Sòlid de rotació

En matemàtiques , i en particular en geometria , un sòlid de rotació o de revolució és la figura que s’obté al girar al voltant d’un eix $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ una regió plana $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ , sobre el pla del qual es troba el propi eix.

Per exemple, el tor s’obté mitjançant la rotació d’un cercle al voltant d’un eix extern al cercle mateix.

Sòlids obtinguts de la rotació dels trapezis

La figura plana giratòria és sovint un trapezi amb la base a l’eix. L’ esfera, per exemple, és el sòlid de rotació del semicercle al voltant del diàmetre; el cilindre és generat pel rectangle.

Gira una corba

En aquest cas, el sòlid està limitat per una superfície lateral obtinguda fent girar una corba al voltant de l'eix ( superfície de rotació ), i possiblement per dues bases circulars perpendiculars a aquest eix.

Definició com a locus de punts

A no ser que les rotacions de l’espai tridimensional es puguin considerar coincidents amb l’eix $x$ ${\ displaystyle x}$ $x$ per expressar el sòlid en coordenades cilíndriques :

T=\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}|\ a\leq x\leq b\land 0\leq {\sqrt {y^{2}+z^{2}}}\leq f(x)\},

{\ displaystyle T = \ {(x, y, z) \ in \ mathbb {R} ^ {3} | \ a \ leq x \ leq b \ land 0 \ leq {\ sqrt {y ^ {2} + z ^ {2}}} \ leq f (x) \},}

{\ displaystyle T = \ {(x, y, z) \ in \ mathbb {R} ^ {3} | \ a \ leq x \ leq b \ land 0 \ leq {\ sqrt {y ^ {2} + z ^ {2}}} \ leq f (x) \},}

on és $a$ ${\ displaystyle a}$ $a$ I $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ són dos valors reals amb $a<b$ ${\ displaystyle a <b}$ $a <b$ , la funció $\rho =\rho (y,z)={\sqrt {y^{2}+z^{2}}}$ ${\ displaystyle \ rho = \ rho (y, z) = {\ sqrt {y ^ {2} + z ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle \ rho = \ rho (y, z) = {\ sqrt {y ^ {2} + z ^ {2}}}}$ és el radi del cilindre de l’eix $x$ ${\ displaystyle x}$ $x$ i funció $f\colon [a,b]\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle f \ colon [a, b] \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle f \ colon [a, b] \ to \ mathbb {R}}$ és una funció contínua i no negativa, la gràfica de la qual és la corba de la definició situada al pla $x y$ ${\ displaystyle xy}$ $xy$ .

Volum i superfície

El mateix tema en detall: teoremes de Pappo-Guldino .

El volum $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ del sòlid $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ idealment es pot obtenir "tallant-lo" en discos de gruix "infinitesimal" $d x$ ${\ displaystyle dx}$ $dret$ al llarg de l’eix $x$ ${\ displaystyle x}$ $x$ ( Teorema de Fubini ). El disc corresponent a $x$ ${\ displaystyle x}$ $x$ té un volum igual a l’àrea del cercle de radi $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ multiplicat pel gruix $d x$ ${\ displaystyle dx}$ $dret$ . A continuació, afegiu les diverses contribucions infinitesimals $d x$ ${\ displaystyle dx}$ $dret$ (o integrador) que tenim

V=\int _{a}^{b}\pi f(x)^{2}\,dx.

{\ displaystyle V = \ int _ {a} ^ {b} \ pi f (x) ^ {2} \, dx.}

{\ displaystyle V = \ int _ {a} ^ {b} \ pi f (x) ^ {2} \, dx.}

La superfície ve donada per:

A=2\pi \int _{a}^{b}f(x){\sqrt {1+f'(x)^{2}}}\,dx.

{\ displaystyle A = 2 \ pi \ int _ {a} ^ {b} f (x) {\ sqrt {1 + f '(x) ^ {2}}} \, dx.}

{\ displaystyle A = 2 \ pi \ int _ {a} ^ {b} f (x) {\ sqrt {1 + f '(x) ^ {2}}} \, dx.}

Si el sòlid ve donat per

T=\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}|\ a\leq x\leq b\land 0\leq g(x)\leq {\sqrt {y^{2}+z^{2}}}\leq f(x)\},

{\ displaystyle T = \ {(x, y, z) \ in \ mathbb {R} ^ {3} | \ a \ leq x \ leq b \ land 0 \ leq g (x) \ leq {\ sqrt {y ^ {2} + z ^ {2}}} \ leq f (x) \},}

{\ displaystyle T = \ {(x, y, z) \ in \ mathbb {R} ^ {3} | \ a \ leq x \ leq b \ land 0 \ leq g (x) \ leq {\ sqrt {y ^ {2} + z ^ {2}}} \ leq f (x) \},}

és a dir, la figura a girar es troba entre dues funcions no negatives, llavors el volum és

V=\int _{a}^{b}\pi \left(f(x)^{2}-g(x)^{2}\right)dx.

{\ displaystyle V = \ int _ {a} ^ {b} \ pi \ left (f (x) ^ {2} -g (x) ^ {2} \ right) dx.}

{\ displaystyle V = \ int _ {a} ^ {b} \ pi \ left (f (x) ^ {2} -g (x) ^ {2} \ right) dx.}

El volum del sòlid, si s’obté per rotació respecte a l’eix $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ , amb $a>0$ ${\ displaystyle a> 0}$ $a> 0$ , es pot calcular pensant-hi com la suma de les superfícies laterals dels cilindres de l'eix $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ , radi $x$ ${\ displaystyle x}$ $x$ i alçada $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ . Així doncs, afegint respecte a $d x$ ${\ displaystyle dx}$ $dret$ (és a dir, integrar), tenim: