Triangle

El triangle és un polígon amb tres costats i tres angles.

Característiques del triangle

La suma dels angles interns d’un triangle és igual a 180 °.

El triangle es caracteritza per les següents propietats:

és una "figura no deformable", ja que, un cop assignades les longituds dels costats, els angles també es determinen de manera unívoca; això no és generalment cert per als polígons amb un major nombre de costats;
és l'únic polígon que no pot ser còncau ;
és l'únic polígon per al qual no es requereix que sigui regular de manera que sempre sigui possible circumscriure i inscriure una circumferència , perquè una i només una circumferència sempre passa per tres punts;
la suma dels angles interns és igual a un angle pla , és a dir, 180 °; no obstant això, cal tenir en compte que aquesta igualtat només és vàlida en geometria euclidiana i no en altres tipus de geometria com la geometria esfèrica i hiperbòlica , on en canvi aquesta suma és, respectivament, superior i inferior a 180 °;
la suma de dos costats sempre ha de ser superior al tercer costat o la diferència de dos costats sempre ha de ser inferior al tercer costat.

Dos triangles són congruents si compleixen almenys un delscriteris de congruència .

Es diu que dos triangles són similars si compleixen almenys un dels criteris de semblança .

Classificació dels triangles

Els triangles es poden classificar segons la longitud relativa dels costats:

En un triangle equilàter tots els costats tenen la mateixa longitud. Un triangle equilàter es pot definir de manera equivalent com un triangle equiangular, és a dir, un triangle que té els seus angles interns d’amplada igual, igual a 60 °.
En un triangle isòsceles, dos costats tenen la mateixa longitud. Un triangle isòsceles es pot definir de manera equivalent com un triangle que té dos angles interns d’igual amplada.
En un triangle escalè, tots els costats tenen diferents longituds. Un triangle escalè es pot definir de manera equivalent com un triangle que té els tres angles interns de diferents amplituds.


Equilàter	Isòsceles	Escalè

Els triangles també es poden classificar segons la mida del seu angle intern més gran; es descriuen a continuació mitjançant graus d'arc.

Un triangle rectangle (o triangle rectangle ) té un angle intern de 90 °, és a dir, un angle recte . El costat oposat a l’angle recte s’anomena hipotenusa ; és el costat més llarg del triangle rectangle . Els altres dos costats del triangle s’anomenen catheti . Per a aquest triangle es manté el teorema de Pitàgores .
Un triangle obtús (o triangle obtús ) té un angle intern superior a 90 °, és a dir, un angle obtús .
Un triangle agut (o triangle agut ) té tots els angles interns inferiors a 90 °, és a dir, té tres angles aguts .
Un triangle equiangular , és a dir, si té tots els angles interns iguals, és a dir, 60 °, és a dir, si i només si és un triangle equilàter .

Per als triangles que no són rectangles, es manté una generalització del teorema de Pitàgores conegut en trigonometria com teorema de Carnot .


Rectangle	Obús	Acutangolo

Triangles degenerats i triangles ideals

Un triangle degenerat és un triangle amb un angle de 180 °. Els altres dos angles necessàriament tenen amplada zero i un costat mesura la suma dels altres dos: aquest triangle, com a conjunt de punts (gràficament), constitueix un segment .

El terme triangle degenerat també s’utilitza per a una figura obtinguda com a límit d’un triangle en què alguns dels seus vèrtexs van a l’infinit; aquesta figura també s’anomena triangle ideal . Aquesta construcció s’utilitza àmpliament en geometria hiperbòlica .

Un triangle ideal amb un vèrtex a l’infinit resulta ser una franja delimitada per un segment i dues semirectes que s’estenen indefinidament en la mateixa direcció, cadascuna de les quals té una de les del segment com a extremitat; en particular les rectes poden ser ortogonals al segment.

Punts destacables

Cada triangle està associat a diversos punts, cadascun dels quals té un paper que, en certa manera, el qualifica com a central del triangle mateix. Definim aquests punts de manera concisa fent referència a un triangle $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ els vèrtexs dels quals denotem $A$ ${\ displaystyle A}$ $A$ , $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ I $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ i els costats oposats dels quals designem respectivament $a$ ${\ displaystyle a}$ $a$ , $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ I $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ .

ortocentre de $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ és la intersecció de les seves altures ;
centroid o centroid de $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ és la intersecció de les seves mitgeres ;
incentro de $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ és la intersecció de les seves tres mediatrius , o el centre del cercle de $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ ;
circumcentre de $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ és la intersecció dels seus tres eixos, o el centre de la seva circumferència circumscrita (vegeu circumferència circumscrita );
excentro de $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ oposat a un dels seus vèrtexs $A$ ${\ displaystyle A}$ $A$ és la intersecció de la seva bisectriu en $A$ ${\ displaystyle A}$ $A$ i de les dues bisectrius externes en relació amb els dos vèrtexs restants $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ I $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ ;
El punt de Bevan de $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ és el circumcentre del triangle excentral de $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ ;
Punt d' Apol·loni $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ és la intersecció dels tres segments que, respectivament, uneixen un vèrtex $A$ ${\ displaystyle A}$ $A$ des de $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ amb el punt en què l'excerqui de $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ Oposat a $A$ ${\ displaystyle A}$ $A$ és tangent al cercle tangent als tres excerchi di $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ ;
Punt de Gergonne $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ és la intersecció dels tres segments que, respectivament, uneixen un vèrtex $A$ ${\ displaystyle A}$ $A$ des de $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ amb el punt en què es troba el costat de $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ Oposat a $A$ ${\ displaystyle A}$ $A$ és tangent del cercle de $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ ;
Punt de Nagel de $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ és la intersecció dels tres segments cadascun dels quals uneix un vèrtex de $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ amb el punt en què el seu costat oposat és tangent al corresponent excircle ;
El punt de Fermat de $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ és la intersecció dels tres segments cadascun dels quals uneix un vèrtex $A$ ${\ displaystyle A}$ $A$ des de $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ amb la part superior que no pertany a $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ del triangle equilàter un dels costats del qual és el costat $a$ ${\ displaystyle a}$ $a$ Oposat a $A$ ${\ displaystyle A}$ $A$ i extern a $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ ;
Punt de Napoleó $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ és la intersecció dels tres segments que connecten cadascun del seu vèrtex $A$ ${\ displaystyle A}$ $A$ amb el centre del triangle equilàter construït, externament a $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ , al costat $a$ ${\ displaystyle a}$ $a$ Oposat a $A$ ${\ displaystyle A}$ $A$ ;
centre dels nou punts de $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ és el centre de l'anomenat cercle de nou punts (o cercle de Feuerbach ) de $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ ; aquests nou punts comprenen els tres punts mitjans dels costats de $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ , els tres peus de les altures de $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ , els punts mitjans dels tres segments cadascun dels quals uneix un vèrtex de $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ amb l' ortocentre de $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ .
punt de pedal de $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ és la intersecció de cadascuna de les tres línies perpendiculars als costats de $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ .
punt cevià de $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ és la intersecció de tres rectes cevianes .

Formulari

Fórmules trigonomètriques

S’aplica la trigonometria per trobar l’alçada

h

{\ displaystyle h}

h

L’àrea d’un triangle es pot trobar trigonomètricament . Utilitzant les lletres de la figura de la dreta, l’alçada $h=a\sin \gamma$ ${\ displaystyle h = a \ sin \ gamma}$ $h = a \ sin \ gamma$ . Substituint això a la fórmula trobada anteriorment (geomètricament), $S={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma$ ${\ displaystyle S = {\ frac {1} {2}} ab \ sin \ gamma}$ $S = {\ frac {1} {2}} ab \ sin \ gamma$ . Per tant, l'àrea d'un triangle també és igual al mig producte de dos costats pel sinus de l'angle inclòs.

En conseqüència, per la identitat coneguda $\sin x=\sin(\pi -x)$ ${\ displaystyle \ sin x = \ sin (\ pi -x)}$ $\ sin x = \ sin (\ pi -x)$ , l'àrea de qualsevol triangle de dues cares $a$ ${\ displaystyle a}$ $a$ I $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ i l’angle inclòs $\gamma$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\ gamma$ , és igual a l’àrea del triangle amb els mateixos costats $a$ ${\ displaystyle a}$ $a$ I $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ però amb cantonada addicional inclosa $(\pi -\gamma )$ ${\ displaystyle (\ pi - \ gamma)}$ $(\ pi - \ gamma)$

L'àrea d'un paral·lelogram amb dos costats adjacents $a$ ${\ displaystyle a}$ $a$ I $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ i angle inclòs $\gamma$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\ gamma$ és el doble que el triangle que té les mateixes dades, és a dir $ab\sin \gamma$ ${\ displaystyle ab \ sin \ gamma}$ $ab \ sin \ gamma$ .

Per resoldre aquest triangle, és a dir, determinar la mesura de tots els costats i cantonades, dades de dos costats i l’angle inclòs entre ells, o bé un costat i les dues cantonades adjacents, utilitzant la llei dels sinus i la llei dels cosinus , busqueu millor aquesta última conegut com a Carnot.

La zona ${\mathcal {A}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ mathcal {A}}$ del triangle es pot mesurar amb la fórmula matemàtica:

{\mathcal {A}}={\frac {bh}{2}},

{\ displaystyle {\ mathcal {A}} = {\ frac {bh} {2}},}

{\ displaystyle {\ mathcal {A}} = {\ frac {bh} {2}},}

on és $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ és la base i $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ l'alçada relativa, perquè el triangle s'ha de veure com la meitat d'un paral·lelogram bàsic $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ i alçada $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ .

Alternativament, es pot calcular l’àrea del triangle amb

{\mathcal {A}}={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}},

{\ displaystyle {\ mathcal {A}} = {\ sqrt {p (pa) (pb) (pc)}},}

{\ displaystyle {\ mathcal {A}} = {\ sqrt {p (p-a) (p-b) (p-c)}},}

on és $a$ ${\ displaystyle a}$ $a$ , $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ I $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ són els costats i $pàg$ ${\ displaystyle p}$ $pàg$ el mig perímetre ( fórmula de Heron ).

Fórmules analítiques

Considerem un triangle $A B. C.$ ${\ displaystyle ABC}$ $ABC$ al pla cartesià identificat a través dels parells de coordenades dels vèrtexs $(x_{A},y_{A}),(x_{B},y_{B}),(x_{C},y_{C})$ ${\ displaystyle (x_ {A}, y_ {A}), (x_ {B}, y_ {B}), (x_ {C}, y_ {C})}$ $(x_ {A}, y_ {A}), (x_ {B}, y_ {B}), (x_ {C}, y_ {C})$ .

La seva àrea ${\mathcal {A}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ mathcal {A}}$ ve donada per l’expressió

{\mathcal {A}}={\frac {1}{2}}\left|\det {\begin{pmatrix}x_{A}&x_{B}&x_{C}\\y_{A}&y_{B}&y_{C}\\1&1&1\end{pmatrix}}\right|={\frac {1}{2}}{\big |}x_{A}(y_{B}-y_{C})-x_{B}(y_{A}-y_{C})+x_{C}(y_{A}-y_{B}){\big |},

{\ displaystyle {\ mathcal {A}} = {\ frac {1} {2}} \ left | \ det {\ begin {pmatrix} x_ {A} & x_ {B} & x_ {C} \\ y_ { A} & y_ {B} & y_ {C} \\ 1 & 1 & 1 \ end {pmatrix}} \ right | = {\ frac {1} {2}} {\ big |} x_ {A} (y_ {B} -y_ {C}) -x_ {B} (y_ {A} -y_ {C}) + x_ {C} (y_ {A} -y_ {B}) {\ big |},}

{\ displaystyle {\ mathcal {A}} = {\ frac {1} {2}} \ left | \ det {\ begin {pmatrix} x_ {A} & x_ {B} & x_ {C} \\ y_ { A} & y_ {B} & y_ {C} \\ 1 & 1 & 1 \ end {pmatrix}} \ right | = {\ frac {1} {2}} {\ big |} x_ {A} (y_ {B} -y_ {C}) -x_ {B} (y_ {A} -y_ {C}) + x_ {C} (y_ {A} -y_ {B}) {\ big |},}

o amb una expressió que no utilitza el concepte de matriu

{\mathcal {A}}={\frac {{\big |}(y_{B}-y_{A})(x_{C}-x_{B})+(y_{B}-y_{C})(x_{B}-x_{A}){\big |}}{2}},

{\ displaystyle {\ mathcal {A}} = {\ frac {{\ big |} (y_ {B} -y_ {A}) (x_ {C} -x_ {B}) + (y_ {B} -y_ {C}) (x_ {B} -x_ {A}) {\ big |}} {2}},}

{\ displaystyle {\ mathcal {A}} = {\ frac {{\ big |} (y_ {B} -y_ {A}) (x_ {C} -x_ {B}) + (y_ {B} -y_ {C}) (x_ {B} -x_ {A}) {\ big |}} {2}},}

i el seu perímetre ${\mathcal {P}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$ ${\ mathcal {P}}$ ve donat per

{\mathcal {P}}={\sqrt {(x_{A}-x_{B})^{2}+(y_{A}-y_{B})^{2}}}+{\sqrt {(x_{A}-x_{C})^{2}+(y_{A}-y_{C})^{2}}}+{\sqrt {(x_{B}-x_{C})^{2}+(y_{B}-y_{C})^{2}}}.

{\ displaystyle {\ mathcal {P}} = {\ sqrt {(x_ {A} -x_ {B}) ^ {2} + (y_ {A} -y_ {B}) ^ {2}}} + { \ sqrt {(x_ {A} -x_ {C}) ^ {2} + (y_ {A} -y_ {C}) ^ {2}}} + {\ sqrt {(x_ {B} -x_ {C }) ^ {2} + (y_ {B} -y_ {C}) ^ {2}}}.}

{\ displaystyle {\ mathcal {P}} = {\ sqrt {(x_ {A} -x_ {B}) ^ {2} + (y_ {A} -y_ {B}) ^ {2}}} + { \ sqrt {(x_ {A} -x_ {C}) ^ {2} + (y_ {A} -y_ {C}) ^ {2}}} + {\ sqrt {(x_ {B} -x_ {C }) ^ {2} + (y_ {B} -y_ {C}) ^ {2}}}.}

Geometries no euclidianes

El concepte de triangle s’estén i s’utilitza àmpliament en totes les geometries no euclidianes . Un triangle en una geometria no euclidiana generalment difereix en el fet que la suma dels seus angles interns no és de 180 °: aquesta suma és inferior a 180 ° per a cada triangle en el cas d’una geometria hiperbòlica , mentre que és més alta per a cada triangle de la cas d’una geometria el·líptica .

Teoremes del triangle

I criteri de congruència de triangles

Si dos triangles tenen respectivament dos costats congruents i l'angle entre ells, són congruents.

II criteri de congruència de triangles

Si dos triangles tenen respectivament dos angles congruents i el costat adjacent a ells, són congruents.

III criteri de congruència dels triangles

Si dos triangles tenen respectivament els tres costats congruents, són congruents. Criteri general de congruència de triangles Si dos triangles tenen respectivament un costat i dos angles qualsevol congruents, són congruents.

Teorema de l'angle extern

En un triangle, cada angle extern és més gran que cadascun dels angles interns no adjacents a ell.

Teorema de l'angle extern

En un triangle, l’angle extern d’un d’ells és igual a la suma dels altres dos angles interns.

Corol·lari 1: un triangle no pot tenir ni dos angles rectes, ni dos angles obtusos, ni un angle recte i obtús, és a dir, un triangle té almenys dos angles aguts.; Corol·lari 2: els angles de la base d’un triangle isòsceles són aguts.
Desigualtat triangular

En un triangle cada costat és inferior a la suma dels altres dos i superior a la seva diferència.

Criteri de similitud dels triangles

Si dos triangles tenen dos angles respectivament congruents, són similars.

El criteri de semblança dels triangles

Si dos triangles tenen respectivament dos costats proporcionals i l'angle entre ells congruents, llavors són similars.

III criteri de semblança dels triangles

Si dos triangles tenen els seus tres costats respectivament proporcionals, són similars.

Teorema d’Euclides

En un triangle rectangle cada catet és una mitjana proporcional entre la hipotenusa i la seva projecció sobre la hipotenusa.

Teorema d’Euclides

En un triangle rectangle l’alçada relativa a la hipotenusa és la mitjana proporcional entre les projeccions dels catets sobre la hipotenusa.

Teorema de Pitàgores

En cada triangle rectangle, el quadrat construït a la hipotenusa és igual a la suma dels quadrats construïts a les potes.

Curiositat

La tradició de definir l’escalè com un triangle per al qual no s’especifica la relació entre els costats es remunta al llibre Topologia de Marco Manetti (2014). ^[1] Aquesta definició és considerada preferible a la tradicional per molts autors contemporanis. ^{[ sense font ]}

Nota

^ Això és diferent de demanar que tots els costats siguin diferents. De fet, en la nova terminologia un triangle isòscel es considerarà escalè.

Articles relacionats

Altres projectes

Wikiquote conté cometes sobre el triangle
El Viccionari conté el diccionari lema « triangle »
Wikimedia Commons conté imatges o altres fitxers sobre triangle

Enllaços externs

(EN) Triangle , a Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.
Estudi de cas per resoldre un triangle , a cnuto.it .
( EN ) Triangle a MacTutor
( EN ) Triangle Calculator : completa els triangles quan es donen tres elements (costats, angles, àrea, alçada, etc.), suporten graus, radians i graus.
(EN) Teorema de Napoleó Un triangle amb tres triangles equilàters. Una prova purament geomètrica. Utilitza el punt de Fermat per demostrar el teorema de Napoleó sense transformacions d'Antonio Gutierrez a partir de "Geometry Step by Step from the Land of the Incas"
(CA) William Kahan : àrea de càlcul errònia i angles d'un triangle semblant a una agulla .
( EN ) Clark Kimberling: Enciclopèdia de centres triangulars . Llista uns 1600 punts interessants associats a qualsevol triangle.
( EN ) Christian Obrecht: Eukleides . Paquet de programari per crear il·lustracions de fets sobre triangles i altres teoremes de geometria euclidiana.
( EN ) Construccions de triangles, punts i línies notables i relacions mètriques en un triangle a tall de nus
( EN ) Full de treball imprimible sobre tipus de triangles , a kwiznet.com . Consultat el 23 de novembre de 2019 (arxivat de l' original el 15 de desembre de 2018) .
( EN )Compendium Geometry Geometry Analytical of Triangles
P. Baroncini - R. Manfredi, MultiMath.blu - Geometry , DeAScuola, 2014, ISBN 978-88-538-0567-6

Control de l'autoritat	Thesaurus BNCF 38738 · LCCN (EN) sh85137407 · BNF (FR) cb11946969k (data)

Portal de matemàtiques : accediu a les entrades de Wikipedia relacionades amb les matemàtiques

[1] Això és diferent de demanar que tots els costats siguin diferents. De fet, en la nova terminologia un triangle isòscel es considerarà escalè.

[1]

V · D · M Polígons
Polígons per nombre de costats	Triangle (3) · Quadrilateral (4) · Pentàgon (5) · Hexàgon (6) · Heptagonó (7) · Octàgon (8) · Nonàgon (9) · Decàgon (10) · Hendecàgon (11) · Dodecàgon (12) · tridecàgon (13) · tetradecàgon (14) · pentadecàgon (15) · hexadecàgon (16) · heptadecàgon (17) · octadecàgon (18) · enneadecàgon (19) · icosàgon (20) · Endeicosagono (21) · Doicosagono (22) · triacontàgon (30) · Pentacontagono (50) · 257-gon (257) · quiliàgon (1 000) · Miriagono (10 000) · 65537-gon (65 537)
Triangles	Basat en els laterals: Triangle Equilateral · Triangle isòsceles · Triangle escalè · Segons els angles: Triangle rectangle · Triangle nítid · Triangle obús
Quadrilaterals	Quadrat · Rectangle · Paral·lelogram · Rombe · Trapezoide · Milà
Polígons estel·lars	Pentagrama · Hexagrama · Eptagramma · Ottagramma · Eneagrama · Decagramma · Endecagramma · Dodecagramma
Altres	Polígon regular · Polígon equilàter · Polígon equiangle