Quadric

En matemàtiques , i en particular en geometria , una superfície quàdrica (o superfície quàdrica ) és una superfície (hiper) d’un espai n- dimensional en complexos o reals representats per una equació polinòmica de segon ordre en les variables espacials (coordenades). Si les coordenades espacials són $\{x_{1},\ \dots ,\ x_{n}\}$ ${\ displaystyle \ {x_ {1}, \ \ dots, \ x_ {n} \}}$ ${\ displaystyle \ {x_ {1}, \ \ dots, \ x_ {n} \}}$ , llavors el quadric general a l'espai $\mathbb {C} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$ $\ mathbb {C} ^ {n}$ (o $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ ) es defineix per una equació de la forma

\sum _{i,j=1}^{n}B_{ij}x_{i}x_{j}+\sum _{i=1}^{n}E_{i}x_{i}+F=0,

{\ displaystyle \ sum _ {i, j = 1} ^ {n} B_ {ij} x_ {i} x_ {j} + \ sum _ {i = 1} ^ {n} E_ {i} x_ {i} + F = 0,}

{\ displaystyle \ sum _ {i, j = 1} ^ {n} B_ {ij} x_ {i} x_ {j} + \ sum _ {i = 1} ^ {n} E_ {i} x_ {i} + F = 0,}

on és $B_{ij}$ ${\ displaystyle B_ {ij}}$ ${\ displaystyle B_ {ij}}$ és una matriu (no nul·la), $I$ ${\ displaystyle E}$ $I$ un vector i $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ una constant.

Qualsevol punt d’una superfície quàdrica es defineix hiperbòlic , parabòlic o el·líptic en funció de si el pla tangent a la superfície en aquest punt talla el quadric en dues línies reals i diferents, coincidents o imaginàries conjugades. Els punts d'un quadric són tots del mateix tipus, és a dir, tots són hiperbòlics o tots parabòlics o tots el·líptics. Aquesta característica només depèn del signe del determinant del quadric (invariant en els sistemes de referència cartesians ortogonals) i sovint es ressalta com a adjectiu del quadric (per exemple, hiperboloide hiperbòlic).

Mitjançant traduccions i rotacions, cada quadric es pot transformar en una forma "normalitzada", significativament més senzilla que la general. Per exemple, l’equació normalitzada de molts quadrics en l’espai tridimensional ( $n=3$ ${\ displaystyle n = 3}$ $n = 3$ ) I:

\pm {x^{2} \over a^{2}}\pm {y^{2} \over b^{2}}\pm {z^{2} \over c^{2}}\,=\,1

{\ displaystyle \ pm {x ^ {2} \ over a ^ {2}} \ pm {y ^ {2} \ over b ^ {2}} \ pm {z ^ {2} \ over c ^ {2} } \, = \, 1}

\ pm {x ^ {2} \ over a ^ {2}} \ pm {y ^ {2} \ over b ^ {2}} \ pm {z ^ {2} \ over c ^ {2}} \, = \, 1

En l'espai euclidià tridimensional , cada quadric es pot escriure en una de les 9 formes normalitzades següents:

Quàdrics no degenerats
El·lipsoide	El·lipsoide escalè	${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}+{z^{2} \over c^{2}}=1$ ${\ displaystyle {x ^ {2} \ over a ^ {2}} + {y ^ {2} \ over b ^ {2}} + {z ^ {2} \ over c ^ {2}} = 1}$ ${x ^ {2} \ over a ^ {2}} + {y ^ {2} \ over b ^ {2}} + {z ^ {2} \ over c ^ {2}} = 1$
	Esferoide prolat	${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}+{z^{2} \over b^{2}}=1$ ${\ displaystyle {x ^ {2} \ over a ^ {2}} + {y ^ {2} \ over b ^ {2}} + {z ^ {2} \ over b ^ {2}} = 1}$ ${\ displaystyle {x ^ {2} \ over a ^ {2}} + {y ^ {2} \ over b ^ {2}} + {z ^ {2} \ over b ^ {2}} = 1}$
	Esferoide oblat	${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}+{z^{2} \over b^{2}}=1$ ${\ displaystyle {x ^ {2} \ over a ^ {2}} + {y ^ {2} \ over a ^ {2}} + {z ^ {2} \ over b ^ {2}} = 1}$ ${x ^ {2} \ over a ^ {2}} + {y ^ {2} \ over a ^ {2}} + {z ^ {2} \ over b ^ {2}} = 1$
	Pilota	${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}+{z^{2} \over a^{2}}=1$ ${\ displaystyle {x ^ {2} \ over a ^ {2}} + {y ^ {2} \ over a ^ {2}} + {z ^ {2} \ over a ^ {2}} = 1}$ ${x ^ {2} \ over a ^ {2}} + {y ^ {2} \ over a ^ {2}} + {z ^ {2} \ over a ^ {2}} = 1$
Paraboloide	Paraboloide el·líptic	${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z \over c}=0$ ${\ displaystyle {x ^ {2} \ over a ^ {2}} + {y ^ {2} \ over b ^ {2}} - {z \ over c} = 0}$ ${\ displaystyle {x ^ {2} \ over a ^ {2}} + {y ^ {2} \ over b ^ {2}} - {z \ over c} = 0}$
	Paraboloide circular	${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}-{z \over c}=0$ ${\ displaystyle {x ^ {2} \ over a ^ {2}} + {y ^ {2} \ over a ^ {2}} - {z \ over c} = 0}$ ${\ displaystyle {x ^ {2} \ over a ^ {2}} + {y ^ {2} \ over a ^ {2}} - {z \ over c} = 0}$
	Paraboloide hiperbòlic	${x^{2} \over a^{2}}-{y^{2} \over b^{2}}-{z \over c}=0$ ${\ displaystyle {x ^ {2} \ over a ^ {2}} - {y ^ {2} \ over b ^ {2}} - {z \ over c} = 0}$ ${\ displaystyle {x ^ {2} \ over a ^ {2}} - {y ^ {2} \ over b ^ {2}} - {z \ over c} = 0}$
Hiperboloide	Hiperboloide d' una sola capa (hiperboloide hiperbòlic)	${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=1$ ${\ displaystyle {x ^ {2} \ over a ^ {2}} + {y ^ {2} \ over b ^ {2}} - {z ^ {2} \ over c ^ {2}} = 1}$ ${x ^ {2} \ over a ^ {2}} + {y ^ {2} \ over b ^ {2}} - {z ^ {2} \ over c ^ {2}} = 1$
Hiperboloide	Hiperboloide de dues aletes (hiperboloide el·líptic)	$-{x^{2} \over a^{2}}-{y^{2} \over b^{2}}+{z^{2} \over c^{2}}=1$ ${\ displaystyle - {x ^ {2} \ over a ^ {2}} - {y ^ {2} \ over b ^ {2}} + {z ^ {2} \ over c ^ {2}} = 1 }$ $- {x ^ {2} \ over a ^ {2}} - {y ^ {2} \ over b ^ {2}} + {z ^ {2} \ over c ^ {2}} = 1$
Quàdriques degenerades
Con (a dues aigües)		${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=0$ ${\ displaystyle {x ^ {2} \ over a ^ {2}} + {y ^ {2} \ over b ^ {2}} - {z ^ {2} \ over c ^ {2}} = 0}$ ${x ^ {2} \ over a ^ {2}} + {y ^ {2} \ over b ^ {2}} - {z ^ {2} \ over c ^ {2}} = 0$
Cilindre	Cilindre el·líptic	${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}=1$ ${\ displaystyle {x ^ {2} \ over a ^ {2}} + {y ^ {2} \ over b ^ {2}} = 1}$ ${x ^ {2} \ over a ^ {2}} + {y ^ {2} \ over b ^ {2}} = 1$
	Cilindre circular	${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}=1$ ${\ displaystyle {x ^ {2} \ over a ^ {2}} + {y ^ {2} \ over a ^ {2}} = 1}$ ${x ^ {2} \ over a ^ {2}} + {y ^ {2} \ over a ^ {2}} = 1$
	Cilindre parabòlic	${x^{2} \over 2a}+y=0$ ${\ displaystyle {x ^ {2} \ over 2a} + y = 0}$ ${\ displaystyle {x ^ {2} \ over 2a} + y = 0}$
	Cilindre hiperbòlic	${x^{2} \over a^{2}}-{y^{2} \over b^{2}}=1$ ${\ displaystyle {x ^ {2} \ over a ^ {2}} - {y ^ {2} \ over b ^ {2}} = 1}$ ${x ^ {2} \ over a ^ {2}} - {y ^ {2} \ over b ^ {2}} = 1$

A l'espai projectiu real, tret d' una transformació projectiva, hi ha tres classes d'equivalència de quadrics:

el con, el cilindre i els altres quadrics "degenerats", és a dir, amb curvatura gaussiana nul·la, són equivalents entre si;
els dos paraboloides hiperbòlics i les superfícies reglades són equivalents entre si;
l’el·lipsoide, el paraboloide el·líptic, l’hiperboloide de dos tocs i els quàdrics restants són equivalents entre si.

En l’espai projectiu complex totes les quàdriques no degenerades són equivalents entre si, excepte les transformacions projectives.

Bibliografia

Giuseppe Vaccaro , Lliçons de geometria, vol. Jo , Roma , Veschi, 1975.
Edoardo Sernesi, Geometry 2 , Torí , Bollati Boringhieri , 1994, ISBN 978-88-339-5548-3 .

Altres projectes

El Viccionari conté el diccionari lema « quadric »

Enllaços externs

http://www.geom.uiuc.edu/docs/reference/CRC-formulas/node61.html , 16 Quadrics in Geometry Formulas and Facts de Silvio Levy, extret de la trentena edició de les taules i fórmules matemàtiques estàndard CRC (CRC Press ).

Control de l'autoritat	Sinònims BNCF 25.756 · LCCN (ES) sh85109415 · BNF (FR) cb11981286v (data)

Portal de matemàtiques : accediu a les entrades de Wikipedia relacionades amb les matemàtiques