Subgrup

De la Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure.
Saltar a la navegació Saltar a la cerca

Un subconjunt H d’un grup G és un subgrup si és un grup amb l’ operació definida a G.

Cada grup G conté almenys dos subgrups: el propi grup G i el subgrup trivial format només per l’element neutre de G (naturalment coincideixen si només té un element).

Es diu amb precisió un subgrup si H és un subconjunt propi de G.

Propietats dels subgrups

A continuació, tampoc un grup respecte a l’operació , i així sigui l'invers de .

Definicions alternatives

H és un subgrup de G si i només si no és buit i està tancat respecte al producte i invers. En altres paraules:

  • per a a i b en H , el seu producte encara és a H ;
  • per a cada a en H la inversa encara és a H.

Com a alternativa, podem demanar que:

  • per a a i b en H el producte encara és a H.

Si H és finit, és un subgrup si i només si no és buit i està tancat respecte al producte.

Intersecció i generadors

La intersecció de dos subgrups H i H ' segueix sent un subgrup de G. D'altra banda, la unió establerta de dos subgrups és un subgrup si i només si un dels dos subgrups conté l'altre.

Si S és un subconjunt de G , existeix un subgrup més petit dels que contenen S , que es denota per < S > i s’anomena subgrup generat per S. Un element de G es troba en < S > si i només si és el producte d’un nombre finit d’elements de S o els seus inversos.

A continuació, cada element genera un subgrup <a> cíclic . Si <to> és isomorf a Z / n Z per a algun enter enter positiu n, aleshores n és el més petit natural de manera que a n = e, i n és l' ordre de a. Si <to> és isomorf a Z, llavors aun ordre infinit.

Els subgrups formen un entramat complet amb inclusió.

Propietats conservades

  • Un subgrup d’un grup finit és finit.
  • Un subgrup d'un grup abelià és abelià.
  • Un subgrup d’un grup cíclic és cíclic.

Exemples

Sigui G el grup abelià els elements del qual són

G = {0,2,4,6,1,3,5,7}

i el funcionament del qual és l' addició mòdul 8 , resumit a la taula de composició següent.

+ 0 2 4 6 1 3 5 7
0 0 2 4 6 1 3 5 7
2 2 4 6 0 3 5 7 1
4 4 6 0 2 5 7 1 3
6 6 0 2 4 7 1 3 5
1 1 3 5 7 2 4 6 0
3 3 5 7 1 4 6 0 2
5 5 7 1 3 6 0 2 4
7 7 1 3 5 0 2 4 6

Aquest grup té dos subgrups no trivials: J = {0,4} i H = {0,2,4,6} , on J també és un subgrup de H.

Classes laterals i teorema de Lagrange

Icona de la lupa mgx2.svg El mateix tema en detall: classe lateral i teorema de Lagrange (teoria de grups) .

Sigui H un subgrup de G. L’informe sobre G

és una relació d’equivalència i, per tant, indueix una partició de G.

Donat un element a , la classe lateral dreta de H associada a és el conjunt

Es demostra fàcilment que els subconjunts que formen la partició de G són les classes laterals dreta de H. Dos elements a i a ' donen la mateixa classe correcta si i només si estan en relació d'equivalència. El nombre d’aquestes classes s’anomena índex de H en G i s’indica amb el símbol [ G : H ].

Com que a és invertible, el mapa

és una bijecció , per a cada a . D’aquest fet es desprèn el teorema de Lagrange , que diu que si G és finit

on o ( G ) i o ( H ) són els ordres (és a dir, el nombre d’elements) de G i H.

Per tant, si H és un subgrup d’un grup finit G , l’ordre de H ha de dividir l’ordre de G.

Les classes del costat esquerre es defineixen de manera similar, obtenint el mateix resultat. Si aH = Ha per cada a (és a dir, coincideixen les classes esquerra i dreta), llavors H és un subgrup normal .

Articles relacionats

Matemàtiques Portal de matemàtiques : accediu a les entrades de Wikipedia relacionades amb les matemàtiques