tan sols un segle i mig més tard, en 1663 ) i en Sobre el descobriment de els daus de Galilei (publicat el 1656 ). En particular, Galileu va explicar per què, en llançar tres daus, la probabilitat de sortir les sumes 10 i 11 és més probable que la sortida de 9 i 12, tot i que els dos resultats s’obtenen a partir d’un nombre igual de combinacions. ^[1]

Pacioli va abordar el problema de la distribució de les apostes en cas que s’hagués d’interrompre un joc de l’atzar a la Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita (publicada el 1494 ) i, posteriorment, per Tartaglia , que només va resoldre Pascal. i Fermat .

El naixement del concepte modern de probabilitat s’atribueix a Pascal i Fermat. El Cavalier de Méré (un àvid jugador) havia calculat que obtenir almenys un 6 de cada 4 tirades d'un dau sense fixar equivalia a obtenir almenys un doble de 6 en 24 tirades, sempre en un dau sense control. No obstant això, jugant segons aquesta creença, en lloc de guanyar va perdre i va escriure a Pascal queixant-se que les matemàtiques fracassaven davant de proves empíriques. ^[2] D’això va sorgir una correspondència entre Pascal i Fermat en què va començar a prendre forma el concepte de probabilitat en el sentit freqüentista.

Pascal va anunciar el 1654 a l' Acadèmia de París que treballava en el problema de la distribució de l'estaca. I en una carta datada el 29 de juliol del mateix any a Fermat, proposava la solució del problema, enfrontat al mètode de recurrència, mentre que Fermat utilitzava mètodes basats en combinacions.

El 1657 Huygens va escriure un Libellus de ratiociniis in ludo aleæ , ^[3] , el primer tractat sobre el càlcul de probabilitats, en el qual va introduir el concepte de valor esperat .

Entre altres coses, les seves obres van influir en Montmort , que va escriure un Essai d'analyse sur le jeux de hasard el 1708 , però també en Jakob Bernoulli i de Moivre .

El 1713 es va publicar pòstumament Ars conjectandi de Jakob Bernoulli , on es va demostrar el teorema que porta el seu nom, també conegut com la llei del gran nombre . Posteriorment, de Moivre va arribar a una primera formulació, llavors generalitzada per Laplace , del teorema del límit central . La teoria de la probabilitat va assolir, doncs, fonaments matemàticament sòlids i, amb ells, el rang d’una nova disciplina.

En ell, la relació entre casos favorables i possibles té un paper central i la probabilitat és un nombre intrínsecament vinculat a un esdeveniment. Tanmateix, als anys mitjans del segle XX , primer de Finetti i després Savage van desenvolupar una concepció subjectiva de la probabilitat, segons la qual la probabilitat és el grau de confiança que té una persona en l’ocurrència de l’esdeveniment.

En el mateix període, Kolmogorov va iniciar la teoria axiomàtica moderna ( Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung , 1933 ), inspirant-se en la teoria de la mesura . Així, s’ha establert una teoria purament matemàtica de la probabilitat, que generalitza el patrimoni matemàtic comú als diversos enfocaments.

Definicions

Probablement, un fenomen es considera observable exclusivament des del punt de vista de la possibilitat o no de la seva aparició, independentment de la seva naturalesa. Entre dos extrems, aquest cert esdeveniment (per exemple: llançant un dau de sis cares obté un número entre 1 i 6) i un esdeveniment impossible (per obtenir 1 com a suma de la tirada de dos daus), es col·loquen esdeveniments més o menys probable (aleatori).

S'utilitza el llenguatge de la teoria de conjunts : un conjunt Ω no buit (anomenat espai d'alternatives ) té com a elements tots els resultats possibles d'un experiment; l'esdeveniment que es verifica mitjançant un sol resultat (un sol element de Ω) s'anomena esdeveniment elemental ; altres esdeveniments són subconjunts de Ω que consisteixen en diversos resultats. ^[4]

Els esdeveniments solen indicar-se amb majúscules. Donats dos esdeveniments A i B , A ∪ B indica la seva unió, és a dir, l'esdeveniment constituït per l'aparició de l'esdeveniment A o esdeveniment B. A ∩ B indica la seva intersecció, és a dir, l'esdeveniment constituït per l'aparició tant de l'esdeveniment A com de l'esdeveniment B. ^[5] Si A ∩ B = ∅ es diu que els dos esdeveniments A i B són incompatibles (no es poden produir simultàniament). El complement d'un esdeveniment A respecte a Ω, Ω \ A , s'anomena negació d' A i indica la seva no ocurrència (és a dir, l'aparició de l'esdeveniment complementari).

Definició clàssica

Segons la primera definició de probabilitat, per tant anomenada "clàssica", la probabilitat d'un esdeveniment és la proporció entre el nombre de casos favorables i el nombre de casos possibles. ^[6]

Indicant amb $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\ Omega$ el conjunt de casos possibles i amb $|\Omega |$ ${\ displaystyle | \ Omega |}$ ${\ displaystyle | \ Omega |}$ la seva cardinalitat , amb $A$ ${\ displaystyle A}$ $A$ un esdeveniment i amb $|A|$ ${\ displaystyle | A |}$ $| A |$ la seva cardinalitat o el nombre de casos a favor $A$ ${\ displaystyle A}$ $A$ (per exemple, quan es llança un dau $\Omega =\{1,2,3,4,5,6\}$ ${\ displaystyle \ Omega = \ {1,2,3,4,5,6 \}}$ ${\ displaystyle \ Omega = \ {1,2,3,4,5,6 \}}$ , $|\Omega |=6$ ${\ displaystyle | \ Omega | = 6}$ ${\ displaystyle | \ Omega | = 6}$ , $A=$ ${\ displaystyle A =}$ $A =$ "surt un número parell", $|A|=3$ ${\ displaystyle | A | = 3}$ ${\ displaystyle | A | = 3}$ ), la probabilitat de $A$ ${\ displaystyle A}$ $A$ , indicat amb $P(A)$ ${\ displaystyle P (A)}$ $P (A)$ , és igual a:

P(A)={\frac {|A|}{|\Omega |}}={\frac {3}{6}}={\frac {1}{2}}.

{\ displaystyle P (A) = {\ frac {| A |} {| \ Omega |}} = {\ frac {3} {6}} = {\ frac {1} {2}}.}

{\ displaystyle P (A) = {\ frac {| A |} {| \ Omega |}} = {\ frac {3} {6}} = {\ frac {1} {2}}.}

A partir de la definició, seguiu tres regles:

la probabilitat d'un esdeveniment aleatori és un nombre entre 0 i 1;
la probabilitat de cert esdeveniment és igual a 1, la probabilitat de l'esdeveniment impossible és igual a 0: per exemple. jo mateix $A=$ ${\ displaystyle A =}$ $A =$ "surt un número entre l'1 i el 6", $|A|=6$ ${\ displaystyle | A | = 6}$ ${\ displaystyle | A | = 6}$ I ${\frac {|A|}{|\Omega |}}=1$ ${\ displaystyle {\ frac {| A |} {| \ Omega |}} = 1}$ ${\ displaystyle {\ frac {| A |} {| \ Omega |}} = 1}$ , si en canvi $A=$ ${\ displaystyle A =}$ $A =$ "surt un nombre superior a 6", $|A|=0$ ${\ displaystyle | A | = 0}$ ${\ displaystyle | A | = 0}$ I ${\frac {|A|}{|\Omega |}}=0$ ${\ displaystyle {\ frac {| A |} {| \ Omega |}} = 0}$ ${\ displaystyle {\ frac {| A |} {| \ Omega |}} = 0}$ .
la probabilitat que es produeixi un dels dos esdeveniments incompatibles , és a dir, de dos esdeveniments que no es puguin produir simultàniament, és igual a la suma de les probabilitats dels dos esdeveniments; per exemple si $A=$ ${\ displaystyle A =}$ $A =$ "ve un número parell", amb $P(A)={\frac {1}{2}}$ ${\ displaystyle P (A) = {\ frac {1} {2}}}$ ${\ displaystyle P (A) = {\ frac {1} {2}}}$ , I $B=$ ${\ displaystyle B =}$ ${\ displaystyle B =}$ "surt el número 3", amb $P(B)={\frac {1}{6}}$ ${\ displaystyle P (B) = {\ frac {1} {6}}}$ ${\ displaystyle P (B) = {\ frac {1} {6}}}$ , la probabilitat que llançar un dau doni com a resultat un número parell o un 3 és:

P(A\cup B)={\frac {|A\cup B|}{|\Omega |}}={\frac {|A|+|B|}{|\Omega |}}={\frac {|A|}{|\Omega |}}+{\frac {|B|}{|\Omega |}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}={\frac {2}{3}}

{\ displaystyle P (A \ cup B) = {\ frac {| A \ cup B |} {| \ Omega |}} = {\ frac {| A | + | B |} {| \ Omega |}} = {\ frac {| A |} {| \ Omega |}} + {\ frac {| B |} {| \ Omega |}} = {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} { 6}} = {\ frac {2} {3}}}

{\ displaystyle P (A \ cup B) = {\ frac {| A \ cup B |} {| \ Omega |}} = {\ frac {| A | + | B |} {| \ Omega |}} = {\ frac {| A |} {| \ Omega |}} + {\ frac {| B |} {| \ Omega |}} = {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} { 6}} = {\ frac {2} {3}}}

.

Freqüència de l'esdeveniment

Com a element preparatori per a la posterior definició freqüentista, introduïm el concepte de freqüència. A l'exemple de llançar els daus amb l'esdeveniment A = "número parell", s'indica com a èxits ( $S_{A}$ ${\ displaystyle S_ {A}}$ $S_ {A}$ ) el nombre de vegades que obtenim un nombre parell i ( $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ ) el nombre total de salts realitzats, la freqüència és igual a $F(A)={\frac {S_{A}}{S}}$ ${\ displaystyle F (A) = {\ frac {S_ {A}} {S}}}$ $F (A) = {\ frac {S_ {A}} {S}}$ . La proporció indica la freqüència $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ de l'esdeveniment favorable "sortida parell". A més, per a la llei de nombres grans amb un nombre molt elevat de rotllos, el valor de $F(A)$ ${\ displaystyle F (A)}$ $FA)$ tendeix a la de $P(A)$ ${\ displaystyle P (A)}$ $P (A)$ que s’interpreta, per la definició freqüentista de probabilitat que es descriu a continuació, com el límit al qual tendeix $F(A)$ ${\ displaystyle F (A)}$ $FA)$ .

Definició de freqüentista

La definició clàssica permet calcular la probabilitat en moltes situacions. A més, és una definició operativa i, per tant, proporciona un mètode per al càlcul. Tanmateix, té diversos aspectes negatius poc importants:

des del punt de vista formal, es tracta d’una definició circular: requereix que tots els casos tinguin la mateixa probabilitat, però això és el que volem definir;
no defineix la probabilitat en el cas d'esdeveniments no equiprobables;
pressuposa un nombre finit de possibles resultats i, per tant, no es pot utilitzar contínuament .

Per superar aquestes dificultats, von Mises va proposar definir la probabilitat d'un esdeveniment com el límit al qual tendeix la freqüència relativa de l'esdeveniment a mesura que augmenta el nombre d'experiments :

P(A)=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {n_{A}}{n}}.

{\ displaystyle P (A) = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} {\ frac {n_ {A}} {n}}.}

{\ displaystyle P (A) = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} {\ frac {n_ {A}} {n}}.}

La definició freqüentista s'aplica a experiments aleatoris els esdeveniments elementals dels quals no es consideren igualment possibles, però suposa que l'experiment es pot repetir diverses vegades, idealment infinit, en les mateixes condicions.

Aquesta definició també ens permet calcular la probabilitat de molts esdeveniments i d’ella derivem les mateixes tres regles que es deriven de la definició clàssica. De fet, n’hi ha prou amb substituir la proporció entre el nombre de casos favorables n _A i el nombre de casos possibles n amb el límit de la proporció de n tendent a l’infinit.

Malgrat això:

el "límit" de freqüències relatives no és comparable al concepte matemàtic anàleg; per exemple, donada una seqüència { a _n }, diem que a és el seu límit si per a cada ε> 0 existeix un nombre natural N tal que | a _n - a | <ε per cada n > N i, per molt que sigui ε, sempre és possible calcular N ; en la definició freqüentista, en canvi, N no sempre es pot calcular;
no tots els experiments són repetibles; per exemple, sens dubte té sentit preguntar-se quina és la probabilitat que hi hagi vida a Mart o que en 50 anys la taxa de natalitat a l' Àfrica es converteixi en la meitat de l'actual, però en aquests casos no és possible imaginar experiments repetibles sense fi .

Definició subjectiva

Bruno de Finetti

De Finetti i Savage ^{[7] van} proposar una definició de probabilitat aplicable a experiments aleatoris els esdeveniments elementals dels quals no es consideren igualment possibles i que no són necessàriament repetibles diverses vegades en les mateixes condicions: la probabilitat d’un esdeveniment és el preu que un individu ho considera just a pagar per rebre 1 si es produeix l'esdeveniment, 0 si l'esdeveniment no es produeix .

Per fer concretament aplicable la definició, s’afegeix un criteri de coherència: les probabilitats d’esdeveniments s’han d’atribuir de manera que no sigui possible obtenir una determinada victòria o pèrdua .

D’aquesta manera és possible derivar de la definició subjectiva les mateixes tres regles ja vistes.

$P(A)\in [0;1]$ ${\ displaystyle P (A) \ a [0; 1]}$ ${\ displaystyle P (A) \ a [0; 1]}$ : de fet si ho fos $P(A)<0$ ${\ displaystyle P (A) <0}$ ${\ displaystyle P (A) <0}$ tindríeu un cert guany, viceversa si ho fos $P(A)>1$ ${\ displaystyle P (A)> 1}$ ${\ displaystyle P (A)> 1}$ hi hauria una certa pèrdua;
$P(\Omega )=1$ ${\ displaystyle P (\ Omega) = 1}$ $P (\ Omega) = 1$ : si l'esdeveniment és segur, segur que en rebreu 1, però si és així $P(\Omega )<1$ ${\ displaystyle P (\ Omega) <1}$ ${\ displaystyle P (\ Omega) <1}$ tindríeu un cert guany, igual a $1-P(\Omega )>0$ ${\ displaystyle 1-P (\ Omega)> 0}$ ${\ displaystyle 1-P (\ Omega)> 0}$ , si fos així $P(\Omega )>1$ ${\ displaystyle P (\ Omega)> 1}$ ${\ displaystyle P (\ Omega)> 1}$ hi hauria una certa pèrdua;
jo mateix $A\cap B=\varnothing ,P(A\cup B)=P(A)+P(B)$ ${\ displaystyle A \ cap B = \ varnothing, P (A \ cup B) = P (A) + P (B)}$ ${\ displaystyle A \ cap B = \ varnothing, P (A \ cup B) = P (A) + P (B)}$ . S’observa preliminarment que si els n esdeveniments $A_{1},\dots ,A_{n}$ ${\ displaystyle A_ {1}, \ dots, A_ {n}}$ $A_1, \ dots, A_n$ són incompatibles (no es poden produir junts) i necessaris (un d'ells necessàriament ha de produir-se), aleshores n'hi ha $\sum _{i=1}^{n}P(A_{i})=1$ ${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} P (A_ {i}) = 1}$ ${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} P (A_ {i}) = 1}$ : de fet pagues $P(A_{i})$ ${\ displaystyle P (A_ {i})}$ ${\ displaystyle P (A_ {i})}$ per a cada esdeveniment $A_{i}$ ${\ displaystyle A_ {i}}$ $Fins al}$ , de manera que si la suma fos inferior a 1 tindríeu un cert guany, si fos més gran tindríeu una certa pèrdua. Es consideren llavors els esdeveniments incompatibles A i B i el complement de la seva unió; els tres esdeveniments són incompatibles i necessaris i tenim:
$P(A)+P(B)+P({\overline {A\cup B}})=1.$ ${\ displaystyle P (A) + P (B) + P ({\ overline {A \ cup B}}) = 1.}$ $P (A) + P (B) + P (\ overline {A \ cup B}) = 1.$
Tanmateix, la unió de A i B i el seu complement també són incompatibles:
$P(A\cup B)+P({\overline {A\cup B}})=1.$ ${\ displaystyle P (A \ cup B) + P ({\ overline {A \ cup B}}) = 1.}$ $P (A \ cup B) + P (\ overline {A \ cup B}) = 1.$
De les dues igualtats se’n desprèn:
jo mateix $A\cap B=\varnothing$ ${\ displaystyle A \ cap B = \ varnothing}$ $A \ cap B = \ varnothing$ , tan $P(A\cup B)=P(A)+P(B).$ ${\ displaystyle P (A \ cup B) = P (A) + P (B).}$ $P (A \ cup B) = P (A) + P (B).$

Per tant, la definició subjectiva permet calcular la probabilitat d’esdeveniments fins i tot quan els esdeveniments elementals no són equiprobables i quan l’experiment no es pot repetir. Tot i això, es basa en l'opinió de persones, que poden tenir diferents ganes de risc. Penseu que molts estarien disposats a jugar 1 euro per guanyar-ne 1.000, però pocs jugarien un milió d'euros per guanyar-ne mil milions.

Definició axiomàtica

Andrey Kolmogorov

L’enfocament axiomàtic de la probabilitat va ser proposat per Andrey Nikolaevich Kolmogorov el 1933 a Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung ( Conceptes fonamentals de càlcul de probabilitat ), desenvolupant la investigació que ja estava cristal·litzada en el debat entre aquells que consideraven la probabilitat com a límits de freqüències relatives (cf. ) i aquells que en busquen un fonament.

Cal tenir en compte que la definició axiomàtica no és una definició operativa i no proporciona orientacions sobre com calcular la probabilitat. Per tant, és una definició que es pot utilitzar tant en el context d’un enfocament objectivista com en el context d’un enfocament subjectivista.

El nom deriva del procediment d '"axiomatització", per tant, en identificar els conceptes primitius, d'aquests en identificar els postulats a partir dels quals es van definir els teoremes .

L’enfocament axiomàtic parteix del concepte de σ-àlgebra , o classe additiva. Donat qualsevol experiment aleatori, els seus possibles resultats constitueixen els elements d'un conjunt Ω no buit, anomenat espai mostral , i cada esdeveniment és un subconjunt de Ω. La probabilitat es veu, com a primera aproximació, com una mesura , és a dir, com una funció que associa a cada subconjunt de Ω un nombre real no negatiu tal que la suma de les probabilitats de tots els esdeveniments és igual a 1.

Si Ω té cardinalitat finita n o cardinalitat infinita comptable, el conjunt de tots els seus subconjunts, anomenat conjunt de parts , té, respectivament, la cardinalitat 2 ⁿ o la cardinalitat del continu . Tanmateix, si Ω té la cardinalitat del continu, el seu conjunt de parts té una cardinalitat més alta i és "massa gran" per definir-hi una mesura. Per tant, només es consideren els subconjunts de Ω que constitueixen una classe additiva ${\mathcal {A}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ mathcal {A}}$ , és a dir, un conjunt no buit ${\mathcal {A}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ mathcal {A}}$ de tal manera que

si pertany a un esdeveniment A ${\mathcal {A}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ mathcal {A}}$ , el seu complement també li pertany:

A\in {\mathcal {A}}\Rightarrow {\overline {A}}\in {\mathcal {A}};

{\ displaystyle A \ in {\ mathcal {A}} \ Rightarrow {\ overline {A}} \ in {\ mathcal {A}};}

{\ displaystyle A \ in {\ mathcal {A}} \ Rightarrow {\ overline {A}} \ in {\ mathcal {A}};}

si una infinitat d’esdeveniments comptable, A ₁ , A ₂ , ... A _n , ..., pertany a ${\mathcal {A}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ mathcal {A}}$ , l’esdeveniment constituït per la seva unió també li pertany:

\forall i\in \mathbb {N} ,A_{i}\in {\mathcal {A}}\Rightarrow \bigcup _{i\in \mathbb {N} }A_{i}\in {\mathcal {A}}.

{\ displaystyle \ forall i \ in \ mathbb {N}, A_ {i} \ in {\ mathcal {A}} \ Rightarrow \ bigcup _ {i \ in \ mathbb {N}} A_ {i} \ in {\ mathcal {A}}.}

{\ displaystyle \ forall i \ in \ mathbb {N}, A_ {i} \ in {\ mathcal {A}} \ Rightarrow \ bigcup _ {i \ in \ mathbb {N}} A_ {i} \ in {\ mathcal {A}}.}

Per tant, una classe additiva és un subconjunt del conjunt de parts de Ω que es tanca respecte al complement i les operacions d’unió comptables.

Es pot afegir que una classe additiva també es tanca respecte a la intersecció, finita o comptable, ja que per les lleis de De Morgan tenim:

\forall i\in \mathbb {N} ,A_{i}\in {\mathcal {A}}\Rightarrow \bigcap _{i\in \mathbb {N} }A_{i}={\overline {\bigcup _{i\in \mathbb {N} }{\overline {A_{i}}}}}\in {\mathcal {A}},

{\ displaystyle \ forall i \ in \ mathbb {N}, A_ {i} \ in {\ mathcal {A}} \ Rightarrow \ bigcap _ {i \ in \ mathbb {N}} A_ {i} = {\ overline {\ bigcup _ {i \ in \ mathbb {N}} {\ overline {A_ {i}}}}} \ in {\ mathcal {A}},}

{\ displaystyle \ forall i \ in \ mathbb {N}, A_ {i} \ in {\ mathcal {A}} \ Rightarrow \ bigcap _ {i \ in \ mathbb {N}} A_ {i} = {\ overline {\ bigcup _ {i \ in \ mathbb {N}} {\ overline {A_ {i}}}}} \ in {\ mathcal {A}},}

on el segon membre de la igualtat pertany a la classe com a complement d’una unió comptable dels complements de conjunts que li pertanyen.

Es plantegen els axiomes següents (que inclouen les tres regles que es poden obtenir a partir de les definicions anteriors):

Els esdeveniments són subconjunts d’un espai Ω i formen una classe additiva ${\mathcal {A}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ mathcal {A}}$ .
A cada esdeveniment $A\in {\mathcal {A}}$ ${\ displaystyle A \ in {\ mathcal {A}}}$ $A \ in {\ mathcal {A}}$ s'assigna un nombre real no negatiu P ( A ), anomenat probabilitat d'A.
P (Ω) = 1, és a dir, la probabilitat que cert esdeveniment sigui igual a 1.
Si la intersecció entre dos esdeveniments A i B és buida, llavors P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ).
Si A _n és una successió descendent dels esdeveniments i com n infinit, la intersecció d'A _n tendeix a el conjunt buit, llavors P (A _n) tendeix a zero: ^[8]

A_{n}\downarrow \varnothing \Rightarrow \lim _{n\rightarrow \infty }P(A_{n})=0.

{\ displaystyle A_ {n} \ downarrow \ varnothing \ Rightarrow \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} P (A_ {n}) = 0.}

{\ displaystyle A_ {n} \ downarrow \ varnothing \ Rightarrow \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} P (A_ {n}) = 0.}

La funció P ( A ) s’anomena funció de probabilitat , o també distribució de probabilitats . La retroexcavadora $\ (\Omega ,{\mathcal {A}},P)$ ${\ displaystyle \ (\ Omega, {\ mathcal {A}}, P)}$ $\ (\ Omega, {\ mathcal {A}}, P)$ s’anomena espai de probabilitat .

A partir dels axiomes obtenim immediatament algunes propietats elementals de probabilitat:

Si P ( A ) és la probabilitat d’un esdeveniment A , la probabilitat de l’esdeveniment complementari és 1- P ( A ). De fet, atès que la intersecció d' A i el seu complement és buida i la seva unió és Ω, a partir dels axiomes 3 i 4 obtenim:

P(A)+P({\overline {A}})=P(A\cup {\overline {A}})=P(\Omega )=1.

{\ displaystyle P (A) + P ({\ overline {A}}) = P (A \ cup {\ overline {A}}) = P (\ Omega) = 1.}

{\ displaystyle P (A) + P ({\ overline {A}}) = P (A \ cup {\ overline {A}}) = P (\ Omega) = 1.}

La probabilitat de l’esdeveniment impossible és nul·la. De fet, el conjunt buit és el complement de Ω i tenim:

P(\varnothing )=P({\overline {\Omega }})=1-P(\Omega )=1-1=0.

{\ displaystyle P (\ varnothing) = P ({\ overline {\ Omega}}) = 1-P (\ Omega) = 1-1 = 0}

{\ displaystyle P (\ varnothing) = P ({\ overline {\ Omega}}) = 1-P (\ Omega) = 1-1 = 0}

La probabilitat d’un esdeveniment és menor o igual a 1. De fet, atès que la probabilitat no és negativa per al segon axioma, tenim:

P(A)=1-P({\overline {A}})\leq 1.

{\ displaystyle P (A) = 1-P ({\ overline {A}}) \ leq 1.}

{\ displaystyle P (A) = 1-P ({\ overline {A}}) \ leq 1.}

Si s’inclou un esdeveniment A en un esdeveniment B , la seva probabilitat és menor o igual a la de B. De fet, si B inclou A, es pot expressar com una unió de conjunts disjunts i tenim:

A\subseteq B\Rightarrow P(B)=P(A\cup ({\overline {A}}\cap B))=P(A)+P({\overline {A}}\cap B)\geq P(A).

{\ displaystyle A \ subseteq B \ Rightarrow P (B) = P (A \ cup ({\ overline {A}} \ cap B)) = P (A) + P ({\ overline {A}} \ cap B ) \ geq P (A).}

{\ displaystyle A \ subseteq B \ Rightarrow P (B) = P (A \ cup ({\ overline {A}} \ cap B)) = P (A) + P ({\ overline {A}} \ cap B ) \ geq P (A).}

Teoremes bàsics

Alguns teoremes i conceptes fonamentals deriven dels esmentats axiomes.

El teorema de la probabilitat total us permet calcular la probabilitat de la unió de dos o més esdeveniments, o la probabilitat que es produeixi almenys un d'ells. És la suma de les probabilitats dels esdeveniments individuals si són incompatibles de dos en dos; en cas contrari, s’ha de restar de la suma la suma de les probabilitats de les interseccions de dos en dos, i després s’ha de sumar la suma de les probabilitats de les interseccions de tres en tres, etc. Per exemple, en el cas de tres esdeveniments:

P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A\cap B)-P(A\cap C)-P(B\cap C)+P(A\cap B\cap C).

{\ displaystyle P (A \ cup B \ cup C) = P (A) + P (B) + P (C) -P (A \ cap B) -P (A \ cap C) -P (B \ cap C) + P (A \ cap B \ cap C).}

{\ displaystyle P (A \ cup B \ cup C) = P (A) + P (B) + P (C) -P (A \ cap B) -P (A \ cap C) -P (B \ cap C) + P (A \ cap B \ cap C).}

Es diu probabilitat condicional de A donada B , i s’escriu $P(A|B)$ ${\ displaystyle P (A | B)}$ $P (A | B)$ , la probabilitat que es produeixi l'esdeveniment A quan se sap que s'ha produït B :

P(A|B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}.

{\ displaystyle P (A | B) = {\ frac {P (A \ cap B)} {P (B)}}.}

{\ displaystyle P (A | B) = {\ frac {P (A \ cap B)} {P (B)}}.}

Mitjançant aquest concepte arribem al teorema de la probabilitat composta , que permet calcular la probabilitat de la intersecció de dos o més esdeveniments, o la probabilitat que es produeixin tots. En el cas de dos esdeveniments (que es poden generalitzar), tenim:

P(A\cap B)=P(A|B)P(B).

{\ displaystyle P (A \ cap B) = P (A | B) P (B).}

{\ displaystyle P (A \ cap B) = P (A | B) P (B).}

Jo $P(A|B)=P(A)$ ${\ displaystyle P (A | B) = P (A)}$ $P (A | B) = P (A)$ , els dos esdeveniments A i B es defineixen independentment estocàsticament (o probabilísticament ) i de la mateixa definició es desprèn una formulació diferent de la probabilitat composta, un cas particular de l'anterior: $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ ${\ displaystyle P (A \ cap B) = P (A) P (B)}$ $P (A \ cap B) = P (A) P (B)$ .

El teorema de Bayes permet calcular la probabilitat posterior d’un esdeveniment $A_{i}$ ${\ displaystyle A_ {i}}$ $Fins al}$ , quan se sap que s'ha produït un esdeveniment E. Jo $A_{i}$ ${\ displaystyle A_ {i}}$ $Fins al}$ pertany a un conjunt finit o comptable d’esdeveniments incompatibles de dos en dos i, si es produeix E, es produeix necessàriament un dels esdeveniments d’aquest conjunt (i només un, ja que són incompatibles), doncs, coneixent les probabilitats a priori de esdeveniments $A_{i}$ ${\ displaystyle A_ {i}}$ $Fins al}$ i probabilitats condicionals $P(E|A_{i})$ ${\ displaystyle P (E | A_ {i})}$ ${\ displaystyle P (E | A_ {i})}$ i sabent que s'ha produït E , es pot calcular la probabilitat posterior d'un determinat $A_{i}$ ${\ displaystyle A_ {i}}$ $Fins al}$ :

P(A_{i}|E)={\frac {P(E|A_{i})P(A_{i})}{\sum _{j}P(E|A_{j})P(A_{j})}}

{\ displaystyle P (A_ {i} | E) = {\ frac {P (E | A_ {i}) P (A_ {i})} {\ sum _ {j} P (E | A_ {j}) P (A_ {j})}}}

P (A_ {i} | E) = {\ frac {P (E | A_ {i}) P (A_ {i})} {\ sum _ {{j}} P (E | A_ {j}) P (A_ {j})}}

Més discursivament: si coneixem tant les probabilitats a priori de les diverses possibles "causes" d' E (però no sabem l'efecte de quina d'elles es va produir E ), com les probabilitats condicionals d' E donades cadascuna de les causes, és és possible calcular la probabilitat que E es produeixi a causa d'una causa particular.

Dificultat per utilitzar probabilitats

Quantes trampes hi ha en el raonament sobre les probabilitats - més enllà de les dificultats per entendre quina probabilitat pot ser - es posa de manifest en algunes anomenades paradoxes, on en realitat són preguntes amb respostes contraintuitives:

a la paradoxa de les tres cartes, l'error sol consistir a no haver identificat correctament quins són els esdeveniments: els costats de les cartes i no les cartes mateixes;
a la paradoxa dels dos fills, l'error sol consistir a no distingir esdeveniments diferents, és a dir, a considerar un esdeveniment únic els que en realitat són dos;
en el problema de Monty Hall, la dificultat consisteix en primer lloc a acceptar la idea que una nova informació pot modificar les probabilitats d’esdeveniments, sense que el món real canviï, l’altre error consisteix a no analitzar completament i, per tant, avaluar correctament la nova informació adquirida.

Una altra font de confusió es pot donar assumint (equivocadament) que el fet que un esdeveniment tingui la probabilitat 1 implica que sempre succeeix (en lloc de gairebé amb tota seguretat ).

Nota

^ El 9 s'obté amb les sis combinacions (1,2,6), (1,3,5), (1,4,4), (2,2,5), (2,3,4), ( 3,3,3), 10 amb les sis combinacions (1,3,6), (1,4,5), (2,2,6), (2,3,5), (2,4, 4 ), (3,3,4), 11 amb (1,4,6), (2,3,6), (2,4,5), (1,5,5), (3, 3,5 ), (3,3,4) i 12 amb (1,5,6), (2,4,6), (2,5,5), (3,4,5), (3, 3,6 ), (4,4,4). Tanmateix, si bé una combinació de tres nombres iguals només es pot mostrar d'una manera, una amb dos nombres iguals es pot mostrar de tres maneres diferents, una amb tres nombres diferents de sis maneres diferents. Per tant, és possible obtenir 10 i 11 de 27 maneres (6 + 6 + 3 + 6 + 3 + 3), 9 i 12 de 25 maneres (6 + 6 + 3 + 3 + 6 + 1).
^ Segons el cavaller, essent 1/6 la probabilitat de 6 amb un dau, en quatre tirades la probabilitat seria de 4 × 1/6 = 2/3; la probabilitat de doblar 6 en dos llançaments és en canvi 1/36 i, per arribar a 2/3, es necessiten 24 llançaments: 24 × 1/36 = 2/3. En realitat, la probabilitat d'obtenir almenys un 6 es calcula millor a partir de l'esdeveniment complementari, "no 6 en quatre tirades", que és (5/6) ⁴ , i restant-ho d'1, obtenint el 51,8%; de la mateixa manera es calcula que la probabilitat d'almenys un doble de 6 en 24 llançaments és d'1 - (35/36) ²⁴ = 49%.
^ La reimpressió de la traducció a l'anglès està disponible a http://www.stat.ucla.edu/history/huygens.pdf Arxivat el 31 d'octubre de 2014 a Internet Archive.
^ Per exemple, quan es tira un dau, el conjunt Ω es compon dels sis resultats {1,2,3,4,5,6}; l'esdeveniment "deixa 3" es representa amb el conjunt {3}, l'esdeveniment "deixa un número parell" es representa amb el conjunt {2,4,6}.
^ Per exemple, si s'adhereix al tir d'un dau, si A = {2} i B = {4,6}, l'esdeveniment A ∪ B és {2,4,6}, és a dir, "apareix un número parell" . Si, en canvi, A = "apareix un número parell" i B = "apareix un nombre inferior o igual a 3", A ∩ B = {2}.
^ (EN) IUPAC Gold Book, "probabilitat"
↑ L'enfocament subjectiu va ser anticipat per Ramsey el 1926 .
^ Es diu que una successió de conjunts disminueix si cada conjunt inclou el següent. Vegeu el límit establert.

Bibliografia

Remo Cacciafesta, Lliçons de càlcul de probabilitats , Veschi, Roma, 1983
Giorgio Dall'Aglio, Càlcul de probabilitats , Zanichelli, Bolonya, 2003
Domenico Piccolo, Estadístiques , Il Mulino, Bolonya, 1998, Segona part, Capítol VIII, pp. 215-291
Keith Devlin , Carta de Pascal. Història de l'equació que va fundar la teoria de la probabilitat , Rizzoli, 2008
Giancarlo Rota i Joseph PS Kung, Probabilitat , Enciclopèdia del segle XX (1980), Institut de l'Enciclopèdia Italiana Treccani
Eugenio Regazzini, Probabilitat , Enciclopèdia de Ciència i Tecnologia (2007), Institut de l'Enciclopèdia Italiana Treccani