Superfície

De la Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure.
Saltar a la navegació Saltar a la cerca
Nota de desambiguació.svg Desambiguació : si busqueu altres significats, vegeuSuperfície (desambiguació) .
Algunes superfícies
Pis
Pis
El·lipsoide
El·lipsoide
( Quadric )
Sella
Sella
( Gràfic d'una funció )
Hiperboloide
Hiperboloide
( Superfície governada )
Helicoide
Helicoide
( Superfície mínima )
Toro
Toro
Tira de Mobius
Tira de Mobius
(Superfície no orientable )
Toro
Superfície de rotació

En matemàtiques , una superfície és una forma geomètrica sense gruix, que només té dues dimensions. Una superfície pot ser plana (com un pla ) o corba (com la vora d’una esfera o cilindre ). Pot ser limitat o il·limitat, tancat o obert.

Hi ha diverses definicions matemàtiques de superfície: totes estan contingudes en la noció de "superfície abstracta" i de varietat diferenciable . En els casos més comuns, el terme s'utilitza per referir-se a superfícies en un espai tridimensional.

Definició

De manera informal, una superfície és un objecte geomètric ideal sense gruix, que té dues dimensions. Alguns objectes reals s'aproximen a aquesta noció abstracta: per exemple, un paper d'alumini molt prim.

Formalment, la definició de superfície a l’espai requereix nocions matemàtiques no trivials pròpies de la geometria diferencial

Un subconjunt de l ' espai euclidià tridimensional és una superfície si per a cada punt contingut a hi ha un entorn obert i una funció de classe

de tal manera que es creua precisament en els punts on cancel·leu:

i tenir un gradient diferent de zero a tot arreu:

En altres paraules, el conjunt és una superfície si és localment expressable com a lloc de zeros d'una funció. La condició que el gradient sigui diferent de zero garanteix, mitjançant el teorema de Dini , que la superfície és un objecte llis en cada punt.

Edificis

La superfície esfèrica del radi de la unitat centrada a l'origen es pot descriure en forma paramètrica:



o de forma implícita com a lloc geològic de zeros de la funció:
.

Una superfície es pot construir de diverses maneres.

Forma paramètrica

Icona de la lupa mgx2.svg El mateix tema en detall: superfície paramètrica .

Es pot construir una superfície com a imatge d'una funció diferenciable injectiva de dues variables reals en un espai euclidià tridimensional

on és és un conjunt de pla obert . Per obtenir un objecte suau, es necessita el diferencial des de també és injectiu en tots els punts : en altres paraules deu ser una immersió .

Amb aquesta construcció, les coordenades dels punts de la superfície s’expressen fàcilment a través de les equacions paramètriques :

ja que els dos paràmetres varien al descobert .

Aquesta és la definició generalment més útil a efectes pràctics, ja que permet el càlcul d' àrees i integrals de superfície d'una manera fàcil.

Forma implícita global

Icona de la lupa mgx2.svg El mateix tema en detall: superfície cartesiana implícita .
Aquesta superfície en forma de cadira és la gràfica de la funció .

Una superfície es pot construir globalment com un lloc geogràfic de zeros d'una sola funció diferenciable

anomenada equació cartesiana . Per obtenir un objecte suau, el gradient de ha de ser diferent de zero en tots els punts de . Tingueu en compte que la definició general d'una superfície requereix que aquesta funció només existeixi localment.

Gràfic d'una funció

Aquesta superfície és el gràfic de la funció .
L’ hiperboloide que es mostra a la figura s’obté girant una hipèrbola al llarg de l’eix vertical.

El gràfic d’una funció diferenciable

definit en un obert del pla cartesià és una superfície. [1] La superfície es pot indicar implícitament mitjançant l'equació

En cas que el domini tant la planta sencera , la superfície és, per tant, el lloc dels zeros de la funció implícita global

La superfície també es pot descriure en forma paramètrica prenent

No obstant això, moltes superfícies no són gràfics de funcions, com la superfície esfèrica .

Superfície de rotació

Icona de la lupa mgx2.svg El mateix tema en detall: superfície de rotació .

Una superfície de rotació (o revolució ) s’obté girant una corba al voltant d’un eix. L’eix pot ser un dels tres eixos cartesians o qualsevol línia recta.

Conceptes bàsics

Zona

Icona de la lupa mgx2.svg El mateix tema en detall: Area i Surface Integral .
Un pla tangent i un vector normal perpendicular a ell es defineixen en un punt de la superfície.

La zona d’una superfície expressada en forma paramètrica mitjançant una funció condomini es defineix mitjançant les eines de càlcul integral de la següent manera:

A la fórmula hi ha una integral múltiple , les derivades parcials de la funció i el producte vectorial . De la mateixa manera, es defineix la integral d’una funció que té la superfície com a domini: aquesta operació s’anomena integral de superfície .

Normal

Icona de la lupa mgx2.svg El mateix tema en detall: Normal (superfície) .

En cada moment d'una superfície es defineix un pla tangent . El pla tangent es descriu amb les eines proporcionades per l'àlgebra lineal i el càlcul en diverses variables.

Un normal a és un vector perpendicular al pla tangent, que té la unitat de longitud. En cada moment té dues normals, en direccions oposades.

Curvatura

Icona de la lupa mgx2.svg El mateix tema en detall: curvatura gaussiana .
Un hiperboloide , un cilindre i una esfera : aquestes superfícies tenen una curvatura gaussiana negativa, nul·la i positiva (respectivament).

La curvatura és una propietat fonamental de les superfícies a l'espai. A cada punt de la superfície hi ha dues curvatures principals i la curvatura gaussiana es defineix com el producte d’aquestes dues magnituds.

La curvatura gaussiana pot ser positiva, zero o negativa. En un pla, la curvatura és nul·la i es manté la geometria euclidiana habitual; en superfícies amb curvatura positiva o negativa és possible definir geometries no euclidianes , anomenades respectivament el·líptiques i hiperbòliques . En aquestes geometries, les línies euclidianes habituals se substitueixen per geodèsiques , corbes a la superfície que minimitzen (localment) la distància entre dos punts.

Propietats topològiques

La topologia és una branca de la geometria que estudia les propietats dels objectes geomètrics que romanen sense canvis quan es realitza la deformació sense "sacsejar".

Aquesta superfície té el gènere dos. El gènere (o "nombre de nanses") és una propietat topològica: roman inalterat si la superfície es deforma contínuament.

Tipus

Icona de la lupa mgx2.svg El mateix tema en detall: Gènere (matemàtiques) .

El gènere d'una superfície és informalment el "nombre de nanses" que conté.

Ajustabilitat

Icona de la lupa mgx2.svg El mateix tema en detall: ajustabilitat .
Una tira de Möbius és una superfície unilateral (no orientable).

Una superfície és orientable si té dues cares (un "per sobre" i un "per sota"), en cas contrari no orientable . Contràriament al que suggereix la intuïció, en realitat hi ha superfícies amb una sola cara: el prototip és la franja de Möbius .

Tipologia

Superfícies algebraiques

Una equació polinòmica en les tres variables , Per exemple

defineix una superfície algebraica . Perquè el lloc dels zeros sigui realment una superfície llisa, el diferencial de l' equació ha de ser diferent de zero en cada punt. En general, però, es parla d'una "superfície algebraica" fins i tot quan aquesta condició no es compleix: en aquest cas, es poden produir punts no llisos anomenats singularitats .

Si el polinomi és de primer grau, la superfície és un pla. Les superfícies que es poden descriure amb equacions de 2n, 3r, 4t, 5è grau s’anomenen quàdriques , cúbiques , quàtriques , quíntiques , etc. El sextic mostrat a la figura presenta algunes singularitats.

Surface Flat.svg
Spheroid.png
Goursat.png
BarthSextic.png

Quadrics

Icona de la lupa mgx2.svg El mateix tema en detall: Quadrica .

Un quadric és una superfície algebraica de segon grau. Els quadrics es classifiquen amb les eines de l'àlgebra lineal (essencialment el teorema espectral ). Els quadrics no degenerats es divideixen en cinc tipus:

Elipsoid zplostely.png
Paraboloide rotacni.png
Paraboloide hyperbolicky.png
Hiperboloide jednodilny rotacni.png
Hiperboloide d' un solapa
Hyperboloid dvojdilny rotacni.png
Two-flap hiperboloide

Superfícies governades

Icona de la lupa mgx2.svg El mateix tema en detall: superfície governada .

Una superfície es regula si es tracta d’una unió de línies (infinites).

Surface Flat.svg
Cylinder-Ruled-Surface.png
HyperbolicParaboloid-RuledSurface.png
Helicoid.PNG
SurfaceDeveloppable.png

Superfícies mínimes

Icona de la lupa mgx2.svg El mateix tema en detall: superfície mínima .

Una superfície és mínima si té (localment) una superfície mínima entre totes aquelles que tenen una vora fixa. Matemàticament, aquesta condició equival a exigir que la superfície tingui curvatura mitjana nul·la a tot arreu. A la natura, algunes estructures tendeixen a disposar-se de manera que minimitzen l'àrea i, per tant, formen superfícies mínimes.

Catenoid.png
Helicoide.png
Superfície de scherk.jpg

Superfícies tancades

Una superfície està tancada si és limitada i il·limitada, com en una esfera . Amb el llenguatge estricte de la topologia , una superfície es tanca si és compacta . [2]

Bump-map-demo-smooth.png
Torus illustration.png
Esfera amb tres nanses.png
Vora d'un
cos amb nanses
KnottedTorus.png
Toro anudat

Generalitzacions

Superfície abstracta

L’ ampolla de Klein és una superfície on no es pot submergir .

En topologia , una branca important de la geometria , s’estudia una noció més general de superfície. La superfície estudiada en aquest context és un objecte més abstracte, que "té una vida pròpia", no necessàriament continguda en un espai tridimensional.

Formalment, una superfície abstracta és una varietat topològica de Hausdorff amb dimensió 2. Moltes superfícies abstractes es poden representar a l’espai, però no totes: per exemple, l’ ampolla de Klein no és visible a l’interior de l’espai tridimensional (pot ser representable en quatre - espai euclidià dimensional).

En molts contextos és més útil definir una superfície com una varietat diferenciable en lloc de topològica. La diferència, però, no és substancial.

Un altre exemple de superfície abstracta (o algebraica) és la superfície de Veronese , que només es pot representar en un espai projectiu d’almenys cinc dimensions, mentre que la trompeta de Torricelli és una altra superfície paradoxal que es pot dibuixar en tres dimensions.

Superfícies submergides

Una superfície immersa és una superfície que es pot intersectar. Més exactament, és la imatge d’una immersió

d’una superfície abstracta . Per tant, ho requereix té diferencial injectiu a tot arreu: aquesta hipòtesi garanteix que és injectiva localment, però no globalment.

La superfície del nen és una superfície immersa en l 'espai.

Per exemple, l'ampolla de Klein es mostra generalment en un espai tridimensional mitjançant una immersió: la superfície s'intercepta al llarg d'una circumferència. Una altra superfície submergida és la superfície Boy : en aquest cas és un pla projectiu real , una superfície no orientable que, com l’ampolla de Klein, no es pot contenir a l’espai.

Superfícies complexes

En el context de la geometria complexa , una superfície complexa és una varietat complexa de dimensió 2. És un objecte completament diferent de la superfície habitual, ja que té una dimensió topològicament real 4.

Finalment, segons els contextos, el terme superfície es pot utilitzar per indicar estructures amb característiques diferents de les esmentades anteriorment; per exemple, una hipersuperfície en un espai euclidià (o en una varietat diferenciable ) es pot anomenar breument superfície, és a dir, una varietat amb una dimensió menor que la de l'espai ambiental (però no necessàriament 2), de vegades també parlem de superfícies fractals , que indica estructures fractals construïdes a partir d’una superfície, però que, en última instància, no conserven cap característica específica.

Teoremes

Teorema de Gauss-Bonnet

Icona de la lupa mgx2.svg El mateix tema en detall: teorema de Gauss-Bonnet .

Teorema de Stokes

Icona de la lupa mgx2.svg El mateix tema en detall: teorema de Stokes .

Classificació topològica de superfícies

Icona de la lupa mgx2.svg El mateix tema en detall: classificació de superfícies .

Les superfícies compactes es classifiquen en topologia fins a homeomorfisme per tres paràmetres: gènere , nombre de components de vora i ajustabilitat .

Les superfícies de tipus finit també es consideren sovint en topologia, obtenint-se a partir de superfícies compactes eliminant un nombre finit de punts i creant així punxades . Una superfície picada mai és compacta. De manera similar a les superfícies compactes, les de tipus finit es classifiquen per quatre paràmetres: el tipus, el nombre de components de la vora, l’orientabilitat i el nombre de punxades.

Teorema de la uniformització

Icona de la lupa mgx2.svg El mateix tema en detall: teorema d’uniformització de Riemann .

Nota

  1. ^ En aquest cas, la diferenciabilitat és suficient per obtenir un objecte suau.
  2. ^ En alguns contextos es demana que la superfície sigui "sense fronteres": amb la definició donada en aquest ítem, no és necessària aquesta condició addicional.

Articles relacionats

Altres projectes

Enllaços externs

Control de l'autoritat Thesaurus BNCF 21329 · NDL (EN, JA) 00.567.234
Matemàtiques Portal de matemàtiques : accediu a les entrades de Wikipedia relacionades amb les matemàtiques