Subgrup
Aquesta entrada o secció sobre matemàtiques no cita les fonts necessàries o els presents són insuficients . |
Un subconjunt H d’un grup G és un subgrup si és un grup amb l’ operació definida a G.
Cada grup G conté almenys dos subgrups: el propi grup G i el subgrup trivial format només per l’element neutre de G (naturalment coincideixen si només té un element).
Es diu amb precisió un subgrup si H és un subconjunt propi de G.
Propietats dels subgrups
A continuació, tampoc un grup respecte a l’operació , i així sigui l'invers de .
Definicions alternatives
H és un subgrup de G si i només si no és buit i està tancat respecte al producte i invers. En altres paraules:
- per a a i b en H , el seu producte encara és a H ;
- per a cada a en H la inversa encara és a H.
Com a alternativa, podem demanar que:
- per a a i b en H el producte encara és a H.
Si H és finit, és un subgrup si i només si no és buit i està tancat respecte al producte.
Intersecció i generadors
La intersecció de dos subgrups H i H ' segueix sent un subgrup de G. D'altra banda, la unió establerta de dos subgrups és un subgrup si i només si un dels dos subgrups conté l'altre.
Si S és un subconjunt de G , existeix un subgrup més petit dels que contenen S , que es denota per < S > i s’anomena subgrup generat per S. Un element de G es troba en < S > si i només si és el producte d’un nombre finit d’elements de S o els seus inversos.
A continuació, cada element genera un subgrup <a> cíclic . Si <to> és isomorf a Z / n Z per a algun enter enter positiu n, aleshores n és el més petit natural de manera que a n = e, i n és l' ordre de a. Si <to> és isomorf a Z, llavors a té un ordre infinit.
Els subgrups formen un entramat complet amb inclusió.
Propietats conservades
- Un subgrup d’un grup finit és finit.
- Un subgrup d'un grup abelià és abelià.
- Un subgrup d’un grup cíclic és cíclic.
Exemples
Sigui G el grup abelià els elements del qual són
- G = {0,2,4,6,1,3,5,7}
i el funcionament del qual és l' addició mòdul 8 , resumit a la taula de composició següent.
| + | 0 | 2 | 4 | 6 | 1 | 3 | 5 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 2 | 4 | 6 | 1 | 3 | 5 | 7 |
| 2 | 2 | 4 | 6 | 0 | 3 | 5 | 7 | 1 |
| 4 | 4 | 6 | 0 | 2 | 5 | 7 | 1 | 3 |
| 6 | 6 | 0 | 2 | 4 | 7 | 1 | 3 | 5 |
| 1 | 1 | 3 | 5 | 7 | 2 | 4 | 6 | 0 |
| 3 | 3 | 5 | 7 | 1 | 4 | 6 | 0 | 2 |
| 5 | 5 | 7 | 1 | 3 | 6 | 0 | 2 | 4 |
| 7 | 7 | 1 | 3 | 5 | 0 | 2 | 4 | 6 |
Aquest grup té dos subgrups no trivials: J = {0,4} i H = {0,2,4,6} , on J també és un subgrup de H.
Classes laterals i teorema de Lagrange
Sigui H un subgrup de G. L’informe sobre G
és una relació d’equivalència i, per tant, indueix una partició de G.
Donat un element a , la classe lateral dreta de H associada a és el conjunt
Es demostra fàcilment que els subconjunts que formen la partició de G són les classes laterals dreta de H. Dos elements a i a ' donen la mateixa classe correcta si i només si estan en relació d'equivalència. El nombre d’aquestes classes s’anomena índex de H en G i s’indica amb el símbol [ G : H ].
Com que a és invertible, el mapa
és una bijecció , per a cada a . D’aquest fet es desprèn el teorema de Lagrange , que diu que si G és finit
![{\ displaystyle [G: H] = {o (G) \ over o (H)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a659c61f274e8d6013b12584f84728208c5974aa)
on o ( G ) i o ( H ) són els ordres (és a dir, el nombre d’elements) de G i H.
Per tant, si H és un subgrup d’un grup finit G , l’ordre de H ha de dividir l’ordre de G.
Les classes del costat esquerre es defineixen de manera similar, obtenint el mateix resultat. Si aH = Ha per cada a (és a dir, coincideixen les classes esquerra i dreta), llavors H és un subgrup normal .
