Sistema de numeració
Aquesta entrada o secció sobre matemàtiques no cita les fonts necessàries o els presents són insuficients . |
Aquest ítem o secció sobre el tema de les matemàtiques es considera comprovat . |
Un sistema de numeració és una forma d’expressar i representar nombres a través d’un conjunt de símbols . [1] [2] Els números, des de temps antics, han estat una eina necessària per quantificar un conjunt d'elements. Totes les civilitzacions conegudes han ideat un sistema de numeració, començant per les poblacions primitives que van adoptar el sistema de numeració additiva fins al moment actual, en què el sistema de numeració posicional està estès.
Al llarg de la història s’han adoptat diverses notacions numerals, en gran mesura poc racionals, fins a arribar amb certa dificultat a les notacions més habituals, pràctiques i canòniques actuals, les notacions posicionals decimals .
Antecedents
A l' antiga Roma s'utilitzava bàsicament un sistema basat en el número cinc (vegeu els números romans ), additiu i no posicional : el símbol X sempre representa el número deu, V el número cinc, etc. en canvi, el sistema decimal comú és posicional : cada dígit pren un significat diferent en funció de la posició en què es troba (unitats, desenes, centenars, etc.); els sistemes de posició foren dictats pels àrabs .
Des de mitjans del segle XX , s’han especificat sistemes de numeració adequats no només per a humans, sinó també per a màquines. Per satisfer certes necessitats, al costat del sistema canònic, es consideren alguns sistemes exòtics que tenen alguns mèrits pràctics i un cert interès matemàtic. Amb el desenvolupament de l’ ordinador , han sorgit altres problemes que ara es dominen satisfactòriament.
Tipus
Els sistemes de numeració es refereixen, per tant, a la successió dels anomenats nombres naturals . Els sistemes de numeració més antics tenen una base de deu , en referència al fet de comptar amb els dits de les mans. Per obtenir una definició més formal d’un sistema de numeració posicional:
- escollim qualsevol nombre natural b (que no sigui zero i un), que anomenarem base
- triem b símbols diferents, als quals anomenarem dígits
- composeu els números tenint en compte que el valor de cada dígit s'ha de multiplicar per:
- b 0 que és 1 (unitat) si és l'últim dígit a la dreta del número que estem considerant
- b 1 que és b si és el segon dígit de la dreta,
- b 2 si és el tercer dígit de la dreta,
- i així successivament, b (n-1) si és l’enèsim dígit de la dreta
- la suma de tots els valors així obtinguts és el nombre que estem considerant
El sistema decimal-posicional
Els motius de la superioritat del sistema numèric posicional decimal, que es va estendre des de l’ Índia , són el principi posicional (que en si mateix denota els diferents ordres numèrics) i l’ús de deu símbols, inclòs el zero (que omplia els buits). un sistema posicional). Un sistema posicional és un desenvolupament natural i sistemàtic del sistema multiplicatiu en què s’utilitza una base fixa, desapareixen com a determinants i multiplicadors superflus i on el coeficient es representa per la posició del dígit en tota la representació numèrica. Les altres notacions havien de donar a cada dígit un valor fix independentment de les posicions. En la numeració xinesa, els signes de 7829 són 7, mentre que amb el sistema que fem servir són 4. En el nostre sistema, els indicadors de les potències de 10 se suprimeixen i els dígits de les unitats prenen diferents valors en funció de les posicions (ideal barreja entre el nombre de dígits i la necessitat d’iterar-los). D’aquesta manera, el llenguatge escrit comunica una xarxa de conceptes mitjançant una simple permutació d’uns quants símbols.
El sistema de posició decimal també permet una execució còmoda d’operacions aritmètiques : poseu els números que s’afegiran un per sota de l’altre i podeu afegir-los columna per columna, portant els totals superiors a 10 a la següent columna (ordre superior). Si, en canvi, s’utilitzen números romans, no hi ha cap notació que tingui eficàcia algorítmica (és a dir, que no sigui possible realitzar operacions sense recórrer a un suport extern, com l’ àbac ).
Babilonis , xinesos i maies amb el principi de posició ja eren capaços de representar qualsevol número amb una quantitat reduïda de dígits base, però tenien limitacions:
- Els babilonis no van associar diferents dígits amb les 59 unitats significatives del primer ordre, però van iterar els dos símbols disponibles. No concebien zero ni com a nombre (quantitat nul) ni com a operador aritmètic.
- Els xinesos van mantenir la notació ideogràfica i van reintroduir elements de la notació multiplicativa. A més, el seu ús de zero va ser esporàdic i de poca importància.
- Els maies, amb l’anomalia del multiplicador del tercer ordre numèric, van perdre la possibilitat d’utilitzar zero com a operador.
Notacions numèriques alfabètiques
Els escribes hebreus i els matemàtics grecs també van adquirir notacions numèriques equivalents al hieràtic egipci, però van utilitzar les lletres (en ordre consecutiu) dels respectius alfabets .
L’alfabet va ser la primera millora de l’escriptura adaptable a cada inflexió de cada llenguatge articulat i va donar la possibilitat d’escriure totes les paraules amb un nombre reduït de signes fonètics (lletres). Va ser obra dels fenicis , comerciants impulsats per una comprensible necessitat de concisió. El comerç es va estendre al seu sistema:
- a les costes mediterrànies ( grec , llatí , etrusc )
- al sud ( moabites , jueus , nabateus )
- a l'est ( Aramei , Síria , Pèrsia , Índia )
Per tant, es va intentar superposar l’ordre alfabètic i numèric. Els jueus utilitzaven la numeració alfabètica:
- Per a dates del calendari
- Per als paràgrafs de l’ Antic Testament
- Per a les pàgines d’obres escrites
| Número | Jueu | Grec |
|---|---|---|
| 1 | Aleph (') | Alfa (a) |
| 2 | Beth (b) | Beta (b) |
| 3 | Gimel (g) | Rang (g) |
| 4 | Daleth (d) | Delta (d) |
| 5 | Ell (h ') | Epsilon (e) |
| 6 | Waw (w) | Faw-Digamma (f) |
| 7 | Zain (z) | Zeta (dz) |
| 8 | Heth (h) | Edat (e) |
| 9 | Teth (t) | Theta (th) |
| 10 | Yod (y) | Iota (s) |
| 20 | Kaf (k, kh) | Kappa (k) |
| 30 | Lamed (l) | Lambda (l) |
| 40 | Mem (substantiu) | Mi (m) |
| 50 | Monja (n) | Ni (n) |
| 60 | Samekh (s) | Xi (ks) |
| 70 | Ayin (') | Omicron (o) |
| 80 | Pe (p, f) | Pi (p) |
| 90 | Sade (s) | Sant (s) |
| 100 | Qof (q) | Qoppa (q) |
| 200 | Res (r) | Ro (r) |
| 300 | Pecat (s) | Sigma (s) |
| 400 | Tav (t) | Tau (t) |
| Ypsilon (y) | ||
| Phi (ph) | ||
| Psi (ps) | ||
| Qui qui) | ||
| Omega (o) |
Evolució dels sistemes numèrics
Els nombres concrets
Encara avui hi ha pobles que no poden comptar, en el sentit que no conceben nombres abstractes i queden perplexos per operacions del tipus 2 + 2 = 4. Els pigmeus a l’ Àfrica , els botocudos al Brasil i l’ Aranda a Austràlia calculen 1, 2, 3 i després parlen immediatament en termes de “molts” (“tants com els cabells del cap”). Els fills d’aquestes tribus, però, tenen una rapidesa en l’aprenentatge similar a la dels nostres fills.
Els boiximans no superen els cinc. Encara no hi ha cap abstracció matemàtica, la percepció de la pluralitat encara està indissociada de la naturalesa dels objectes considerats.
Per a l'Aranda:
- 1 és ninta
- 2 és tara
- 3 és tara però ninta (2 i 1)
- 4 és tara però tara (2 i 2), al seu torn sinònim de molts.
"2 i 1" i "2 i 2" no són nombres abstractes, sinó parells de coses diferents: ens trobem davant d'una descripció poc sistemàtica de quantitats amb l'ús d'un lèxic específic que per analogia definim "numeral"; el recompte real implica el reconeixement d’una relació que es defineix com a constant entre els diferents termes d’una successió, una relació que al seu torn permet l’abstracció dels objectes individuals concrets que s’han de calcular i l’articulació de la sèrie en una forma independent de l'empiri. Potser les arrels llunyanes dels axiomes de Peano es troben en aquest canvi cognitiu.
Aquesta incapacitat per explicar més enllà dels primers nombres i les conseqüències emocionals i culturals relacionats amb la mateixa, pot ser ben exemplificada per una història que li va passar a Francis Galton , que en una transacció amb un sud-africà Damera s'enfronta a aquesta situació: havia de rebre 2 ovelles a canvi de 4 pals; no obstant això, el Damera no va entendre aquesta equivalència perquè era incapaç de sintetitzar la noció de "4". Per tant, la transacció així construïda el va confondre i va anar i venir d'una ovella a una altra; només es va tranquil·litzar quan es va desglossar la suma en les dues transaccions individuals que la componien [ sense font ] .
Aquesta incapacitat per comptar més enllà de tres o quatre també es pot trobar al lèxic indoeuropeu i en altres cultures: a l'Egipte faraònic 3x correspon al plural de x: 3 escarabats = escarabats. Als antics xinesos, 3 arbres (森) = bosc, 3 homes = multitud. Per als sumeris es deia 1 gesh que també significava home, 2 es deia min que també volia dir dona, 3 era esh que era sinònim de molts i era un sufix del plural. També aquí veiem la xarxa de referències simbòliques que podria generar una situació profana: si 3 fossin simplement 2 i 1, el mascle unit a les dues femelles donés lloc a la multiplicitat de descendència. L'articulació dels primers nombres era simbòlicament isomorfa a la còpula i la generació. Trobarem aquest model a l’ Uni i a la Diada infinita dels pitagòrics i del Plató “esotèric”. Al lèxic indoeuropeu 3 i "molts" són gairebé sinònims: en francès "molto" és très ; en llatí i anglès, "3 vegades" i "moltes vegades" sovint s'indiquen amb el mateix signe; "al di là" és tres en francès antic, trans en llatí, through en anglès; en anglès, crowd is throng ; en italià es diu "massa" i es diu "tropa". Fins i tot 4 té a les seves arrels lèxiques la mateixa referència a la multiplicitat: en alemany vier (4) i viel (molto) són gairebé homòfons; els tettars grecs i el llatí quattuor estan connectats etimològicament al llatí cetera , "les altres coses" (pensem en 1, 2, 3 ... etcètera).
Un signe d’aquesta divisió entre els primers dos-tres nombres i el coneixement dels altres (cetera ...) és també la presència en llengües antigues de nombres en el sentit gramatical com dual ( grec , hebreu , àrab ), mentre que en les tribus oceàniques c 'és fins i tot el doble, el judici, el triple. En aquest cas els substantius també són declinables, òbviament juntament amb el plural. La manca d’abstracció en l’enfocament numèric de la realitat també s’exemple amb el fet que moltes llengües primitives, com per exemple. la llengua tsimshiana de la Columbia Britànica , té paraules diferents per indicar certes quantitats numèriques d’objectes plans o d’objectes allargats o d’homes o canoes, etc.: 8 objectes plans = yuktalt , 8 objectes allargats = ektlaedskan , 8 en el recompte oral = guandalt . Fins i tot en les llengües europees hi ha un rastre d’aquesta diferenciació: en anglès, un parell (sabates), un parell (persones), un aparell (gallines), un jou (bous). En italià parella, parella, parella ...
En llatí, només els números de l'1 al 4 tenen gènere i declinació , mentre que a partir del 5 no. A més, els romans cridaven els nens del primer al quart amb noms sense relació amb els numerals; a partir del cinquè els noms passaren a ser Quint, Sext, Septimi, Octavi, etc. Finalment, l'any romà anterior a la reforma juliana va ser de deu mesos, dels quals el primer va ser Martius, després Aprilis, Maius i Iunius; a partir del cinquè mes trobem Quintilis, Sextilis, setembre, octubre, etc.
Aquesta dificultat per a l’home per anar més enllà dels primers nombres es deu principalment al fet que aquest llindar es correspon amb el que hi ha entre la percepció directa de la pluralitat i el seu càlcul extensiu. La percepció directa de la pluralitat és la percepció de parelles, triples d’entitats idèntiques o similars i és instintiva: fins i tot el nen entre 6 i 12 mesos té una avaluació global de l’espai, té una percepció de conjunts d’objectes familiars i s’adona si finalment alguna cosa és desaparegut. Entre 12 i 18 mesos distingeix entre 1, 2 i "diversos" objectes; entre 2 i 3 anys concep el 3.
Els animals també tenen una percepció directa de la pluralitat i reconeixen si s’ha eliminat un o més components d’un conjunt. Un cadell , entrenat per triar el seu menjar entre dues piles de llavors, distingeix les diferències entre 1, 2, 3, 4 llavors, però no entre 4 i 5 llavors, 7 i 5, etc. Els ocells distingeixen quantitats concretes d’1 a 4 però no més. No sabem fer-ho molt millor: a la pràctica recorrem a la comparació, la divisió, l’agrupació mental o el càlcul abstracte real.
En resum, anar més enllà de 4 amb l’ajut d’una representació visual no simbòlica va ser molt difícil. Per tant, veiem que una relació cognitiva amb realitats numèriques i quantitatives sense comptar sembla haver estat possible fins al punt de fer-nos considerar els primers números com a totalitats perceptives empíriques ( gestalten ) diferenciades qualitativament i no desconstruïbles operativament. A partir del dia 4, però, era necessària una tècnica que permetés d'alguna manera controlar les quantitats més grans. Més endavant veurem com aquest problema es va resoldre almenys temporalment mitjançant l’escriptura o amb signes gràfics i osques. Mentrestant, es necessitava un mètode que permetés al pagès analfabet comprovar si al seu ramat li faltaven ovelles quan tornava de la pastura. Aquesta tècnica era el recompte per correspondència o per comparació: els pastors, a tots els animals que passaven pel llindar d’una tanca, corresponien a una pedra o algun altre objecte petit i manipulable: petxines, ossos, trossos de fem. Les pedres obtingudes les van mantenir segures. Quan el ramat va tornar, un per un van anar repassant les ovelles, aquesta vegada a l'entrada, i cadascú va associar de nou les pedres reservades. D’aquesta manera no sabien ni quantes pedres hi havia ni quantes ovelles però sabien, suposant que el nombre de pedres era constant, si les ovelles havien canviat de nombre.
Cos humà i primeres bases numèriques
Una fase important en l'evolució del mètode de càlcul va ser l'ús del cos humà. Aquest ús probablement també va estar relacionat amb la concepció del cos com a microcosmos, és a dir, com a univers / món / déu a una escala més petita. Aquesta concepció, al seu torn, es va estendre a l’home ja no com a cos sinó com a ment i / o ànima. El concepte de microcosmos hauria servit per conèixer el món i la seva estructura a partir d’una part d’aquest, de vegades privilegiada.
En comptar amb el cos, la majoria de les vegades un partia d’una de les mans, anava cap al cap i girava cap a l’altra mà per després baixar als peus i tornar al punt de partida. A les tribus on es va comptar el cos (i potser encara es compta) amb motiu de transaccions, rituals, càlculs relacionats amb les estacions i el pas del temps i les estrelles, es va utilitzar més d’una persona, de manera que el recompte es va convertir en un col·lectiu, operació social, ritual. El recompte seguia sent un risc, però es va convertir en un risc compartit, un risc que es podia afrontar organitzat per obtenir beneficis per a tota la comunitat.
Però el més important relacionat amb el càlcul "corporal" era que constituïa una etapa important en el procés d'augmentar el potencial epistèmic i cognitiu del propi recompte. De fet, el cos en comparació amb un munt de pedres presenta diferències significatives precisament pel recompte: el munt de pedres és internament homogeni (cada pedra no té diferències significatives amb les altres), discontinu, inarticulat. El cos humà, en canvi, és continu, articulat, cada part del mateix és diferent d’una altra i, per tant, permet dues coses:
- el pas de comptar per comparació (amb pedres de fet) a comptar per successió : mentre que abans, és a dir, comptar era associar un objecte amb un altre que era una referència, ara, en canvi, hem fet un pas endavant cap a l '"abstracció, ja que és possible calcular només una sèrie d'objectes (les parts del cos) sense referir-se a una altra sèrie; les fases individuals del recompte estan ben determinades (dits, canell, colze, orelles), la relació només és la interna amb els membres d'una sola sèrie i el camí està obert a la segona conseqüència considerada, és a dir,
- la determinació més abstracta dels nombres: si sempre feu set passos per anar al colze (5 dits + canell + colze), a partir d’ara el colze serà una referència segura per als altaveus sense haver de començar a comptar de nou.
Per descomptat, també hi ha altres mètodes per relacionar més fortament el recompte amb el temps: un és el de les cançons i les rimes bressol (pensem en aquelles que quan eren nens s’utilitzaven per determinar qui pagava una penyora, qui anava “sota” en un joc i, per tant, va substituir un recompte. veritable i adequat) l'estructura interna de la qual permetia la constitució d'una sèrie numèrica autoreferencial, en el sentit que només compta les relacions internes entre els membres d'una mateixa sèrie, membres que s'interdefinen mútuament.
A més, el recompte a través del cos també està relacionat amb la relació entre recompte, control, dominació i assassinat. Com hem dit, comptar és conèixer, dominar, eliminar un ésser humà: comptar els dits d’un altre implica la seva mort ("tirar dels peus" que també és una manera de tornar a muntar un cadàver, també és una manera de comptar-lo, de sapigueu-ho, per al qual, segons una superstició, no s’estira amb els peus cap a la porta, ja que no exposa els peus a qui entra). Comptar de manera més general està permès pel fet que els esdeveniments acaben, acaben temporalment i són finits espacialment; és a dir, podeu superar-los comptant-los i deixant-los enrere (una mica com passar soldats en revisió).
Finalment, el recompte del cos converteix la sèrie de nombres i nombres simples en una estructura determinada i figurativa gràcies a la qual s’obre el camí de la interpretació geomètrico-figurativa que serà elaborat pels pitagòrics i reprès per tota la tradició esotèrica : la relació entre nombres es converteix en una relació jeràrquica i s’estableixen les bases del concepte d’ordinal, els vincles dels quals amb els nombres cardinals s’acabaran de descriure millor en el transcurs de la reflexió filosòfica final d’aquesta investigació sobre la història del càlcul i la notació numèrica.
Un altre fragment important i posterior d’aquesta història és el del cos humà a la mà com a eina de comptatge. Abans d'abordar aquest tema, però, val la pena fer una divagació sobre la base numèrica que va precedir la introducció de la mà com a "màquina" per comptar; per base numèrica entenem el primer mòdul de càlcul que conté tots els dígits simples d’un sistema, tots els signes fonamentals la repetició dels quals reprodueix tota la sèrie numèrica en la seva il·limitació. La primera base, com ja hem vist, és la base 2 que alguns connecten a la simetria, al caràcter bilobulat d’alguns organismes biològics, inclòs el propi cos humà (2 orelles, 2 ulls, 2 braços, 2 cames, etc.). Els pobles que no saben comptar d’una manera més abstracta són els que es diu que compten per base dos: aquest sistema potser estava estès a tot el món, mentre que actualment només en queda rastre a l’ hemisferi sud (tenim vist els botocudos , la Damera , i després el australià Gumulgals , el Sud d'Amèrica Bakairi i la boiximans ).
Aquests sistemes van tan lluny: per exemple. els indis Zamuco arriben fins a 9 (2 + 2 + 2 + 2 + 1). El sistema també es va perfeccionar: per exemple. en una inscripció persa de l'època de Darío I (cap al segle VI aC ), hi ha una llista de símbols numèrics de l'u al deu; en comparar aquesta llista amb una inscripció babilònica anterior (1800-1600 aC) ens adonem que el sistema persa és una introducció d’un sistema de base 10 en un context de base 2 preexistent: vegem per exemple. el número 3; en babilònic és III mentre que en persa ho és
EL II
Com es pot veure, la tercera falca es troba en una posició particular i rellevant respecte a les altres dues; col·locar els dos primers en plantes diferents crea una base intermedia 2 auxiliar respecte a la base 10, en cas contrari hauria estat el número 3
EL EL EL
En aquest sentit, potser el sistema babilònic era un sistema horitzontal de base 3, on el salt de nivell té lloc amb 4, 7 i 10 i on el nombre que s’afegeix es converteix en una mena de tronc / base d’un arbre i potser no per casualitat veurà que simbòlicament l’arbre està connectat al número 4
III \ I / II
Per a alguns, el sistema base 2 era abans de comptar amb els dits de la mà i afegeixen que hi havia un únic centre de difusió d’aquesta tècnica de càlcul, però és més fàcil pensar en una pluralitat de centres en els quals una mena d’enfocament intuïtiu. a quantitats vinculades a les bases materials del pensament, un enfocament que posteriorment s’elaborarà de manera diferenciada segons la latitud (penseu en les millores del sistema fetes per Zamuto , Boscimani i altres).
També és interessant la transició de comptar amb el cos a la de la mà l’anomenat sistema neobinar , que és un sistema intermedi en el qual, per exemple, als australians aborígens tenim 1, 2, 3 i després ( 2 + 2), (2 +3), (3 + 3) etc. De vegades, el mètode d’agregar els nombres bàsics per constituir-ne d’altres és additiu, altres vegades és multiplicatiu, altres vegades hi ha restes. Per exemple. compta una tribu primitiva del Paraguai
1, 2, 3, 4, (2 + 3), (2 × 3), 1+ (2 × 3), (2 × 4), 1+ (2 × 4), 2+ (2 × 4). .. alternatives: (2 × 4) -1 (2 × 5) -1 (2 × 5) ...
Després, com veurem, en introduir la mà, tindrem que (2 + 3) o (2 × 2 + 1) passen a ser 5, mentre que 4 passa a ser (5-1) i d’aquí en derivarà la notació numèrica . Vegem una seqüència al respecte:
1, 2, 3, 4, 5 (mà), (5 + 1), (5 + 2), (5 + 3), (5 + 4), (5 × 2), (5 × 2 + 1), (5 × 2 + 2), ... (5 × 3), (5 × 3 + 1), (5 × 3 + 2), ... (5 × 4), ...
Tanmateix, el sistema neobinar o altres sistemes mixtos relacionats es converteixen en inconvenients quan, després d’haver elaborat una unitat col·lectiva mínima (base o mòdul), el càlcul genera al seu torn un meta-càlcul de les columnes en què es troben les unitats i els mòduls formats per elles. unitat distribuïda. Aquesta meta-computació també acaba trobant-se contra els límits del qual el mòdul és una expressió o, un cop superats, contra els límits naturals de la percepció directa de la quantitat. Per posar un exemple, comencem amb un sistema de base de números 3:
III
III
III
III
Com podeu veure, el nombre de files, cadascuna de les tres unitats, és 4 i és més que el mòdul 3 adoptat específicament per evitar confusions perceptives i de lectura (us recordem que en aquest cas no es tracta d’un sistema de posició anàleg a la nostra, on cada columna posterior té un ordre numèric diferent). El neobinari que, com hem dit, és una forma mixta, també és contigu geogràficament amb residus del sistema binari: a Madras, per exemple. veiem un residu de neobinaris on
1 =. 2 = .. 3 = ... 6 = ::: 7 = :::. 8 = ::: ..
A Bombai, en canvi, podem trobar un recompte de 5 bases amb una meta-base multiplicativa 5 amb la possibilitat de comptar fins a 30; en aquest cas, però, ja estem davant d’un sistema mixt.
Per parlar del sistema quinari, d'altra banda, hem de referir-nos òbviament a l'entrada de la mà en el camp del càlcul, una entrada de la qual hi ha un rastre en diferents idiomes, com ara la llengua ali de l'Àfrica Central República on 5 es diu moro (mà), mentre que 10 és mbouna diu que seria la unió sincopada de moro + bouna (dues) i és a dir (5 × 2) o "dues mans". En canvi, en la llengua bugilai de Nova Guinea :
1 = tarangesa = dit petit de la mà esquerra 2 = meta kina = dit següent 3 = guigi meta kina = dit del centre 4 = topea = índex 5 = enviar = polzada
La gran predisposició de la mà a ser una màquina de comptar està permesa per aquests factors:
- Articulació complexa que dificulta la representació d’un escultor i que li permet moure’s de moltes maneres
- Disposició asimètrica i diferenciada dels dits que permet a l’ull dels que compten orientar-se millor i representar la diferència entre els nombres, reflectir el seu caràcter individual i determinat.
- La privilegiada relació entre mà i cervell , tematitzada per diversos antropòlegs i paleontòlegs
- L’oposabilitat del polze que permet separar un dit dels altres per no provocar confusió perceptiva
- L’oposabilitat del polze també us permet comptar amb una base diferent fent servir el polze com a punter
- Finalment, l’autonomia relativa de cada dit permet un gran nombre de combinacions; de fet, ja que els dits es poden aixecar tots junts i un a la vegada i això permet representar el nombre tant com a totalitat com com a autoconstitució d’aquesta totalitat i finalment també com a ordinal. Un exemple del primer cas podria ser el 4 com a totalitat, és a dir, IIII (imaginem que es tracta de quatre dits alçats); un exemple del segon cas podria ser la constitució progressiva de 4, és a dir, I ... II ... III ... IIII (imaginem que és un recompte amb els dits de la mà); un exemple d’ordinal podria ser (fins i tot si no és una pràctica habitual a Occident però està estès en altres poblacions) el del dit anular o el dit petit aixecat per indicar el 4 que es pretén com el quart número (volent prescindir de zero).
La mà com a eina de comptatge i les seves bases numèriques
Com hem vist, amb l’aparició de la mà com a eina de càlcul flexible, apareixen altres bases numèriques. L’ideal seria anar de la base 2 a la base 5. Un exemple de la base 5 és el llenguatge Api Nova Hebrídia :
1 = tai 6 = otai = nou 2 = lua 7 = olua = dos nous 3 = tolu 8 = otolu = tres nous 4 = diversos 9 = ovaris = quatre nous 5 = lluna = mà 10 = lluna = dues mans (2 × 5) 11 = lualuna i tai = 2 mans + 1 12 = lualuna i lua = 2 mans + 2 15 = toluluna = 3 mans (3 × 5) 16 = toluluna i tai = 3 mans + 1 20 = variluna = 4 mans (4 × 5)
El fet que la base 5 en aquest cas es basa en l’ús computacional de la mà es pot deduir de la denominació del número 6 (nou), del número 5 (mà) i del número 10 (dues mans).
Quant a les conseqüències filosòfiques de les denominacions esmentades (vinculades sobretot a la qüestió kantiana de les matemàtiques com a disciplina sintètica a priori) veurem més endavant. La base 5 també és present a l’ Àfrica , Oceania i el sud de l’ Índia , llocs on encara sobreviuen les relíquies dels sistemes de notació numèrica residual.
Aquesta base (i la mà que és la seva contrapart somàtica) també té interessants connexions històrico-mítiques: la primera està relacionada amb la mitologia índia on el rei Pandu , incapaç d’unir-se amb la seva dona Kunti , és substituït per divinitats que generen Yudishtira , Arjuna i Bhima. (el jutge, el governant i la força indisciplinada) que s’identifiquen amb el centre, l’índex i el polze respectivament. Kunti fa unire con le divinità anche un'altra moglie, Madri, che genera altri due figli tra loro gemelli, Nakula il Bello e Sahadeva (anulare e mignolo, il primo dei quali poco si muove senza il secondo, o senza il medio).
Ancora più interessante è il mito egizio in cui Nut (dea del cielo stellato) si unisce a Geb (la terra), ma viene punita da Ra (il Sole) che gli impedisce di procreare nei 360 giorni dell'anno. Allora Thot , innamorato di Nut, gioca con Ra e vince cinque giorni, che vengono aggiunti al calendario e nei quali Nut genera Seth , Horus , Osiride , Iside e Nephtis , rispettivamente pollice, indice, medio, anulare e mignolo. Il fatto che Seth faccia a pezzi Osiride si può forse collegare al conteggio che il pollice fa sulle giunture delle altre dita, quasi facendole a pezzi.
Tale base consente anche di arrivare a numeri più grandi (nella fattispecie fino al numero 30), contando con una mano le unità e con l'altra le cinquine che risultano con il computo per unità (non è 5×5 ma 5×6 in quanto tenendo aperta a supporto mnemonico la mano delle cinquine si può contare ancora sino a 5 con la mano delle unità). Invece con la base 10 stessa si può contare fino a 10 con le due mani ma poi il riferimento è direttamente mnemonico o diventa un ulteriore elemento esterno vista la mancanza di un arto ulteriore.
I piedi e la base 20
Ben presto la base 5 si è legata a un'altra base pure legata agli arti e alle dita, la base 20. In realtà è più corretto dire che le basi 10 e 20 siano tentativi di estendere la base 5, in quanto il calcolo delle dita di una mano si può estendere a tutte e due le mani (base 10) e alle dita delle mani e dei piedi insieme (base 20).
Un utilizzo misto (base 5 e base 20), dovuto forse all'eredità Maya , è presente negli Aztechi :
1= ce 6= chica ce (5+1) 2= ome 7= chicome (5+2) chica-ome 3= yey 8= chicuyey (5+3) 4= navi 9= chicnavi (5+4) 5= chica 10= matlactli 20= cem poualli = 1 ventina 30= cem poualli on matlactli = 20×1+10 53= ome poualli on matlactli on yey= 20×2+10+3 (terzo dito del primo piede al secondo conteggio)
Con l'ingresso della base 20 il numero 20 diventava non più "2mani + 2piedi" ma direttamente "uomo" e dunque una nuova unità di misura antropomorfica: per i Banda della Repubblica Centrafricana il termine per 20 è lo stesso per dire "impiccare un uomo", così come contare le dita di un uomo è trattarlo come morto, esaurirlo, manipolarlo come un pupazzo.
Nei dialetti Maya huc uinic = una ventina = un uomo. Per i Maya il mese era di 20 giorni, come un periodo storico era di 20 anni. Per i Malinke della Nuova Guinea 20 è sinonimo di "uomo completo" mentre 40 è sinonimo di "letto" (dita delle mani e dei piedi di uomo e donna coricati sullo stesso giaciglio).
Come la base 10 è un'interazione, un sovrapporsi tra due basi (base 5 e base 2), così la base 20 è una sovrapposizione tra base 10 e base 2 o meglio ancora una doppia simmetria di 5
5 5 5 5 (5+5+5+5) (5×2) + (5×2) 5×2×2
Così era pure per i Maya, un sistema ausiliare di base 5 o 10 che si iterava dalle 4 alle 2 volte.
Dunque tale base congiunta era utilizzata da
- Maya e Aztechi
- Tribù africane : Malinke , Banda , Yoruba
- Tribù sudamericane : Tamanas ( Venezuela )
- Inuit e Ainu di Sachalin
Essa andò in crisi quando i piedi furono più sistematicamente coperti da calzature. Di essa rimangono ancora tracce in Spagna , Gran Bretagna , Irlanda e Francia , forse collegate alla cultura megalitica o almeno a quella celtica .
In inglese troviamo one score = 1×20 ( score dal sassone sceran = taglio, tacca) Nell' antico francese 80 = quatrevingts = 4×20
Un ospedale francese del XIII secolo era chiamato Hopital des quinzevingts (15×20=300). In latino il termine viginti (20) non è collegabile né a 2 né a 10, ma sembra essere associabile con termini come victi o vincti (che sta per "legati mani e piedi"). I sistemi quinari-decimali e quinari-vigesimali furono comunque sostituiti da quello decimale.
Le falangi e la base 12
Altra base numerica storicamente importante è la base 12. Essa è stata molto diffusa e tuttora ha sparsi molti relitti in tutto il mondo (es. fra tutti il termine dozzina ). Essa era usata da Sumeri e Assiro - babilonesi come misura per le lunghezze, le superfici, i volumi e le capacità. In questo contesto la durata della giornata era suddivisa in 12 periodi detti danna di 2 ore ciascuno; a sua volta il cerchio, l' eclittica e lo zodiaco erano suddivisi da queste popolazioni in 12 beru (settori) di 30º ciascuno. Per i Romani l' asse , unità di misura di peso e moneta, era divisa in 12 once come pure in Francia un soldo tornese era divisibile in 12 denari tornesi. Per quanto riguarda le lunghezze britanniche :
1 piede = 12 pollici 1 pollice = 12 linee 1 linea = 12 punti
Per quanto riguarda le misure di peso 12 once (once = una volta) = 1 (vecchia) libbra. Per quanto riguarda le misure monetarie 12 pence = 1 scellino (da shekel/ siclo ?).
L'origine della base 12 sta forse nel numero delle falangi (3 per ogni dito) computabili utilizzando il pollice come cursore (3×4=12); più probabilmente la ragione è dovuta al fatto che un sistema numerico con base 12 ha un numero maggiore di divisori interi rispetto a uno in base 10; infatti un sistema in base 10 ha solo l'unità, il 2, il 5 e il 10; mentre il 12 può essere diviso per 1, 2, 3, 4, 6 e 12; questo tornava utile soprattutto nell'uso monetario, quando per esempio era necessario dividere delle somme tra più persone, i divisori 3 e 4 sono molto più comuni del 5.
La base 12 è presente in Indocina , India , Pakistan , Afghanistan , Iran , Iraq , Turchia , Siria ed Egitto (tale diffusione fa pensare a un utilizzo relativamente recente in ambito islamico ). Nella lingua inglese è rimasta traccia dell'utilizzo della base 12 con i nomi specifici (non composti con un suffisso) "eleven" e "twelve", che indicano rispettivamente il numero undici e il numero dodici, mentre il suffisso "teen" comincia a essere usato solo dal numero 13. L'interazione tra base 10 e base 12 sembra riecheggiare in alcuni termini e in alcune locuzioni antiche: ad es. in antico tedesco 11 = 1 rimasto (dopo che sono state tolte tutte le dita) e 12 = 2 rimaste, da cui forse twelwe = twalif = two left = 2 lasciate fuori. Anche nella tradizione ebraica il resto d' Israele sono le due tribù che derivano dal sottrarre le dita della mano (10) alla base 12.
Il mistero della base 60
Altra importante base, forse collegata alla base 12, è la base 60. La base 60 presa alla lettera prevederebbe 60 segni diversi e sarebbe un sovraccarico della memoria. Essa è stata parzialmente utilizzata dalle civiltà mesopotamiche e da astronomi greci e arabi per misurare archi e angoli. Attualmente viene usata per le misure angolari (e dunque anche latitudine e longitudine ) e per le misure cronometriche . I Sumeri , raffinati commercianti, elaborarono un sistema numerico che si basava su 5, 10, 20.
1, 2, 3, 4, 5, 5+1, 5+2, 5+3, 5+4, 10, 20, 10×3, 20×2, (20×2+10)
60 era una nuova unità che fu denominata geshta per differenziarla da gesh = 1.
1= gesh, ash, dish 4= limmu 7= imin (ia+min) 2= min 5= ia 8= ussu 3= esh 6= ash (ia+gesh?) 9= ilimmu (ia+limmu) 10= u (le dita) 20 = nish 30 (3×10) 40 (2×20) 50 (40+10)
"Imin" e "ilimmu" sono tracce di un sistema a base 5. Anche "ash" forse è un residuo di questo tipo. Come si vede dai numeri oltre il 20, le basi utilizzate e gli algoritmi di composizione sono molteplici, a indicare l'arcaicità del metodo.
600= gesh-u (60×10) 3600= shar 36.000= shar-u (3600×10) 216.000= shar-gal (3600×60) 2.160.000= shar-gal-u (3600×60×10)
Numerazione con diversi livelli
1, 10, 60, 600, 3600, 36.000, 216.000, 2.160.000, 12.960.000 1-10-10×6-(10×6×10)-(10×6×10×6)-(10×6×10×6×10)-(10×6×10×6×10×6)-(10×6×10×6×10×6×10)-(10×6×10×6×10×6×10×6)
Perché la base 60?
- Ipotesi di Otto Neugebauer . Nei testi economici cuneiformi importanza primaria ebbe l'unità di peso (lo shekel che era 1/60 del mana ) come l' assis latino che era 1/12 di oncia e poi divenne 1/12 di ora. A tale ipotesi si può obiettare che un sistema metrologico presuppone un sistema di numerazione e non il contrario.
- Ipotesi astronomica. Anno 360 giorni (12 mesi lunari × 30 giorni); zodiaco 6 costellazioni; sole in ogni costellazione 60 giorni; possibilità di dividere un cerchio in sei parti uguali di 60º ognuna e con la corda di una di esse (sestante) uguale al raggio del cerchio stesso. A tale ipotesi si può obiettare che la suddivisione del cerchio in 360° è avvenuta solo negli ultimi secoli aC, evidentemente dopo l'introduzione della base 60.
- 60 rapporto tra l'ora sumera (2 h) e il diametro apparente del sole espresso in unità di tempo pari ognuna a 2 min.
- Ipotesi della natura mista della base 60. Questa sarebbe il frutto di una sintesi tra base 10 e base 6 e la prova sarebbe le modalità di costituzione dei numeri sumeri vista sopra (v. il ruolo del numero 6). Ma questa tesi ha l'inconveniente di dover poi spiegare l'origine altrettanto misteriosa di questa base 6.
- Ipotesi utilitaristica ( Teone di Alessandria , IV secolo ). Base 60 ha tanti divisori compresi i primi 6 numeri interi di cui è il minimo comune multiplo oltre a esserlo di 12 e 10. Tale sistema consente di rappresentare molte frazioni con interi (es. ½ sarebbe 30=60/2). Ma questo spiega meglio il successo della base 60, non tanto la sua origine. Anche se è ragionevole pensare al frutto di uno studio approfondito fatto da una classe sacerdotale specializzata come quella mesopotamica , visto che si sovrappose probabilmente a un sistema decimale spontaneamente usato (e di cui vi è traccia come sistema ausiliare).
- Ipotesi di George Ifrah . Base 60 sarebbe la sintesi tra la base 5 e la base 12 (fondata sulla conta delle falangi di quattro dita), la base 12 computata su una mano e quella 5 computata come multiplo del 12 sull'altra mano. Oppure il contrario (la base 5 computata su una mano e la base 12 come multiplo del 5 sull'altra mano): traccia linguistica di quest'usanza sarebbe in latino il termine "digiti" (dita) per indicare le unità e il termine "articuli" (articolazioni) per indicare le decine. Dalla Mesopotamia questa tecnica si sarebbe diffusa a Oriente ( India ).
Il trionfo della base 10
La base che infine è stata adottata è la base 10, che non è né troppo grande (con l'inconveniente di troppi segni elementari) né troppo piccola (con l'inconveniente di complicate combinazioni di pochi segni). Inoltre tale base è ben radicata nella costituzione degli arti dell'essere umano (le 10 dita). Il sistema decimale ha una procedura di costituzione periodica dei numeri a tutti livelli praticamente identica (in pratica non c'è bisogno di basi ausiliarie come nel caso della base 60).
La vasta diffusione della base 10 è forse legata alla discesa degli Indoeuropei e all'esistenza di una sola lingua madre nel 2500-3000 aC, giacché le affinità linguistiche del lessico numerico fanno pensare a un'elaborazione precedente l'inizio della diffusione. Forse il sistema decimale si è costituito a un'epoca in cui c'era ancora la comunicazione unicamente orale, per cui i simboli scritti sarebbero addirittura più recenti dei numerali.
In certe regioni dell' Africa Occidentale già si può vedere l'utilizzo di una base 10: ad es. gli animali possono venir contati infilando conchiglie in una striscia bianca fino al numero di 10, con il quale si infila una prima conchiglia in una striscia blu che fa da supporto mnemonico esterno, si svuota la striscia bianca e la si riempie di nuovo fino sempre a 10 ecc.; quando la striscia blu arriva poi a 10 conchiglie (10 decine), si svuota e si mette una prima conchiglia in una striscia rossa (centinaia) ecc. Anche in Cina troviamo un sistema decimale ben sviluppato:
1= yi 11= shi-yi (10+1) 100= bai 2= er 12= shi-er (10+2) 200= er-bai (2×100) 3= san 13= shi-san (10+3) 300= san-bai (3×100) 4= si 5= wu 20= er-shi (2×10) 1000= qian 6= liù 30= san-shi (3×10) 2000= er-qian (2×1000) 7= qi 40= si-shi (4×10) 10000= wan 8= ba 9= jiu 10= shi
Ad es. 53.781:
Cinquantatremilasettecentottantuno 33 lettere in italiano letterale
Wu-wan san-qian qi-bai ba-shi yi 24 lettere in cinese (nella trascrizione in alfabeto latino, che corrispondono a 9 caratteri cinesi)
Cinquediecimilatremillesettecentoottodieciuno 45 lettere traducendo in italiano letterale
10000 in italiano è dieci-mila, in cinese è un termine coniato ex novo ( wan ). In italiano vi sono comunque i termini cento e mille .
Aspetti positivi del sistema a base 10 sono come si è già detto:
- Il miglior adattamento alla memoria umana (rispetto ad es. alla base 60)
- Una tavola di moltiplicazione facilmente memorizzabile
- Migliore rappresentabilità grafica rispetto a basi più piccole (es. in un sistema binario 2452 sarebbe 100110010100)
Tuttavia queste ragioni non sarebbero sufficienti rispetto a basi vicine alla base 10, quali la base 11 e la base 12. La base 12 ad es. preferita dal naturalista francese Buffon :
- Ha più divisori , dunque calcolatori e commercianti sarebbero facilitati perché della base potrebbero utilizzare la metà, un terzo, un quarto e un sesto.
- L'anno avrebbe un numero di mesi uguale alla base.
- Un giorno avrebbe un numero di ore doppio della base.
- Un'ora e un minuto avrebbero rispettivamente un numero di minuti e di secondi quintupli della base.
- La misura in gradi del cerchio sarebbe 30 volte la base e così pure l' eclittica .
Molte ragioni per preferire la base 12 sarebbero cioè legate al fatto che molte misurazioni si effettuano ancora con base 12 o base 60 e fondamentalmente sulla presenza di un maggior numero di divisori. Quest'ultimo aspetto ha un inconveniente nella presenza di un maggior numero di ridondanze (doppioni) frazionarie (es. nel sistema decimale 0,68 è lo stesso che 68/100, 34/50 e 17/25). La base 11 invece ha una rappresentazione priva di queste ambiguità in quanto essendo un numero primo è divisibile solo per sé stessa, per cui le frazioni sarebbero irriducibili e avrebbero una sola rappresentazione simbolica possibile.
Per tutte queste ragioni però la base 10 sembra essere il giusto mezzo tra base 12 (troppi divisori) e base 11 (nessun divisore), oltre ad avere l'indubbio vantaggio di essere esemplificabile in maniera immediata dal numero delle dita delle mani con un forte vantaggio nell'apprendimento infantile. Per Alain Boyer la formalizzazione linguistica e poi scritta di una base 10 già esistente e somaticamente ben riconoscibile, è stata decisiva per il trionfo della base 10. Se, cosa abbastanza improbabile, il linguaggio scritto avesse preceduto la costituzione della base si sarebbe potuto pensare a una molteplicità di basi.
Comunque storicamente la scelta della base 10 si è definita in maniera quasi ufficiale e politica con le decisioni prese dalla Convenzione di Parigi dopo la Rivoluzione francese che disciplinò anche i sistemi di misurazione almeno per ciò che riguarda l' Europa continentale.
Nelle popolazioni più primitive le diverse basi hanno distribuzioni diseguali ma qualche residuo arcaico rimane sempre: ad es. Eels nel 1913 fece una statistica tra centinaia di tribù del Nordamerica dove concluse che il 31% faceva uso di una base 10, il 31% di una base quinaria-decimale, il 27% di una arcaica base 2, il 10% di una base vigesimale e l'1% di una base 3.
Del resto ci sono stati anche dei tentativi di usare basi non legate alla mano tipo la base 4 (anche se più probabilmente tale base è legata all'uso del pollice come cursore che conta le altre dita della mano) di cui vi è traccia nella parola indoeuropea per "8" che sarebbe solo la forma duale di "4", e anche nella relazione che si può instaurare tra il termine "novem" e il termine "novum", quasi che si fosse di fronte a una nuova serie numerica su base ottonaria.
Note
- ^ Enciclopedia Treccani - Numerazione , su treccani.it . URL consultato il 26 luglio 2011 .
- ^ Sapere.it - Numerazione , su sapere.it . URL consultato il 26 luglio 2011 .
Bibliografia
- Cajori, Florian: A History of Mathematical Notations vol. I, The Open Court Publishing Company (1928)
- Cajori, Florian: A History of Mathematical Notations Vol. II, The Open Court Publishing Company (1929)
- Ifrah, George (1984) Storia universale dei numeri Milano: Mondadori. ISBN 88-04-29443-4
- Joseph, George Gheverghese (2000) The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics. 2nd. ed. London: Penguin Books.
- Nicosia, Giovanni Giuseppe (2008) Numeri e culture. Alla scoperta delle culture matematiche nell'epoca della globalizzazione. Trento: Erickson.
- Zaslavsky, Claudia (1973) Africa Counts: Number and Pattern in African Culture. Third revised ed., 1999. Chicago: Lawrence Hill Books. ISBN 1-55652-350-5
Voci correlate
Altri progetti
-
Wikiversità contiene risorse su sistema di numerazione -
Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su sistema di numerazione
Collegamenti esterni
- ( EN ) Sistema di numerazione , su Enciclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.
- Sistemi di numerazione e conversione da base a base , su mry.altervista.org . URL consultato il 1º agosto 2014 (archiviato dall' url originale il 5 agosto 2014) .
| Controllo di autorità | Thesaurus BNCF 5271 · LCCN ( EN ) sh85093233 · GND ( DE ) 4117700-9 · NDL ( EN , JA ) 00762396 |
|---|
