Tetraedre

Tetraedre

Paio	Sòlid platònic
Forma de cares	Triangles
Nº de cares	4
Nombre d'arestes	6
Nombre de vèrtexs	4
Valences a la part superior	3
Grup de simetria	Grup simètric $S_{4}$ ${\ displaystyle S_ {4}}$ $S_ {4}$
Dual	a si mateix
Angles diedres	aproximadament 70 ° 32 ′
Propietat	no quiral
Desenvolupament del pla

Manual

Model 3D (en format .stl ) d’un tetraedre

En geometria , un tetraedre és un poliedre de quatre cares . Un tetraedre és necessàriament convex , les seves cares són triangulars , té 4 vèrtexs i 6 arestes .

El tetraedre també es pot definir com un senzill tridimensional, és a dir, com el sòlid tridimensional amb menys vèrtexs.

El tetraedre regular és un dels cinc sòlids platònics , és a dir, un dels poliedres regulars i les seves cares són triangles equilàters . Té un angle diedre d'aproximadament 70 ° 31 ′ 43.606 ″ o més precisament un angle diedre $\textstyle \arccos {\frac {1}{3}}$ ${\ displaystyle \ textstyle \ arccos {\ frac {1} {3}}}$ ${\ displaystyle \ textstyle \ arccos {\ frac {1} {3}}}$ .

Paràmetres mètrics

Alguns paràmetres mètrics del tetraedre regular amb arestes de longitud $a$ ${\ displaystyle a}$ $a$ són els següents

Alçada (és a dir, distància entre el vèrtex i la cara oposada)	$\,{\frac {{\sqrt {6}}a}{3}}$ ${\ displaystyle \, {\ frac {{\ sqrt {6}} a} {3}}}$ $\, {\ frac {{\ sqrt {6}} a} {3}}$
Angle diedre	$\,\arccos \left({\frac {1}{3}}\right)$ ${\ displaystyle \, \ arccos \ left ({\ frac {1} {3}} \ right)}$ $\, \ arccos \ left ({\ frac {1} {3}} \ right)$ (aproximadament 71 °)
Superfície total	$\,a^{2}{\sqrt {3}}$ ${\ displaystyle \, a ^ {2} {\ sqrt {3}}}$ $\, a ^ {2} {\ sqrt {3}}$
Volum	$\,{\frac {1}{12}}a^{3}{\sqrt {2}}$ ${\ displaystyle \, {\ frac {1} {12}} a ^ {3} {\ sqrt {2}}}$ $\, {\ frac {1} {12}} a ^ {3} {\ sqrt {2}}$

La construcció d’Euclides

Fig. 1: determinació de la cantonada

A C.

{\ displaystyle AC}

B.C

del tetraedre inscrit a l'esfera de diàmetre

A B.

{\ displaystyle AB}

AB

Fig. 2: construcció del tetraedre

Al llibre XIII dels seus Elements , Euclides descriu el mètode per inscriure un tetraedre regular en una esfera d’un diàmetre determinat. La construcció descrita per Euclides és la següent:

És $A B.$ ${\ displaystyle AB}$ $AB$ (vegeu la figura 1) un diàmetre de l'esfera donada; dividiu-lo en el punt $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ i que $A D.$ ${\ displaystyle AD}$ $A$ és el doble de $D. B.$ ${\ displaystyle DB}$ $DB$ . Construeix un semicercle sobre aquest diàmetre, aixeca la perpendicular des de $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ i denotar amb $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ el punt d'intersecció entre aquesta perpendicular i la circumferència. Finalment, connecteu els punts $A C.$ ${\ displaystyle AC}$ $B.C$ .

Repliqueu la mateixa construcció en dues plantes que hi passen $A B.$ ${\ displaystyle AB}$ $AB$ , amb un angle dièdric de 120 ° respecte al pla inicial (figura 2). Finalment, traça les connexions entre els punts $C. I$ ${\ displaystyle CE}$ $HI HA$ , $C. F.$ ${\ displaystyle CF}$ $CF$ i $I F.$ ${\ displaystyle EF}$ $EF$ .

És clar que els vèrtexs $A$ ${\ displaystyle A}$ $A$ , $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ , $I$ ${\ displaystyle E}$ $I$ I $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ es troben als arcs de cercles construïts sobre el diàmetre $A B.$ ${\ displaystyle AB}$ $AB$ , de manera que estan tots a la superfície de l’esfera de diàmetre igual. Per a la construcció de les vores $A C.$ ${\ displaystyle AC}$ $B.C$ , $A I$ ${\ displaystyle AE}$ $AE$ i $A F.$ ${\ displaystyle AF}$ $AF$ són iguals entre si, igual que les vores $C. I$ ${\ displaystyle CE}$ $HI HA$ , $C. F.$ ${\ displaystyle CF}$ $CF$ i $I F.$ ${\ displaystyle EF}$ $EF$ (aquests últims determinen el triangle equilàter a la base del tetraedre). Queda per verificar que aquests dos grups d’arestes tinguin la mateixa longitud.

A la part superior de la figura esquerra es reprodueix la construcció inicial: per al segon teorema d’ Euclides , el segment $x$ ${\ displaystyle x}$ $x$ és la mitjana proporcional entre segments $A D.$ ${\ displaystyle AD}$ $A$ I $D. B.$ ${\ displaystyle DB}$ $DB$ . Suposant (sense pèrdua de generalitat) que el diàmetre del cercle és unitari, resulta que aquests segments tenen les longituds indicades a la figura, per tant:

AD:x=x:DB,

{\ displaystyle AD: x = x: DB,}

AD: x = x: DB,

{\frac {2}{3}}:x=x:{\frac {1}{3}},

{\ displaystyle {\ frac {2} {3}}: x = x: {\ frac {1} {3}},}

{\ frac {2} {3}}: x = x: {\ frac {1} {3}},

x^{2}={\frac {2}{9}}.

{\ displaystyle x ^ {2} = {\ frac {2} {9}}.}

x ^ {2} = {\ frac {2} {9}}.

Gràcies al teorema de Pitàgores ara és possible calcular la longitud del segment $A C.$ ${\ displaystyle AC}$ $B.C$ o, per comoditat, la seva plaça:

AC^{2}=x^{2}+AD^{2}={\frac {2}{9}}+\left({\frac {2}{3}}\right)^{2}={\frac {2}{9}}+{\frac {4}{9}}={\frac {6}{9}}={\frac {2}{3}}.

{\ displaystyle AC ^ {2} = x ^ {2} + AD ^ {2} = {\ frac {2} {9}} + \ left ({\ frac {2} {3}} \ right) ^ { 2} = {\ frac {2} {9}} + {\ frac {4} {9}} = {\ frac {6} {9}} = {\ frac {2} {3}}.}

AC ^ {2} = x ^ {2} + AD ^ {2} = {\ frac {2} {9}} + \ left ({\ frac {2} {3}} \ right) ^ {2} = {\ frac {2} {9}} + {\ frac {4} {9}} = {\ frac {6} {9}} = {\ frac {2} {3}}.

La part inferior del dibuix representa la base del tetraedre. El segment $C. F.$ ${\ displaystyle CF}$ $CF$ és el catet del triangle $H. C. F.$ ${\ displaystyle HCF}$ $HCF$ rectangle dins $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ , tan:

CF^{2}=HC^{2}-HF^{2}=(2x)^{2}-x^{2}=3x^{2}=3{\frac {2}{9}}={\frac {6}{9}}={\frac {2}{3}}.

{\ displaystyle CF ^ {2} = HC ^ {2} -HF ^ {2} = (2x) ^ {2} -x ^ {2} = 3x ^ {2} = 3 {\ frac {2} {9 }} = {\ frac {6} {9}} = {\ frac {2} {3}}.}

CF ^ {2} = HC ^ {2} -HF ^ {2} = (2x) ^ {2} -x ^ {2} = 3x ^ {2} = 3 {\ frac {2} {9}} = {\ frac {6} {9}} = {\ frac {2} {3}}.

En conseqüència, les tres vores a la base del tetraedre i les tres vores que acaben al vèrtex $A$ ${\ displaystyle A}$ $A$ , tots tenen la mateixa longitud $s=AC=CF={\sqrt {\frac {2}{3}}}$ ${\ displaystyle s = AC = CF = {\ sqrt {\ frac {2} {3}}}}$ ${\ displaystyle s = AC = CF = {\ sqrt {\ frac {2} {3}}}}$ i, per tant, el poliedre construït s’inscriu realment a l’esfera determinada. També cal tenir en compte que, a partir d’aquests càlculs, també es desprèn que el quadrat de qualsevol aresta del tetraedre és igual a $\scriptstyle {\frac {2}{3}}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ frac {2} {3}}}$ $\ scriptstyle {{\ frac {2} {3}}}$ del quadrat del diàmetre $A B.$ ${\ displaystyle AB}$ $AB$ .

Poliedre dual

Tetraedres

El poliedre dual del tetraedre és encara un tetraedre. El tetraedre regular és l'únic dels cinc sòlids platònics que és dual de si mateix: els altres quatre estan acoblats per la relació de dualitat.

Simetries

Simetries del tetraedre: rotacions al voltant d’un eix o reflex respecte d’un pla.

El tetraedre té $24$ ${\ displaystyle 24}$ $24$ simetries : cada permutació dels quatre vèrtexs s’aconsegueix de fet mitjançant una sola simetria. Per tant, el grup de simetria és el grup $S_{4}$ ${\ displaystyle S_ {4}}$ $S_ {4}$ de permutacions de $4$ ${\ displaystyle 4}$ $4$ elements, de cardinalitat $4!=24$ ${\ displaystyle 4! = 24}$ $4! = 24$ . Entre aquests, $12$ ${\ displaystyle 12}$ $12$ són rotacions al voltant d’uns eixos, mentre que els altres $12$ ${\ displaystyle 12}$ $12$ inverteixen l’ orientació de l’espai.

El $12$ ${\ displaystyle 12}$ $12$ Les simetries de rotació (inclosa la identitat ) formen un subgrup , isomorf al grup altern $A_{4}$ ${\ displaystyle A_ {4}}$ $A_ {4}$ . L'eix de rotació d'una simetria pot connectar el centre d'una cara amb un vèrtex oposat ( $4$ ${\ displaystyle 4}$ $4$ possibilitat), o els punts mitjans de dues vores oposades ( $3$ ${\ displaystyle 3}$ $3$ possibilitat). Es poden realitzar rotacions de 120 o 240 ° al voltant d’un eix del primer tipus, mentre que la rotació és de 180 ° al voltant d’un eix del segon tipus. En total, s’obtenen llavors $2\cdot 4+3=11$ ${\ displaystyle 2 \ cdot 4 + 3 = 11}$ $2 \ cdot 4 + 3 = 11$ rotacions, a les quals cal afegir la identitat per obtenir-les totes $12$ ${\ displaystyle 12}$ $12$ simetries rotatives.

Les 12 simetries de rotació del tetraedre. A més de la identitat, n’hi ha

2\cdot 4=8

{\ displaystyle 2 \ cdot 4 = 8}

2 \ cdot 4 = 8

rotacions al llarg d’eixos que passen pels vèrtexs e

3

{\ displaystyle 3}

3

al llarg d’eixos que connecten arestes oposades.

En numerar els vèrtexs del tetraedre amb $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ , $2$ ${\ displaystyle 2}$ $2$ , $3$ ${\ displaystyle 3}$ $3$ I $4$ ${\ displaystyle 4}$ $4$ , les rotacions de 120 ° i 240 ° corresponen a les permutacions

(123),(132),(124),(142),(134),(143),(234),(243)

{\ displaystyle (123), (132), (124), (142), (134), (143), (234), (243)}

(123), (132), (124), (142), (134), (143), (234), (243)

és a dir, als cicles de l'ordre $3$ ${\ displaystyle 3}$ $3$ . Les rotacions de 180 ° corresponen en canvi a permutacions

(12)(34),(13)(24),(14)(23)

{\ displaystyle (12) (34), (13) (24), (14) (23)}

(12) (34), (13) (24), (14) (23)

obtingut com a producte de $2$ ${\ displaystyle 2}$ $2$ - cicles independents.

Des del $12$ ${\ displaystyle 12}$ $12$ simetries que no preserven l’orientació, $6$ ${\ displaystyle 6}$ $6$ són reflexos al llarg de plans: cada pla conté una vora i el punt mitjà de la vora oposada (com a la figura de la dreta). Corresponen als cicles d’ordre $2$ ${\ displaystyle 2}$ $2$

(12),(13),(14),(23),(24),(34)

{\ displaystyle (12), (13), (14), (23), (24), (34)}

(12), (13), (14), (23), (24), (34)

Finalment, els altres $6$ ${\ displaystyle 6}$ $6$ Les simetries són composicions de reflexos al llarg de plans i rotacions i corresponen als cicles d’ordre $4$ ${\ displaystyle 4}$ $4$

(1234),(1243),(1324),(1342),(1423),(1432).

{\ displaystyle (1234), (1243), (1324), (1342), (1423), (1432).}

(1234), (1243), (1324), (1342), (1423), (1432).

Generalitzacions

El mateix tema en detall: Simplex .

El simplex és un objecte que generalitza la noció de tetraedre a una mida arbitrària. Aquest és l’únic politop $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -haver dimensional $n+1$ ${\ displaystyle n + 1}$ $n + 1$ vèrtexs, mentre que tots els altres politops tenen una quantitat més gran. Per a $n=1,2,3$ ${\ displaystyle n = 1,2,3}$ $n = 1,2,3$ el simplex és un segment , un triangle i un tetraedre respectivament.

Einstein i el tetraedre

Tetraedre construït amb sis escuradents

Hi ha una curiosa anècdota sobre Albert Einstein ^[1] : en una conferència de físics , aclaparat per les crítiques per la seva boja concepció d'un espai - temps en quatre dimensions, va proposar el següent problema:

Donats sis escuradents , construeix quatre triangles equilàters .

Cap dels presents va aconseguir col·locar els escuradents en un pla per formar els triangles requerits, cosa que de fet és impossible, al qual Einstein va compondre un tetraedre amb els sis escuradents i va dir:

Si no sabeu fer servir la tercera dimensió, que experimenteu cada dia, com voleu entendre la quarta?

Nota

↑ Maria Toffetti, Summer camp for young geniuses , A. Mondadori, 2009.

Articles relacionats

Altres projectes

El Viccionari conté el diccionari lema « tetraedre »
Wikimedia Commons conté imatges o altres fitxers sobre tetraedre

Enllaços externs

(EN) Eric W. Weisstein, tetraedre , a MathWorld Wolfram Research.
( EN ) Poliedres uniformes , a mathconsult.ch .
( EN ) Poliedres en realitat virtual , a georgehart.com .
Models de paper de poliedres , a korthalsaltes.com .

Control de l'autoritat	GND ( DE ) 4129555-9

Portal de matemàtiques : accediu a les entrades de Wikipedia relacionades amb les matemàtiques

[1] Maria Toffetti, Summer camp for young geniuses , A. Mondadori, 2009.

[1]