Triangle equilàter

En geometria euclidiana , un triangle equilàter és un triangle que té els seus tres costats congruents entre si. Es mostra que els seus angles són congruents i iguals a 60 ° = ${\frac {\pi }{3}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {3}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {3}}}$ rad ^[1] . Com que és equilàter i equiangular, és el polígon regular de tres costats.

Els triangles equilàters són triangles isòsceles particulars. Tots els triangles equilàters són similars entre si: per caracteritzar mètricament un triangle equilàter o per caracteritzar la classe de triangles equilàters al pla que es poden obtenir els uns dels altres mitjançant translacions i rotacions, es necessita un paràmetre extens; normalment s'utilitza la longitud dels seus costats.

En triangles equilàters, les bisectrius , mitjanes , altures i eixos es superposen de manera que el mateix punt representa el ortocentre , el centroide , el centre i el circumcentre .

El grup de simetries del triangle equilàter està constituït per la identitat , per les rotacions al voltant del seu centre de 120 ° i 240 ° i per les reflexions respecte a les bisectrius dels angles. Aquest grup és isomorf pel grup simètric de 3 objectes S ₃ .

Construcció

Construcció del triangle equilàter amb regle i brúixola

Com mostra Euclides als elements I, 1 (és la primera proposta de tota l'obra), el triangle equilàter donat al costat AB es pot construir amb regle i brúixola d'aquesta manera:

Apunteu la brúixola cap a A amb l'obertura AB i traqueu una circumferència;
Apunteu la brúixola cap a B amb l'obertura BA i traqueu una circumferència;
El punt de trobada dels cercles C és el tercer punt que es busca;
Unint A, B i C s’obté un triangle equilàter.

La prova és simple: ja que, per definició, tots els punts de la circumferència són equidistants del centre, el segment AB és congruent amb AC i AB és congruent amb BC. Però llavors, per la propietat transitiva de la congruència, AB = AC = BC i el triangle és equilàter.

Fórmules

Indicant amb $L$ ${\ displaystyle l}$ $L$ el costat del triangle, amb $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ el perímetre, amb $A$ ${\ displaystyle A}$ $A$ la zona, amb $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ la base i amb $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ l'alçada és:

Perímetre

P=l\cdot 3

{\ displaystyle P = l \ cdot 3}

{\ displaystyle P = l \ cdot 3}

l={\frac {P}{3}}

{\ displaystyle l = {\ frac {P} {3}}}

{\ displaystyle l = {\ frac {P} {3}}}

Zona

A={\frac {b\cdot h}{2}}={\frac {l^{2}}{4}}\cdot {\sqrt {3}}

{\ displaystyle A = {\ frac {b \ cdot h} {2}} = {\ frac {l ^ {2}} {4}} \ cdot {\ sqrt {3}}}

{\ displaystyle A = {\ frac {b \ cdot h} {2}} = {\ frac {l ^ {2}} {4}} \ cdot {\ sqrt {3}}}

h={\frac {A\cdot 2}{b}}

{\ displaystyle h = {\ frac {A \ cdot 2} {b}}}

{\ displaystyle h = {\ frac {A \ cdot 2} {b}}}

b={\frac {A\cdot 2}{h}}

{\ displaystyle b = {\ frac {A \ cdot 2} {h}}}

{\ displaystyle b = {\ frac {A \ cdot 2} {h}}}

Alçada

h=l\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}

{\ displaystyle h = l \ cdot {\ frac {\ sqrt {3}} {2}}}

{\ displaystyle h = l \ cdot {\ frac {\ sqrt {3}} {2}}}

Aplicacions del teorema de Pitàgores

h={\sqrt {l^{2}-\left({\frac {l}{2}}\right)^{2}}}={\sqrt {l^{2}-{\frac {l^{2}}{4}}}}={\sqrt {\frac {4l^{2}-l^{2}}{4}}}={\sqrt {\frac {3l^{2}}{4}}}={\frac {{\sqrt {l^{2}}}\cdot {\sqrt {3}}}{\sqrt {4}}}={\frac {{l}\cdot {\sqrt {3}}}{2}}={\frac {l}{2}}{\sqrt {3}}

{\ displaystyle h = {\ sqrt {l ^ {2} - \ left ({\ frac {l} {2}} \ right) ^ {2}}} = {\ sqrt {l ^ {2} - {\ frac {l ^ {2}} {4}}}} = {\ sqrt {\ frac {4l ^ {2} -l ^ {2}} {4}}} = {\ sqrt {\ frac {3l ^ { 2}} {4}}} = {\ frac {{\ sqrt {l ^ {2}}} \ cdot {\ sqrt {3}}} {\ sqrt {4}}} = {\ frac {{l} \ cdot {\ sqrt {3}}} {2}} = {\ frac {l} {2}} {\ sqrt {3}}}

{\ displaystyle h = {\ sqrt {l ^ {2} - \ left ({\ frac {l} {2}} \ right) ^ {2}}} = {\ sqrt {l ^ {2} - {\ frac {l ^ {2}} {4}}}} = {\ sqrt {\ frac {4l ^ {2} -l ^ {2}} {4}}} = {\ sqrt {\ frac {3l ^ { 2}} {4}}} = {\ frac {{\ sqrt {l ^ {2}}} \ cdot {\ sqrt {3}}} {\ sqrt {4}}} = {\ frac {{l} \ cdot {\ sqrt {3}}} {2}} = {\ frac {l} {2}} {\ sqrt {3}}}

l={\frac {2h}{\sqrt {3}}}

{\ displaystyle l = {\ frac {2h} {\ sqrt {3}}}}

{\ displaystyle l = {\ frac {2h} {\ sqrt {3}}}}

Circumferència inscrita i circumscrita

El centre geomètric del triangle és el centre de les circumferències inscrites i circumscrites al triangle equilàter

El radi del cercle circumscrit és $R={\frac {\sqrt {3}}{3}}l$ ${\ displaystyle R = {\ frac {\ sqrt {3}} {3}} l}$ ${\ displaystyle R = {\ frac {\ sqrt {3}} {3}} l}$ a partir del qual $l=R{\sqrt {3}}$ ${\ displaystyle l = R {\ sqrt {3}}}$ ${\ displaystyle l = R {\ sqrt {3}}}$

El radi del cercle inscrit és $r={\frac {\sqrt {3}}{6}}l$ ${\ displaystyle r = {\ frac {\ sqrt {3}} {6}} l}$ ${\ displaystyle r = {\ frac {\ sqrt {3}} {6}} l}$ a partir del qual $R=2\cdot r$ ${\ displaystyle R = 2 \ cdot r}$ ${\ displaystyle R = 2 \ cdot r}$

La zona, coneguda R, és $A={\frac {3\cdot R^{2}}{4}}\cdot {\sqrt {3}}$ ${\ displaystyle A = {\ frac {3 \ cdot R ^ {2}} {4}} \ cdot {\ sqrt {3}}}$ ${\ displaystyle A = {\ frac {3 \ cdot R ^ {2}} {4}} \ cdot {\ sqrt {3}}}$

Nota

^ Això es produeix només en geometria euclidiana, on la suma dels angles interiors d'un triangle és igual a l'angle pla. Per tant 180 ° ÷ 3 = 60 °

Articles relacionats

Altres projectes

Wikimedia Commons conté imatges o altres fitxers sobre triangle equilàter

Portal de matemàtiques : accediu a les entrades de Wikipedia relacionades amb les matemàtiques

[1] Això es produeix només en geometria euclidiana, on la suma dels angles interiors d'un triangle és igual a l'angle pla. Per tant 180 ° ÷ 3 = 60 °

[1]

V · D · M Polígons
Polígons per nombre de costats	Triangle (3) · Quadrilateral (4) · Pentàgon (5) · Hexàgon (6) · Heptagonó (7) · Octàgon (8) · Nonàgon (9) · Decàgon (10) · Hendecàgon (11) · Dodecàgon (12) · tridecàgon (13) · tetradecàgon (14) · pentadecàgon (15) · hexadecàgon (16) · heptadecàgon (17) · octadecàgon (18) · enneadecàgon (19) · icosàgon (20) · Endeicosagono (21) · Doicosagono (22) · triacontàgon (30) · Pentacontagono (50) · 257-gon (257) · quiliàgon (1 000) · Miriagono (10 000) · 65537-gon (65 537)
Triangles	Basat en els laterals: Triangle Equilateral · Triangle isòsceles · Triangle escalè · Segons els angles: Triangle rectangle · Triangle nítid · Triangle obús
Quadrilaterals	Quadrat · Rectangle · Paral·lelogram · Rombe · Trapezoide · Milà
Polígons estel·lars	Pentagrama · Hexagrama · Eptagramma · Ottagramma · Eneagrama · Decagramma · Endecagramma · Dodecagramma
Altres	Polígon regular · Polígon equilàter · Polígon equiangle