Superfície governada

Un exemple de superfície (doblement) nervada: l’hiperboloide amb un to. Si agafem espaguetis amb una mà (que en realitat són segments rectes), aquests es disposen aproximadament com un hiperboloide.

En geometria, una superfície es diu enganxada si s’obté a partir d’una unió de línies rectes . Heurísticament , podem pensar que una superfície reglada es compon de moltes línies, la unió de les quals forma la superfície mateixa (la figura hauria de donar-ne una idea intuïtiva). Els exemples més habituals i més fàcils de visualitzar són el pla , el cilindre i el con . L' hiperboloide d'un sol pas i el paraboloide hiperbòlic són superfícies doblement reglades.

L’interès per les superfícies reglades es deu al fet que la propietat (d’una superfície) de ser reglada es preserva mitjançant mapes projectius . També per aquest motiu, també troben aplicacions en geometria descriptiva i arquitectura .

Definició

Una superfície $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ diem governat si hi ha una família de línies rectes $\{r_{\alpha }\}_{\alpha \in {\mathcal {A}}}$ ${\ displaystyle \ {r _ {\ alpha} \} _ {\ alpha \ a {\ mathcal {A}}}}$ ${\ displaystyle \ {r _ {\ alpha} \} _ {\ alpha \ a {\ mathcal {A}}}}$ de tal manera que $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ és la unió de les línies d'aquesta família: $S=\bigcup _{\alpha \in {\mathcal {A}}}r_{\alpha }$ ${\ displaystyle S = \ bigcup _ {\ alpha \ in {\ mathcal {A}}} r _ {\ alpha}}$ ${\ displaystyle S = \ bigcup _ {\ alpha \ in {\ mathcal {A}}} r _ {\ alpha}}$ . Equivalentment, $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ es regula si per a cada punt de $s\in S$ ${\ displaystyle s \ in S}$ $s \ a S$ passa una línia recta $r_{s}$ ${\ displaystyle r_ {s}}$ $r_ {s}$ que tot està contingut a $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ ^[1] .

De la mateixa manera, es diu que una superfície està doblement governada si es tracta de la unió de dues famílies de línies rectes disjuntes .

Parameteritzacions

Donada la seva simplicitat, hi ha parametritzacions estàndard i universals de les superfícies reglades. Per descomptat, en general només són vàlids localment. És a dir, per a cada punt del governat hi ha un barri on es pot parametritzar de la següent manera (en endavant $I$ ${\ displaystyle E}$ $I$ és un subconjunt de nombres reals $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ ):

S(t,u)=p(t)+q(t)\,u\quad t\in E,\,u\in \mathbb {R}

{\ displaystyle S (t, u) = p (t) + q (t) \, u \ quad t \ in E, \, u \ in \ mathbb {R}}

{\ displaystyle S (t, u) = p (t) + q (t) \, u \ quad t \ in E, \, u \ in \ mathbb {R}}

;

per $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ fix, $S(t,u)$ ${\ displaystyle S (t, u)}$ ${\ displaystyle S (t, u)}$ és una línia del paràmetre $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ , i per tant és ratllat. De vegades, aquesta parametrització s'escriu com $S(t,u)={\bar {p}}(t)\,u+{\bar {q}}(t)\,(1-u)$ ${\ displaystyle S (t, u) = {\ bar {p}} (t) \, u + {\ bar {q}} (t) \, (1-u)}$ ${\ displaystyle S (t, u) = {\ bar {p}} (t) \, u + {\ bar {q}} (t) \, (1-u)}$ que, amb una definició adequada de ${\bar {p}}$ ${\ displaystyle {\ bar {p}}}$ ${\ displaystyle {\ bar {p}}}$ I ${\bar {q}}$ ${\ displaystyle {\ bar {q}}}$ ${\ displaystyle {\ bar {q}}}$ equival a l'anterior, però destaca com es pot obtenir una superfície reglada unint les línies que uneixen dues corbes que no es tallen.

Per exemple, des de la parametrització:

p(t)=(\cos(t),\sin(t),0)

{\ displaystyle p (t) = (\ cos (t), \ sin (t), 0)}

{\ displaystyle p (t) = (\ cos (t), \ sin (t), 0)}

r(t)=(\cos(t/2)\cos(t),\cos(t/2)\sin(t),\sin(t/2))

{\ displaystyle r (t) = (\ cos (t / 2) \ cos (t), \ cos (t / 2) \ sin (t), \ sin (t / 2))}

{\ displaystyle r (t) = (\ cos (t / 2) \ cos (t), \ cos (t / 2) \ sin (t), \ sin (t / 2))}

s’obté una superfície a ratlles que conté la franja de Möbius .

Resultats matemàtics sobre les superfícies reglades

Es regula cada superfície desenvolupable (és a dir, qualsevol superfície que es pugui desplegar localment sobre un pla).
Les úniques superfícies mínimes a governar són l’avió i l’ helicoide .
Els mapes projectius conserven la propietat d’una superfície a governar o a doblar.

Construcció i aplicacions

Es poden obtenir moltes superfícies reglades interessants a partir del moviment d’una línia recta, anomenada generatriu , al llarg de tres còniques (possiblement degenerades), anomenades directrius . Al variar les posicions recíproques d’aquestes línies, hi ha diferents tipus de línies, com ara els conoides i els helicoides

Aplicacions en arquitectura

En aquest rifle, el feix F està format per plans paral·lels.

Tòquio , catedral de Santa Maria
Kenzō Tange , 1964

La Spezia , catedral de Crist Rei
Adalberto Libera , 1956-1975

Les línies més utilitzades en arquitectura es construeixen amb aquest procés. És a dir, es generen pel moviment d’una línia generadora $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ al llarg de tres línies rectes $a$ ${\ displaystyle a}$ $a$ , $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ , $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ . Dues de les quals, $a$ ${\ displaystyle a}$ $a$ I $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ , se solen assignar com a arestes del reglat; el tercer director, $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ , es determina com una línia de suport per a un feix de pisos $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ . Cada pis de $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ s’identifica mitjançant dues línies coplanars: una és el generador $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ i l’altra línia té la direcció perpendicular a la posició dels plans identificats per les dues línies de direcció $a$ ${\ displaystyle a}$ $a$ , $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ .

En cas que aquest paquet $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ està format per plans paral·lels entre si (vegeu la figura del costat), tenim una recta impròpia com a tercera directriu.

Cal tenir en compte que les línies identificades per un quadrilàter esbiaixat tenen la propietat de generar-se de manera doble, és a dir, significa que les línies d’aquesta línia es poden assumir com a generadors i viceversa. Per tant, estan doblement folrats .

Altres tipus de línies fàcilment construïbles i volumètricament interessants poden ser aquelles que tinguin com a línies de vora dues còniques no degenerades, com, per exemple, la de cons, tant en suport adequat com inadequat (vegeu la galeria de fotos).

Galeria d'imatges

Geometria descriptiva, aplicació del concepte de superfícies reglades per construir una biblioteca.

Nota

^ L'equivalència entre les dues nocions es produeix fàcilment. Per exemple, si per a cada punt de S passa una recta tot contingut en S, la superfície serà la unió d'aquestes línies. Per contra, si S és una unió de línies rectes, almenys s’ha de passar per cadascun dels seus punts, i ha de contenir-se necessàriament a S (en cas contrari, a la unió hi hauria punts externs a S ).