Radi (geometria)

Radi d’un cercle

Radi (r) i diàmetre (d) d’una esfera.

Segons la definició moderna de geometria, el radi d’un cercle o esfera és un segment de línia que té un extrem a la circumferència o superfície esfèrica i l’altre extrem al centre de la figura. Per extensió, el radi d’un cercle o esfera també es defineix com la longitud d’aquest segment. El radi mesura la meitat del diàmetre .

Més generalment - en geometria , enginyeria , teoria de gràfics i molts altres camps - el radi d'alguna cosa (per exemple, d'un cilindre , gràfic o component mecànic) és la distància dels seus punts més externs del centre o eix.

La definició de radi donada per a cercles i esferes s’estén naturalment al cas dels hiperespais amb més de tres dimensions. Generalment, un segment que uneix un punt d’una hipersfera al seu centre és un raig de la hipersfera.

En una espiral, el radi és una funció de l' angle . Totes les circumferències són comparables a les espirals amb un radi constant.

Fórmules per a cercles

Radi des del diàmetre

El radi $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ d’un cercle de diàmetre $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ I

R={\frac {d}{2}}.

{\ displaystyle R = {\ frac {d} {2}}.}

{\ displaystyle R = {\ frac {d} {2}}.}

Radi de la circumferència

El radi $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ d’un cercle que té una circumferència $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ I

R={\frac {C}{2\pi }}.

{\ displaystyle R = {\ frac {C} {2 \ pi}}.}

{\ displaystyle R = {\ frac {C} {2 \ pi}}.}

Radi del cercle

El radi $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ d’un cercle que té àrea $A$ ${\ displaystyle A}$ $A$ I

R={\sqrt {\frac {A}{\pi }}}.

{\ displaystyle R = {\ sqrt {\ frac {A} {\ pi}}}.}

{\ displaystyle R = {\ sqrt {\ frac {A} {\ pi}}}.}

El radi $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ de la circumferència que travessa tres punts no colineals $P_{1},P_{2},P_{3}$ ${\ displaystyle P_ {1}, P_ {2}, P_ {3}}$ ${\ displaystyle P_ {1}, P_ {2}, P_ {3}}$ ve donat per

R={\frac {|{\vec {OP_{1}}}-{\vec {OP_{3}}}|}{2\sin \theta }},

{\ displaystyle R = {\ frac {| {\ vec {OP_ {1}}} - {\ vec {OP_ {3}}} |} {2 \ sin \ theta}},}

{\ displaystyle R = {\ frac {| {\ vec {OP_ {1}}} - {\ vec {OP_ {3}}} |} {2 \ sin \ theta}},}

on és $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ és l’ angle $\angle P_{1}P_{2}P_{3}.$ ${\ displaystyle \ angle P_ {1} P_ {2} P_ {3}.}$ ${\ displaystyle \ angle P_ {1} P_ {2} P_ {3}.}$ La fórmula es calcula mitjançant el teorema del sinus .

En referència a la figura de la dreta, el mateix radi $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ també es pot expressar de la següent manera:

R={\frac {a}{2\sin \alpha }},

{\ displaystyle R = {\ frac {a} {2 \ sin \ alpha}},}

{\ displaystyle R = {\ frac {a} {2 \ sin \ alpha}},}

on és $a$ ${\ displaystyle a}$ $a$ indica la longitud del segment final $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ I $C.,$ ${\ displaystyle C,}$ ${\ displaystyle C,}$ mentre $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ és l’ angle $\angle BAC.$ ${\ displaystyle \ angle BAC.}$ ${\ displaystyle \ angle BAC.}$

Per tant, si tenim en compte tres punts de coordenades $(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})$ ${\ displaystyle (x_ {1}, y_ {1}), (x_ {2}, y_ {2})}$ ${\ displaystyle (x_ {1}, y_ {1}), (x_ {2}, y_ {2})}$ I $(x_{3},y_{3}),$ ${\ displaystyle (x_ {3}, y_ {3}),}$ ${\ displaystyle (x_ {3}, y_ {3}),}$ el radi de la circumferència que els travessa ve donat per:

R={\frac {\sqrt {((x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2})((x_{2}-x_{3})^{2}+(y_{2}-y_{3})^{2})((x_{3}-x_{1})^{2}+(y_{3}-y_{1})^{2})}}{2|x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3}-x_{2}y_{1}-x_{3}y_{2}|}}.

{\ displaystyle R = {\ frac {\ sqrt {((x_ {2} -x_ {1}) ^ {2} + (y_ {2} -y_ {1}) ^ {2}) ((x_ {2 } -x_ {3}) ^ {2} + (y_ {2} -y_ {3}) ^ {2}) ((x_ {3} -x_ {1}) ^ {2} + (y_ {3} -y_ {1}) ^ {2})}} {2 | x_ {1} y_ {2} + x_ {2} y_ {3} + x_ {3} y_ {1} -x_ {1} y_ {3 } -x_ {2} y_ {1} -x_ {3} y_ {2} |}}.}

{\ displaystyle R = {\ frac {\ sqrt {((x_ {2} -x_ {1}) ^ {2} + (y_ {2} -y_ {1}) ^ {2}) ((x_ {2 } -x_ {3}) ^ {2} + (y_ {2} -y_ {3}) ^ {2}) ((x_ {3} -x_ {1}) ^ {2} + (y_ {3} -y_ {1}) ^ {2})}} {2 | x_ {1} y_ {2} + x_ {2} y_ {3} + x_ {3} y_ {1} -x_ {1} y_ {3 } -x_ {2} y_ {1} -x_ {3} y_ {2} |}}.}

Radi de l’el·lipse

El mateix tema en detall: El·lipse .

El mateix tema en detall: Semiaxis major , Semiaxis menor i Excentricitat .

El radi mitjà $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ d'una el·lipse es defineix com el radi d'un cercle d'àrea (superfície) igual al de l'el·lipse.

És igual a l’arrel quadrada del producte dels dos meixos eixos de l’el·lipse:

R={\sqrt {ab}}=a{\sqrt[{4}]{1-e^{2}}}.

{\ displaystyle R = {\ sqrt {ab}} = a {\ sqrt [{4}] {1-e ^ {2}}}.}

{\ displaystyle R = {\ sqrt {ab}} = a {\ sqrt [{4}] {1-e ^ {2}}}.}

El cercle principal d’una el·lipse es defineix com el cercle amb un centre al centre de l’el·lipse i un radi $a,$ ${\ displaystyle a,}$ ${\ displaystyle a,}$ igual al semieix major de l’el·lipse.

El cercle secundari d’una el·lipse es defineix com el cercle amb un centre al centre de l’el·lipse i un radi $b,$ ${\ displaystyle b,}$ ${\ displaystyle b,}$ igual a l’eix semi-menor de l’el·lipse.

Radi del polígon

El radi d’un polígon regular és el segment que uneix el centre a un dels seus vèrtexs. Per tant, la longitud d’aquest segment és igual al radi de la circumferència circumscrita del polígon.

El radi $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ d'un polígon de $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ costats de longitud $a_{n}$ ${\ displaystyle a_ {n}}$ $a_ {n}$ cadascun, ve donat per:

R={\sqrt {\frac {(a_{n})^{2}}{2-2\cos(2\pi /n)}}}={\frac {a_{n}}{2\sin(\pi /n)}}.

{\ displaystyle R = {\ sqrt {\ frac {(a_ {n}) ^ {2}} {2-2 \ cos (2 \ pi / n)}}} = {\ frac {a_ {n}} { 2 \ sin (\ pi / n)}}.}

{\ displaystyle R = {\ sqrt {\ frac {(a_ {n}) ^ {2}} {2-2 \ cos (2 \ pi / n)}}} = {\ frac {a_ {n}} { 2 \ sin (\ pi / n)}}.}

El radi en funció de la longitud de l' apotema $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ , ve donat per:

R={\frac {h}{\cos(\pi /n)}}.

{\ displaystyle R = {\ frac {h} {\ cos (\ pi / n)}}.}

{\ displaystyle R = {\ frac {h} {\ cos (\ pi / n)}}.}

Recollint totes les constants (a la primera de les dues fórmules), podem escriure que el radi $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ del polígon és $R=R(a_{n},n)$ ${\ displaystyle R = R (a_ {n}, n)}$ ${\ displaystyle R = R (a_ {n}, n)}$ , i ve donat per $R=r_{n}a_{n},$ ${\ displaystyle R = r_ {n} a_ {n},}$ ${\ displaystyle R = r_ {n} a_ {n},}$ amb $r_{n}=1/\left(2\sin {\frac {\pi }{n}}\right).$ ${\ displaystyle r_ {n} = 1 / \ left (2 \ sin {\ frac {\ pi} {n}} \ right).}$ ${\ displaystyle r_ {n} = 1 / \ left (2 \ sin {\ frac {\ pi} {n}} \ right).}$

Això condueix a la taula dels números fixos següents:

{\begin{array}{r|ccr|c}n&r_{n}&&n&r_{n}\\\hline 2&0,50000000&&10&1,6180340-\\3&0,5773503-&&11&1,7747328-\\4&0,7071068-&&12&1,9318517-\\5&0,8506508+&&13&2,0892907+\\6&1,00000000&&14&2,2469796+\\7&1,1523824+&&15&2,4048672-\\8&1,3065630-&&16&2,5629154+\\9&1,4619022+&&17&2,7210956-\end{array}}

{\ displaystyle {\ begin {array} {r | ccr | c} n & r_ {n} && n & r_ {n} \\\ hline 2 & 0,50000000 && 10 & 1,6180340 - \\ 3 & 0 , 5773503 - && 11 & 1,7747328 - \\ 4 & 0,7071068- && 12 & 1,9318517 - \\ 5 & 0,8506508 + && 13 & 2,0892907 + \\ 6 & 1,00000000 && 14 & 2,2469796 + \\ 7 & 1,1523824 + && 15 & 2,4048672 - \\ 8 & 1,3065630 - && 16 & 2,5629154 + \\ 9 & 2 & 1,46190 7210956- \ end {array} }}

{\ displaystyle {\ begin {array} {r | ccr | c} n & r_ {n} && n & r_ {n} \\\ hline 2 & 0,50000000 && 10 & 1,6180340 - \\ 3 & 0 , 5773503 - && 11 & 1,7747328 - \\ 4 & 0,7071068- && 12 & 1,9318517 - \\ 5 & 0,8506508 + && 13 & 2,0892907 + \\ 6 & 1,00000000 && 14 & 2,2469796 + \\ 7 & 1,1523824 + && 15 & 2,4048672 - \\ 8 & 1,3065630 - && 16 & 2,5629154 + \\ 9 & 2 & 1,46190 7210956- \ end {array} }}

que, coneguda la longitud i el nombre de costats, permet calcular el radi del polígon.

Radi d’un hipercub

El radi $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ d’un hipercub $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ -dimensional i lateral $a_{n}$ ${\ displaystyle a_ {n}}$ $a_ {n}$ , I: