Tetraedre

De la Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure.
Saltar a la navegació Saltar a la cerca
Tetraedre
Tetraedre.jpg
Paio Sòlid platònic
Forma de cares Triangles
Nº de cares 4
Nombre d'arestes 6
Nombre de vèrtexs 4
Valences a la part superior 3
Grup de simetria Grup simètric
Dual a si mateix
Angles diedres aproximadament 70 ° 32 ′
Propietat no quiral
Desenvolupament del pla
Tetraedre pla.svg
Model 3D (en format .stl ) d’un tetraedre

En geometria , un tetraedre és un poliedre de quatre cares . Un tetraedre és necessàriament convex , les seves cares són triangulars , té 4 vèrtexs i 6 arestes .

El tetraedre també es pot definir com un senzill tridimensional, és a dir, com el sòlid tridimensional amb menys vèrtexs.

El tetraedre regular és un dels cinc sòlids platònics , és a dir, un dels poliedres regulars i les seves cares són triangles equilàters . Té un angle diedre d'aproximadament 70 ° 31 ′ 43.606 ″ o més precisament un angle diedre .

Paràmetres mètrics

Alguns paràmetres mètrics del tetraedre regular amb arestes de longitud són els següents

Alçada (és a dir, distància entre el vèrtex i la cara oposada)
Angle diedre (aproximadament 71 °)
Superfície total
Volum

La construcció d’Euclides

Fig. 1: determinació de la cantonada del tetraedre inscrit a l'esfera de diàmetre
Fig. 2: construcció del tetraedre

Al llibre XIII dels seus Elements , Euclides descriu el mètode per inscriure un tetraedre regular en una esfera d’un diàmetre determinat. La construcció descrita per Euclides és la següent:

És (vegeu la figura 1) un diàmetre de l'esfera donada; dividiu-lo en el punt i que és el doble de . Construeix un semicercle sobre aquest diàmetre, aixeca la perpendicular des de i denotar amb el punt d'intersecció entre aquesta perpendicular i la circumferència. Finalment, connecteu els punts .

Repliqueu la mateixa construcció en dues plantes que hi passen , amb un angle dièdric de 120 ° respecte al pla inicial (figura 2). Finalment, traça les connexions entre els punts , i .

És clar que els vèrtexs , , I es troben als arcs de cercles construïts sobre el diàmetre , de manera que estan tots a la superfície de l’esfera de diàmetre igual. Per a la construcció de les vores , i són iguals entre si, igual que les vores , i (aquests últims determinen el triangle equilàter a la base del tetraedre). Queda per verificar que aquests dos grups d’arestes tinguin la mateixa longitud.

Tetraedre euclidià 5.svg

A la part superior de la figura esquerra es reprodueix la construcció inicial: per al segon teorema d’ Euclides , el segment és la mitjana proporcional entre segments I . Suposant (sense pèrdua de generalitat) que el diàmetre del cercle és unitari, resulta que aquests segments tenen les longituds indicades a la figura, per tant:

Gràcies al teorema de Pitàgores ara és possible calcular la longitud del segment o, per comoditat, la seva plaça:

La part inferior del dibuix representa la base del tetraedre. El segment és el catet del triangle rectangle dins , tan:

En conseqüència, les tres vores a la base del tetraedre i les tres vores que acaben al vèrtex , tots tenen la mateixa longitud i, per tant, el poliedre construït s’inscriu realment a l’esfera determinada. També cal tenir en compte que, a partir d’aquests càlculs, també es desprèn que el quadrat de qualsevol aresta del tetraedre és igual a del quadrat del diàmetre .

Poliedre dual

Tetraedres

El poliedre dual del tetraedre és encara un tetraedre. El tetraedre regular és l'únic dels cinc sòlids platònics que és dual de si mateix: els altres quatre estan acoblats per la relació de dualitat.

Simetries

Simetries del tetraedre: rotacions al voltant d’un eix o reflex respecte d’un pla.

El tetraedre té simetries : cada permutació dels quatre vèrtexs s’aconsegueix de fet mitjançant una sola simetria. Per tant, el grup de simetria és el grup de permutacions de elements, de cardinalitat . Entre aquests, són rotacions al voltant d’uns eixos, mentre que els altres inverteixen l’ orientació de l’espai.

El Les simetries de rotació (inclosa la identitat ) formen un subgrup , isomorf al grup altern . L'eix de rotació d'una simetria pot connectar el centre d'una cara amb un vèrtex oposat ( possibilitat), o els punts mitjans de dues vores oposades ( possibilitat). Es poden realitzar rotacions de 120 o 240 ° al voltant d’un eix del primer tipus, mentre que la rotació és de 180 ° al voltant d’un eix del segon tipus. En total, s’obtenen llavors rotacions, a les quals cal afegir la identitat per obtenir-les totes simetries rotatives.

Les 12 simetries de rotació del tetraedre. A més de la identitat, n’hi ha rotacions al llarg d’eixos que passen pels vèrtexs e al llarg d’eixos que connecten arestes oposades.

En numerar els vèrtexs del tetraedre amb , , I , les rotacions de 120 ° i 240 ° corresponen a les permutacions

és a dir, als cicles de l'ordre . Les rotacions de 180 ° corresponen en canvi a permutacions

obtingut com a producte de - cicles independents.

Des del simetries que no preserven l’orientació, són reflexos al llarg de plans: cada pla conté una vora i el punt mitjà de la vora oposada (com a la figura de la dreta). Corresponen als cicles d’ordre

Finalment, els altres Les simetries són composicions de reflexos al llarg de plans i rotacions i corresponen als cicles d’ordre

Generalitzacions

Icona de la lupa mgx2.svg El mateix tema en detall: Simplex .

El simplex és un objecte que generalitza la noció de tetraedre a una mida arbitrària. Aquest és l’únic politop -haver dimensional vèrtexs, mentre que tots els altres politops tenen una quantitat més gran. Per a el simplex és un segment , un triangle i un tetraedre respectivament.

Einstein i el tetraedre

Tetraedre construït amb sis escuradents

Hi ha una curiosa anècdota sobre Albert Einstein [1] : en una conferència de físics , aclaparat per les crítiques per la seva boja concepció d'un espai - temps en quatre dimensions, va proposar el següent problema:

Donats sis escuradents , construeix quatre triangles equilàters .

Cap dels presents va aconseguir col·locar els escuradents en un pla per formar els triangles requerits, cosa que de fet és impossible, al qual Einstein va compondre un tetraedre amb els sis escuradents i va dir:

Si no sabeu fer servir la tercera dimensió, que experimenteu cada dia, com voleu entendre la quarta?

Nota

  1. Maria Toffetti, Summer camp for young geniuses , A. Mondadori, 2009.

Articles relacionats

Altres projectes

Enllaços externs

Control de l'autoritat GND ( DE ) 4129555-9
Matemàtiques Portal de matemàtiques : accediu a les entrades de Wikipedia relacionades amb les matemàtiques