Pilota

De la Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure.
Saltar a la navegació Saltar a la cerca
Nota de desambiguació.svg Desambiguació : si busqueu altres significats, vegeu Esfera (desambiguació) .
Esfera generada per ordinador

L' esfera (del grec antic : σφαῖρα , sphaîra ) és el sòlid geomètric format per tots els punts que es troben a una distància inferior o igual a una distància fixa , anomenat radi de l’esfera , des d’un punt anomenat centre de l’esfera .

Conjunt de punts la distància dels quals és igual a s’anomena superfície esfèrica del centre i radi .

Cadascuna de les meitats d’un sòlid esfèric dividit en dos per un pla que passa pel centre o cadascuna de les dues superfícies d’una esfera dividida per la seva circumferència màxima s’anomena "hemisferi".

Representació analítica

En geometria cartesiana , una superfície esfèrica amb un centre i radi es representa amb el conjunt de punts de tal manera que

Esfera 3d.png

Els punts de la superfície esfèrica es poden parametritzar en coordenades esfèriques de la següent manera

on és I representen la latitud i la longitud del punt, variant en intervals

Cada punt de la superfície esfèrica només és descrit per un parell d’aquest tipus, excepte els pols: el parell descriu sempre el pol nord, e sempre el pol sud (per a qualsevol valor de ).

Alternativament, es pot utilitzar l'equació cartesiana de la superfície esfèrica:

amb , , , , nombres reals tals que . A partir de l’equació cartesiana és possible obtenir les coordenades del centre:

Superfície

L ' àrea de la superfície d'una esfera de radi ve donada per l'equació:

Prova analítica en coordenades cartesianes

Es pot considerar l’esfera com un sòlid de rotació que s’obté en girar al voltant de l’eix la gràfica de la funció

que representa un semicercle de radi . Per tant, pel primer teorema de Guldino , la superfície lateral ve donada per:

Prova analítica en coordenades polars

La superfície total de l'esfera es pot obtenir, mitjançant el primer teorema de Guldino , mitjançant la integral següent:

Volum

El volum de l’esfera de radi ve donada per l 'equació ( integral a de la superfície):

La prova d'aquesta fórmula es pot obtenir immediatament mitjançant el mètode d'indivisibles o amb les eines d' anàlisi matemàtica .

Prova analítica

Penseu a afegir totes les àrees dels cercles que s’obtenen seccionant l’esfera amb plans horitzontals. El radi d'aquests cercles variarà segons una funció de la distància del pla horitzontal del centre de l’esfera i atès que l’àrea d’un cercle és igual a per al radi al quadrat:

on és precisament és la distància del pla del centre de l'esfera.

Radi a distància

Per tant, a partir del teorema de Pitàgores , és vàlid:

que, substituït en l'equació de volum, és:

El volum es pot calcular de la mateixa manera d'un segment d'una esfera d'alçada

Prova mitjançant infinitesimals

L’esfera també es pot entendre com el conjunt de nombroses piràmides infinitesimals , totes amb el vèrtex al centre de l’esfera i amb els polígons bàsics de les piràmides que descansen sobre la superfície de l’esfera: aquestes infinites piràmides elementals ompliran totes i només les volum de l’esfera. El volum de cada piràmide és:

mentre que el volum global és igual a

a partir de la qual podem deduir el significat de la fórmula del volum de l’esfera.

Altres immobles

L’esfera és la figura tridimensional amb la proporció mínima superfície / volum: això explica per què molts objectes físics tendeixen a aquesta forma, des de gotes de líquid fins a cossos celestes. Per exemple, les bombolles són esfèriques perquè la tensió superficial tendeix a minimitzar l'àrea del mateix volum.

El cilindre circumscrit té un volum que és la de l’esfera i una superfície lateral que és la mateixa que la de l’esfera. Aquest fet, i les fórmules escrites més amunt, ja eren conegudes per Arquimedes .

A mesura que augmenta el radi, el volum de l’esfera creix més que la superfície. De fet, la relació entre aquestes dues quantitats és .

Una esfera també es pot definir com que té un semicercle que gira al voltant del seu diàmetre . Si utilitzeu una el·lipse , obtindreu un el·lipsoide de rotació.

Terminologia

Dos punts de la superfície esfèrica que es troben en la mateixa línia que passa per l’origen s’anomenen antipodals , i aquesta línia s’anomena eix , ja que és un eix de simetria de l’esfera.

Un cercle gran és una circumferència que té el mateix centre que l'esfera, obtinguda així en tallar la superfície esfèrica amb un pla que passa per l'origen.

Si s’identifica un punt de la superfície esfèrica com el pol nord , el seu antipodal és el pol sud i l’ equador és el cercle gran equidistant dels dos pols. Els grans cercles que passen pels pols són els meridians , mentre que la línia recta que passa per l’origen i els dos pols és l’ eix . Aquesta terminologia també s’utilitza per a cossos celestes com la terra , tot i que no és perfectament esfèrica.

Generalitzacions a altres dimensions

Icona de la lupa mgx2.svg El mateix tema en detall: Hipersfera .

L'esfera es pot generalitzar a altres dimensions . Per a qualsevol número natural , una esfera -dimensional és el conjunt de punts de l’espai euclidià -dimensional que tenen una distància fixa des d’un determinat punt de l’espai.

Per exemple:

  • una esfera de 0 dimensions està formada per un parell de punts dins ;
  • una esfera 1-dimensional és un cercle de radi al pla ;
  • una esfera bidimensional és la superfície esfèrica ordinària;
  • una esfera tridimensional és una esfera en l'espai euclidià de 4 dimensions (entesa com una hipersuperfície tridimensional hipersfèrica).

Les esferes de mida> 2 també s’anomenen hipersferes . L’esfera -dimensional del radi de la unitat, centrat en l’origen, s’indica amb .

Generalitzacions en espais mètrics

Més generalment, en un espai mètric , l'esfera central i radi és el conjunt

Una esfera a l'espai mètric pot ser un objecte molt diferent de l'esfera habitual. Per exemple, pot estar buit: si ho tenim en compte amb la mètrica euclidiana, una esfera de radi està buit si i només si no es pot escriure com a suma de quadrats.

Fórmules

Fórmules de l’esfera
Circumferència
Superfície
Volum
Àrea d'un gran cercle
Volum d'un segment d'esfera
Zona d’un casquet esfèric
Moment d'inèrcia

On amb ens referim al radi de l’esfera, amb l'alçada del segment de l'esfera o la tapa esfèrica, amb l'amplitud en esteradians del casquet.

enginyeria

Esfera campiona del projecte Avogadro
Icona de la lupa mgx2.svg El mateix tema en detall: Quilograma § Propostes per a una definició futura .

Per molt proper que sigui, l'home encara no ha aconseguit produir cap objecte amb una esfericitat matemàticament perfecta. El millor resultat fins ara l’ha aconseguit el Australian Centre for Precision Optics , a Lindfield ( Austràlia ). L’esfera es va obtenir mitjançant un allisat de precisió molt elevat d’una barra de silici 28 (un isòtop de silici ) i és el resultat del Projecte Avogadro , que pretén arribar a la definició del quilogram perfecte, basant-se en el coneixement del nombre exacte d’ àtoms que formen aquesta esfera [1] . El seu diàmetre és de 9,36 centímetres i, com a úniques imperfeccions, té una rugositat de 0,3 nanòmetres i petites desviacions d’esfericitat d’uns 60-70 nanòmetres. Anteriorment, el millor resultat el va obtenir la NASA , que per a la sonda Gravity Probe B , construïda per estudiar la gravetat en òrbita , ha creat giroscopis amb desviacions inferiors a 100 nanòmetres.

Filosofia

Parmènides compara l’ ésser amb una esfera perfecta, sempre igual a si mateix en l’espai i el temps, tancada i finita (per als antics grecs el finit era sinònim de perfecció). De fet, l’esfera és l’únic sòlid geomètric que no té diferències internes i és la mateixa allà on la mireu; la hipòtesi coincideix evocativament amb la teoria de la relativitat d' Albert Einstein que el 1900 dirà: [2] "Si agaféssim binoculars i els apuntéssim a l'espai, veuríem una línia corba tancada a l'infinit" en totes les direccions de l'espai, és a dir, com un tot, una esfera (de fet, per al científic, l' univers és finit, encara que il·limitat, format per un espai rodó replegat sobre si mateix). [3]

Nota

  1. ^ A la recerca de la lliura perfecta
  2. ^ Albert Einstein es va expressar, entre altres coses, d'una manera sorprenentment similar a Parmènides, ja que ell també tendia a negar la discontinuïtat de l' esdevenir i el seu desenvolupament al llarg del temps . Segons Popper, "grans científics com Boltzmann, Minkowski, Weyl, Schrödinger, Gödel i, sobretot, Einstein van concebre les coses de manera similar a Parmènides i es van expressar en termes singularment similars" (extret de Karl Popper, The World of Parmenides , Routledge, 1998, ISBN 9780415237307. , It., 1998).
  3. ^ «La matèria, segons Einstein, es corbaria sobre si mateixa, de manera que l'univers seria il·limitat però finit, similar a una esfera, que és il·limitadament transitable fins i tot si és finita. A més, Einstein creu que no té sentit preguntar-se què existeix fora de l’univers ”(Ernesto Riva, Handbook of Philosophy , p. 132, 2007, ISBN 978-1-4092-0059-8 ).

Articles relacionats

Altres projectes

Enllaços externs

Control de l'autoritat Tesauro BNCF 38152 · LCCN (EN) sh85126590 · GND (DE) 4165914-4 · BNF (FR) cb119812876 (data)
Matemàtiques Portal de matemàtiques : accediu a les entrades de Wikipedia relacionades amb les matemàtiques