Radiant

Un angle mesurat en radians.

El radian (generalment indicat rad quan és necessari), és la unitat de mesura de l’amplitud dels angles del Sistema Internacional d’Unitats . Aquesta mesura representa la relació entre la longitud de l' arc de la circumferència traçat per l' angle i la longitud del radi d'aquesta circumferència; en ser la proporció entre dues quantitats homogènies, és un nombre pur .

Definició de radiant

Un arc d’un cercle de la mateixa longitud que el radi del mateix cercle correspon a un angle d’1 radian. Un cercle complet correspon a un angle de 2π radians.

Alguns angles mesurats en radians

Agafeu un cercle centrat al vèrtex de l'angle. Deixeu-los estar $L$ ${\ displaystyle l}$ $L$ la longitud de l'arc interceptat per l'angle de la circumferència, $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ el del radi de la circumferència, $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ el de la circumferència e $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ l'amplada de l'angle. L’informe $l/r$ ${\ displaystyle l / r}$ ${\ displaystyle l / r}$ no depèn de la longitud del radi, sinó només de l'amplada de l'angle. Aquesta circumstància ens permet definir la mesura de l'angle en radians com:

$\alpha ^{\mathrm {rad} }={\frac {l}{r}}$ ${\ displaystyle \ alpha ^ {\ mathrm {rad}} = {\ frac {l} {r}}}$ $\ alpha ^ {\ mathrm {rad}} = \ frac {l} {r}$

$l=r\cdot \alpha ^{\mathrm {rad} }$ ${\ displaystyle l = r \ cdot \ alpha ^ {\ mathrm {rad}}}$ $l = r \ cdot \ alpha ^ {\ mathrm {rad}}$

D’això queda clar que el radian és un nombre pur, és a dir, és adimensional, ja que expressa la relació entre dues longituds.

De fet: [rad] = [L] / [L] = [1].

Definim com a radian l’amplitud de l’angle que subtendeix un arc de circumferència que, quan s’ajusta, té una longitud igual al radi de la circumferència mateixa. En altres paraules, un radi és l'angle que es produeix en un arc de longitud igual al radi de la circumferència.

Sent la longitud de la circumferència $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ igual a $2\pi r$ ${\ displaystyle 2 \ pi r}$ $2 \ pi r$ i el llarg abast $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ , l'angle d'un cercle és igual a $2\pi$ ${\ displaystyle 2 \ pi}$ $2 \ pi$ .

\alpha ={\frac {2\pi r}{r}}=2\pi .

{\ displaystyle \ alpha = {\ frac {2 \ pi r} {r}} = 2 \ pi.}

\ alpha = {\ frac {2 \ pi r} {r}} = 2 \ pi.

Recordant que la mesura de la longitud de la circumferència és:

c=2\pi r,

{\ displaystyle c = 2 \ pi r,}

c = 2 \ pi r,

podeu escriure la proporció següent:

{\frac {\alpha ^{(\circ )}}{l}}={\frac {360^{\circ }}{2\pi r}},

{\ displaystyle {\ frac {\ alpha ^ {(\ circ)}} {l}} = {\ frac {360 ^ {\ circ}} {2 \ pi r}},}

{\ frac {\ alpha ^ {{(\ circ)}}} {l}} = {\ frac {360 ^ {\ circ}} {2 \ pi r}},

$\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ és una funció de $L$ ${\ displaystyle l}$ $L$ :

\alpha ^{(\circ )}=f\left(l\right),

{\ displaystyle \ alpha ^ {(\ circ)} = f \ left (l \ right),}

\ alpha ^ {{(\ circ)}} = f \ left (l \ right),

això es per dir

\alpha ^{(\circ )}(l)={\frac {360^{\circ }\cdot l}{2\pi r}},

{\ displaystyle \ alpha ^ {(\ circ)} (l) = {\ frac {360 ^ {\ circ} \ cdot l} {2 \ pi r}},}

\ alpha ^ {{(\ circ)}} (l) = {\ frac {360 ^ {\ circ} \ cdot l} {2 \ pi r}},

a partir del qual

\alpha ^{(\circ )}(l)={\frac {l}{r}}\cdot {\frac {360^{\circ }}{2\pi }}

{\ displaystyle \ alpha ^ {(\ circ)} (l) = {\ frac {l} {r}} \ cdot {\ frac {360 ^ {\ circ}} {2 \ pi}}}

\ alpha ^ {{(\ circ)}} (l) = {\ frac {l} {r}} \ cdot {\ frac {360 ^ {\ circ}} {2 \ pi}}

Per tant, posant $l=r$ ${\ displaystyle l = r}$ $l = r$ , de l'equació anterior obtenim:

\alpha ^{(\circ )}(l=r)={\frac {360^{\circ }}{2\pi }}\approx 57{,}29578^{\circ }\approx 57^{\circ }\ 17'\ 44{,}8''=1\;{\rm {{rad}.}}

{\ displaystyle \ alpha ^ {(\ circ)} (l = r) = {\ frac {360 ^ {\ circ}} {2 \ pi}} \ approx 57 {,} 29578 ^ {\ circ} \ approx 57 ^ {\ circ} \ 17 '\ 44 {,} 8' '= 1 \; {\ rm {{rad}.}}}

\ alpha ^ {{(\ circ)}} (l = r) = {\ frac {360 ^ {\ circ}} {2 \ pi}} \ approx 57 {,} 29578 ^ {\ circ} \ approx 57 ^ {\ circ} \ 17 '\ 44 {,} 8' '= 1 \; {\ rm {{rad}.}}

Ara expressem un angle rodó en radians:

360^{\circ }={\frac {2\pi }{2\pi }}\cdot 360^{\circ }=2\pi \cdot {\frac {360^{\circ }}{2\pi }}=2\pi \;{\rm {{rad}.}}

{\ displaystyle 360 ​​^ {\ circ} = {\ frac {2 \ pi} {2 \ pi}} \ cdot 360 ^ {\ circ} = 2 \ pi \ cdot {\ frac {360 ^ {\ circ} } {2 \ pi}} = 2 \ pi \; {\ rm {{rad}.}}}

360 ^ {\ circ} = {\ frac {2 \ pi} {2 \ pi}} \ cdot 360 ^ {\ circ} = 2 \ pi \ cdot {\ frac {360 ^ {\ circ}} {2 \ pi }} = 2 \ pi \; {\ rm {{rad}.}}

Amb la proporció següent obtenim les fórmules per passar de radians a graus sexagesimals i viceversa:

{\frac {\alpha ^{(\circ )}}{\alpha ^{\mathrm {rad} }}}={\frac {360^{\circ }}{2\pi }}

{\ displaystyle {\ frac {\ alpha ^ {(\ circ)}} {\ alpha ^ {\ mathrm {rad}}}} = {\ frac {360 ^ {\ circ}} {2 \ pi}}}

\ frac {\ alpha ^ {(\ circ)}} {\ alpha ^ {\ mathrm {rad}}} = \ frac {360 ^ \ circ} {2 \ pi}

\alpha ^{(\circ )}={\frac {360^{\circ }}{2\pi }}\cdot \alpha ^{\mathrm {rad} }

{\ displaystyle \ alpha ^ {(\ circ)} = {\ frac {360 ^ {\ circ}} {2 \ pi}} \ cdot \ alpha ^ {\ mathrm {rad}}}

\ alpha ^ {(\ circ)} = \ frac {360 ^ \ circ} {2 \ pi} \ cdot \ alpha ^ {\ mathrm {rad}}

\alpha ^{\mathrm {rad} }={\frac {2\pi }{360^{\circ }}}\cdot \alpha ^{(\circ )}.

{\ displaystyle \ alpha ^ {\ mathrm {rad}} = {\ frac {2 \ pi} {360 ^ {\ circ}}} \ cdot \ alpha ^ {(\ circ)}.}

\ alpha ^ {{{\ mathrm {rad}}}} = {\ frac {2 \ pi} {360 ^ {\ circ}}} \ cdot \ alpha ^ {{(\ circ)}}.

Utilitat de l’elecció del radian

La mesura del radian permet tenir fórmules trigonomètriques molt més senzilles que les que s’obtindrien adoptant els graus sexagesimals o altres unitats de mesura dels angles.

Bàsicament els avantatges del radiant es deriven del fet que, amb aquesta unitat, s’obté l’expressió simple

\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1

{\ displaystyle \ lim _ {x \ to 0} {\ frac {\ sin x} {x}} = 1}

\ lim _ {{x \ to 0}} {\ frac {\ sin x} {x}} = 1

i d’això obtenim moltes altres elegants identitats de càlcul infinitesimal que tenen importants conseqüències pràctiques. Entre aquests

{\frac {d}{dx}}\sin x=\cos x

{\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ sin x = \ cos x}

{\ frac {d} {dx}} \ sin x = \ cos x

\sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\dots

{\ displaystyle \ sin x = x - {\ frac {x ^ {3}} {3!}} + {\ frac {x ^ {5}} {5!}} - \ dots}

\ sin x = x - {\ frac {x ^ {3}} {3!}} + {\ frac {x ^ {5}} {5!}} - \ dots

\cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\dots

{\ displaystyle \ cos x = 1 - {\ frac {x ^ {2}} {2!}} + {\ frac {x ^ {4}} {4!}} - \ dots}

\ cos x = 1 - {\ frac {x ^ {2}} {2!}} + {\ frac {x ^ {4}} {4!}} - \ dots

.

Si es mesuressin angles en graus o altres unitats, les constants de conversió i les seves potències haurien de pesar les fórmules com les anteriors.

Conversió grau-radian

Diagrama per a la conversió grau-radian

Un radiant és igual a $180/\pi$ ${\ displaystyle 180 / \ pi}$ $180 / \ pi$ graus. Per convertir els radians a graus és suficient, doncs, multiplicar per $180/\pi$ ${\ displaystyle 180 / \ pi}$ $180 / \ pi$ :