Triangle

De la Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure.
Saltar a la navegació Saltar a la cerca
Nota de desambiguació.svg Desambiguació : si busqueu altres significats, vegeu Triangle (desambiguació) .

El triangle és un polígon amb tres costats i tres angles.

Característiques del triangle

La suma dels angles interns d’un triangle és igual a 180 °.

El triangle es caracteritza per les següents propietats:

  1. és una "figura no deformable", ja que, un cop assignades les longituds dels costats, els angles també es determinen de manera unívoca; això no és generalment cert per als polígons amb un major nombre de costats;
  2. és l'únic polígon que no pot ser còncau ;
  3. és l'únic polígon per al qual no es requereix que sigui regular de manera que sempre sigui possible circumscriure i inscriure una circumferència , perquè una i només una circumferència sempre passa per tres punts;
  4. la suma dels angles interns és igual a un angle pla , és a dir, 180 °; no obstant això, cal tenir en compte que aquesta igualtat només és vàlida en geometria euclidiana i no en altres tipus de geometria com la geometria esfèrica i hiperbòlica , on en canvi aquesta suma és, respectivament, superior i inferior a 180 °;
  5. la suma de dos costats sempre ha de ser superior al tercer costat o la diferència de dos costats sempre ha de ser inferior al tercer costat.

Dos triangles són congruents si compleixen almenys un delscriteris de congruència .

Es diu que dos triangles són similars si compleixen almenys un dels criteris de semblança .

Classificació dels triangles

Els triangles es poden classificar segons la longitud relativa dels costats:

  • En un triangle equilàter tots els costats tenen la mateixa longitud. Un triangle equilàter es pot definir de manera equivalent com un triangle equiangular, és a dir, un triangle que té els seus angles interns d’amplada igual, igual a 60 °.
  • En un triangle isòsceles, dos costats tenen la mateixa longitud. Un triangle isòsceles es pot definir de manera equivalent com un triangle que té dos angles interns d’igual amplada.
  • En un triangle escalè, tots els costats tenen diferents longituds. Un triangle escalè es pot definir de manera equivalent com un triangle que té els tres angles interns de diferents amplituds.
Triangle equilàter Triangle isòsceles Triangle escalè
Equilàter Isòsceles Escalè

Els triangles també es poden classificar segons la mida del seu angle intern més gran; es descriuen a continuació mitjançant graus d'arc.

Per als triangles que no són rectangles, es manté una generalització del teorema de Pitàgores conegut en trigonometria com teorema de Carnot .

Triangle rectangle Triangle obús Triangle acutangle
Rectangle Obús Acutangolo

Triangles degenerats i triangles ideals

Un triangle degenerat és un triangle amb un angle de 180 °. Els altres dos angles necessàriament tenen amplada zero i un costat mesura la suma dels altres dos: aquest triangle, com a conjunt de punts (gràficament), constitueix un segment .

El terme triangle degenerat també s’utilitza per a una figura obtinguda com a límit d’un triangle en què alguns dels seus vèrtexs van a l’infinit; aquesta figura també s’anomena triangle ideal . Aquesta construcció s’utilitza àmpliament en geometria hiperbòlica .

Un triangle ideal amb un vèrtex a l’infinit resulta ser una franja delimitada per un segment i dues semirectes que s’estenen indefinidament en la mateixa direcció, cadascuna de les quals té una de les del segment com a extremitat; en particular les rectes poden ser ortogonals al segment.

Punts destacables

Cada triangle està associat a diversos punts, cadascun dels quals té un paper que, en certa manera, el qualifica com a central del triangle mateix. Definim aquests punts de manera concisa fent referència a un triangle els vèrtexs dels quals denotem , I i els costats oposats dels quals designem respectivament , I .

  • ortocentre de és la intersecció de les seves altures ;
  • centroid o centroid de és la intersecció de les seves mitgeres ;
  • incentro de és la intersecció de les seves tres mediatrius , o el centre del cercle de ;
  • circumcentre de és la intersecció dels seus tres eixos, o el centre de la seva circumferència circumscrita (vegeu circumferència circumscrita );
  • excentro de oposat a un dels seus vèrtexs és la intersecció de la seva bisectriu en i de les dues bisectrius externes en relació amb els dos vèrtexs restants I ;
  • El punt de Bevan de és el circumcentre del triangle excentral de ;
  • Punt d' Apol·loni és la intersecció dels tres segments que, respectivament, uneixen un vèrtex des de amb el punt en què l'excerqui de Oposat a és tangent al cercle tangent als tres excerchi di ;
  • Punt de Gergonne és la intersecció dels tres segments que, respectivament, uneixen un vèrtex des de amb el punt en què es troba el costat de Oposat a és tangent del cercle de ;
  • Punt de Nagel de és la intersecció dels tres segments cadascun dels quals uneix un vèrtex de amb el punt en què el seu costat oposat és tangent al corresponent excircle ;
  • El punt de Fermat de és la intersecció dels tres segments cadascun dels quals uneix un vèrtex des de amb la part superior que no pertany a del triangle equilàter un dels costats del qual és el costat Oposat a i extern a ;
  • Punt de Napoleó és la intersecció dels tres segments que connecten cadascun del seu vèrtex amb el centre del triangle equilàter construït, externament a , al costat Oposat a ;
  • centre dels nou punts de és el centre de l'anomenat cercle de nou punts (o cercle de Feuerbach ) de ; aquests nou punts comprenen els tres punts mitjans dels costats de , els tres peus de les altures de , els punts mitjans dels tres segments cadascun dels quals uneix un vèrtex de amb l' ortocentre de .
  • punt de pedal de és la intersecció de cadascuna de les tres línies perpendiculars als costats de .
  • punt cevià de és la intersecció de tres rectes cevianes .

Formulari

Fórmules trigonomètriques

S’aplica la trigonometria per trobar l’alçada

L’àrea d’un triangle es pot trobar trigonomètricament . Utilitzant les lletres de la figura de la dreta, l’alçada . Substituint això a la fórmula trobada anteriorment (geomètricament), . Per tant, l'àrea d'un triangle també és igual al mig producte de dos costats pel sinus de l'angle inclòs.

En conseqüència, per la identitat coneguda , l'àrea de qualsevol triangle de dues cares I i l’angle inclòs , és igual a l’àrea del triangle amb els mateixos costats I però amb cantonada addicional inclosa

L'àrea d'un paral·lelogram amb dos costats adjacents I i angle inclòs és el doble que el triangle que té les mateixes dades, és a dir .

Per resoldre aquest triangle, és a dir, determinar la mesura de tots els costats i cantonades, dades de dos costats i l’angle inclòs entre ells, o bé un costat i les dues cantonades adjacents, utilitzant la llei dels sinus i la llei dels cosinus , busqueu millor aquesta última conegut com a Carnot.

La zona del triangle es pot mesurar amb la fórmula matemàtica:

on és és la base i l'alçada relativa, perquè el triangle s'ha de veure com la meitat d'un paral·lelogram bàsic i alçada .

Alternativament, es pot calcular l’àrea del triangle amb

on és , I són els costats i el mig perímetre ( fórmula de Heron ).

Fórmules analítiques

Considerem un triangle al pla cartesià identificat a través dels parells de coordenades dels vèrtexs .

La seva àrea ve donada per l’expressió

o amb una expressió que no utilitza el concepte de matriu

i el seu perímetre ve donat per

Geometries no euclidianes

El concepte de triangle s’estén i s’utilitza àmpliament en totes les geometries no euclidianes . Un triangle en una geometria no euclidiana generalment difereix en el fet que la suma dels seus angles interns no és de 180 °: aquesta suma és inferior a 180 ° per a cada triangle en el cas d’una geometria hiperbòlica , mentre que és més alta per a cada triangle de la cas d’una geometria el·líptica .

Teoremes del triangle

I criteri de congruència de triangles

Si dos triangles tenen respectivament dos costats congruents i l'angle entre ells, són congruents.

II criteri de congruència de triangles

Si dos triangles tenen respectivament dos angles congruents i el costat adjacent a ells, són congruents.

III criteri de congruència dels triangles

Si dos triangles tenen respectivament els tres costats congruents, són congruents. Criteri general de congruència de triangles Si dos triangles tenen respectivament un costat i dos angles qualsevol congruents, són congruents.

Teorema de l'angle extern

En un triangle, cada angle extern és més gran que cadascun dels angles interns no adjacents a ell.

Teorema de l'angle extern

En un triangle, l’angle extern d’un d’ells és igual a la suma dels altres dos angles interns.

Corol·lari 1: un triangle no pot tenir ni dos angles rectes, ni dos angles obtusos, ni un angle recte i obtús, és a dir, un triangle té almenys dos angles aguts.
Corol·lari 2: els angles de la base d’un triangle isòsceles són aguts.
Desigualtat triangular

En un triangle cada costat és inferior a la suma dels altres dos i superior a la seva diferència.

Criteri de similitud dels triangles

Si dos triangles tenen dos angles respectivament congruents, són similars.

El criteri de semblança dels triangles

Si dos triangles tenen respectivament dos costats proporcionals i l'angle entre ells congruents, llavors són similars.

III criteri de semblança dels triangles

Si dos triangles tenen els seus tres costats respectivament proporcionals, són similars.

Teorema d’Euclides

En un triangle rectangle cada catet és una mitjana proporcional entre la hipotenusa i la seva projecció sobre la hipotenusa.

Teorema d’Euclides

En un triangle rectangle l’alçada relativa a la hipotenusa és la mitjana proporcional entre les projeccions dels catets sobre la hipotenusa.

Teorema de Pitàgores

En cada triangle rectangle, el quadrat construït a la hipotenusa és igual a la suma dels quadrats construïts a les potes.

Curiositat

La tradició de definir l’escalè com un triangle per al qual no s’especifica la relació entre els costats es remunta al llibre Topologia de Marco Manetti (2014). [1] Aquesta definició és considerada preferible a la tradicional per molts autors contemporanis. [ sense font ]

Nota

  1. ^ Això és diferent de demanar que tots els costats siguin diferents. De fet, en la nova terminologia un triangle isòscel es considerarà escalè.

Articles relacionats

Altres projectes

Enllaços externs

Control de l'autoritat Thesaurus BNCF 38738 · LCCN (EN) sh85137407 · BNF (FR) cb11946969k (data)
Matemàtiques Portal de matemàtiques : accediu a les entrades de Wikipedia relacionades amb les matemàtiques